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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程背景图课件ppt
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程背景图课件ppt，文件包含221直线的点斜式方程pptx、221直线的点斜式方程DOCX等2份课件配套教学资源，其中PPT共47页， 欢迎下载使用。
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题.
通过推导直线的点斜式及斜截式方程的过程，提升逻辑推理及数学抽象素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、直线的点斜式方程1.思考 如图，过点A(1，1)作直线l.
(1)试想直线l确定吗？提示 不确定.因为过一点可画无数条直线.(2)若直线l的斜率为2，直线确定吗？提示 确定.
2.填空 直线的点斜式方程
温馨提醒 (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式.(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.
提示 前者含点(x0，y0)，后者不含点(x0，y0).(2)直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1，3).( )(3)直线y－2＝3(x＋1)的斜率是3. ( )
二、直线的斜截式方程1.思考 直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程.提示 y＝kx＋b.
2.填空 直线的斜截式方程
温馨提醒 (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 写出下列直线的点斜式方程：(1)过点A(－4，3)，斜率k＝3；(2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°；
解 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝3[x－(－4)].(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)].
(3)过点C(－1，2)，且与y轴平行；(4)过点D(2，1)和E(3，－4).
解 (3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示.由于直线上所有点的横坐标都是－1，故这条直线的方程为x＝－1.(4)∵直线过点D(2，1)和E(3，－4)，
故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2).
求直线的点斜式方程的思路
特别提醒 只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程.
训练1 写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行.解 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝4(x－2).(2)∵直线的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2.(3)y＝－1.
例2 写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
解 由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
解 ∵倾斜角α＝150°，
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
解 ∵直线的倾斜角为60°，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
直线的斜截式方程的求解策略：(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可.(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程.
训练2 写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
解 (1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y＝3x－3.
(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.
解 ∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，∴直线过点(4，0)和(0，－2).
角度1 利用直线方程求平行与垂直的条件
例3 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？解 (1)由a2－2＝－1，且2a≠2，解得a＝－1.故当a＝－1时，l1∥l2.
角度2 直线过定点问题
例4 求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限.证明 法一 直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，∴直线l过定点(－2，3).由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限.法二 直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3).∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限.
(1)给定两条直线的斜截式方程，说明了已知两条直线的斜率及相应截距，在此基础上判断两条直线的位置关系，当给定位置求相应字母的取值时，要正确利用k1＝k2或k1k2＝－1等结论.(2)证明直线过定点的基本方法：方法一即点斜式的应用，方法二即代数方法处理恒成立问题的基本思想.
解 当m＝0时，l1：8y－10＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直；
1.重要思想方法 (1)应用点斜式方程表示直线的前提条件是该直线的斜率存在，且过已知点，那么该直线的方程可为：y－y0＝k(x－x0).(2)把直线的点斜式方程化为y＝kx＋y0－kx0.令y0－kx0＝b，则y＝kx＋b，即为直线的斜截式方程.(3)在探究直线的点斜式的过程中应用了数形结合的思想方法，求直线的点斜式与斜截式方程一般应用待定系数法.2.易错易混点提醒(1)求直线的点斜式与斜截式方程时忽略斜率不存在的情况.(2)混淆直线的截距和距离.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.经过点P(0，2)且斜率为2的直线方程为( )A.y＝－2x－2B.y＝2x－2C.y＝2x＋2 D.y＝－2x＋2解析 由点斜式可得：y－2＝2(x－0)，化为：y＝2x＋2.故选C.
故所求直线的斜率等于－2，故所求直线的方程为y－0＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2，故选C.
3.直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是( )A.y＝x＋1 B.y＝x－1C.y＝－x＋1 D.y＝－x－1解析 ∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，又∵过点(0，－1)，∴直线l的方程为y＋1＝x，整理可得y＝x－1，故选B.
4.若直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有( )A.k>0，b>0 B.k>0，b<0C.k<0，b>0 D.k<0，b<0解析 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
5.已知直线y＝kx＋1－3k，当k变化时，所有的直线恒过定点( )A.(1，3) B.(－1，－3)C.(3，1) D.(－3，－1)解析 直线y＝kx＋1－3k变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3，1).
6.直线y＝2x－5在y轴上的截距是______.解析 令x＝0，则y＝－5，∴直线y＝2x－5在y轴上的截距是－5.
7.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是 __________________________.
解析 与y轴相交成30°角的直线的斜率为：
9.写出下列直线的斜截式方程：(1)直线的倾斜角为45°且在y轴上的截距是2；(2)直线过点A(3，1)且在y轴上的截距是－1.解 (1)斜率k＝tan 45°＝1，可得斜截式方程为y＝x＋2.(2)由题意知直线过点(3，1)，(0，－1)，
11.(多选)直线(m2＋2m)x＋(2m2－m＋3)y＝4m＋1在y轴上的截距为1，则m的值可以是( )
则4m＋1＝2m2－m＋3，即2m2－5m＋2＝0.
12.(多选)下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a不可能正确的是( )
解析 ①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距为a>0，A，B，C，D都不成立；②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0，只有C成立.
13.已知直线l：y＝kx＋2k＋1.(1)求证：直线l恒过一个定点；
证明 由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2).由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1).
(2)当－3
若使当－3
解 当0
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题.
通过推导直线的点斜式及斜截式方程的过程，提升逻辑推理及数学抽象素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、直线的点斜式方程1.思考 如图，过点A(1，1)作直线l.
(1)试想直线l确定吗？提示 不确定.因为过一点可画无数条直线.(2)若直线l的斜率为2，直线确定吗？提示 确定.
2.填空 直线的点斜式方程
温馨提醒 (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式.(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.
提示 前者含点(x0，y0)，后者不含点(x0，y0).(2)直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1，3).( )(3)直线y－2＝3(x＋1)的斜率是3. ( )
二、直线的斜截式方程1.思考 直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程.提示 y＝kx＋b.
2.填空 直线的斜截式方程
温馨提醒 (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 写出下列直线的点斜式方程：(1)过点A(－4，3)，斜率k＝3；(2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°；
解 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝3[x－(－4)].(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)].
(3)过点C(－1，2)，且与y轴平行；(4)过点D(2，1)和E(3，－4).
解 (3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示.由于直线上所有点的横坐标都是－1，故这条直线的方程为x＝－1.(4)∵直线过点D(2，1)和E(3，－4)，
故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2).
求直线的点斜式方程的思路
特别提醒 只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程.
训练1 写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行.解 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝4(x－2).(2)∵直线的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2.(3)y＝－1.
例2 写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
解 由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
解 ∵倾斜角α＝150°，
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
解 ∵直线的倾斜角为60°，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
直线的斜截式方程的求解策略：(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可.(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程.
训练2 写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
解 (1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y＝3x－3.
(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.
解 ∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，∴直线过点(4，0)和(0，－2).
角度1 利用直线方程求平行与垂直的条件
例3 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？解 (1)由a2－2＝－1，且2a≠2，解得a＝－1.故当a＝－1时，l1∥l2.
角度2 直线过定点问题
例4 求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限.证明 法一 直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，∴直线l过定点(－2，3).由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限.法二 直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3).∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限.
(1)给定两条直线的斜截式方程，说明了已知两条直线的斜率及相应截距，在此基础上判断两条直线的位置关系，当给定位置求相应字母的取值时，要正确利用k1＝k2或k1k2＝－1等结论.(2)证明直线过定点的基本方法：方法一即点斜式的应用，方法二即代数方法处理恒成立问题的基本思想.
解 当m＝0时，l1：8y－10＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直；
1.重要思想方法 (1)应用点斜式方程表示直线的前提条件是该直线的斜率存在，且过已知点，那么该直线的方程可为：y－y0＝k(x－x0).(2)把直线的点斜式方程化为y＝kx＋y0－kx0.令y0－kx0＝b，则y＝kx＋b，即为直线的斜截式方程.(3)在探究直线的点斜式的过程中应用了数形结合的思想方法，求直线的点斜式与斜截式方程一般应用待定系数法.2.易错易混点提醒(1)求直线的点斜式与斜截式方程时忽略斜率不存在的情况.(2)混淆直线的截距和距离.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.经过点P(0，2)且斜率为2的直线方程为( )A.y＝－2x－2B.y＝2x－2C.y＝2x＋2 D.y＝－2x＋2解析 由点斜式可得：y－2＝2(x－0)，化为：y＝2x＋2.故选C.
故所求直线的斜率等于－2，故所求直线的方程为y－0＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2，故选C.
3.直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是( )A.y＝x＋1 B.y＝x－1C.y＝－x＋1 D.y＝－x－1解析 ∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，又∵过点(0，－1)，∴直线l的方程为y＋1＝x，整理可得y＝x－1，故选B.
4.若直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有( )A.k>0，b>0 B.k>0，b<0C.k<0，b>0 D.k<0，b<0解析 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
5.已知直线y＝kx＋1－3k，当k变化时，所有的直线恒过定点( )A.(1，3) B.(－1，－3)C.(3，1) D.(－3，－1)解析 直线y＝kx＋1－3k变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3，1).
6.直线y＝2x－5在y轴上的截距是______.解析 令x＝0，则y＝－5，∴直线y＝2x－5在y轴上的截距是－5.
7.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是 __________________________.
解析 与y轴相交成30°角的直线的斜率为：
9.写出下列直线的斜截式方程：(1)直线的倾斜角为45°且在y轴上的截距是2；(2)直线过点A(3，1)且在y轴上的截距是－1.解 (1)斜率k＝tan 45°＝1，可得斜截式方程为y＝x＋2.(2)由题意知直线过点(3，1)，(0，－1)，
11.(多选)直线(m2＋2m)x＋(2m2－m＋3)y＝4m＋1在y轴上的截距为1，则m的值可以是( )
则4m＋1＝2m2－m＋3，即2m2－5m＋2＝0.
12.(多选)下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a不可能正确的是( )
解析 ①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距为a>0，A，B，C，D都不成立；②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0，只有C成立.
13.已知直线l：y＝kx＋2k＋1.(1)求证：直线l恒过一个定点；
证明 由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2).由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1).
(2)当－3
若使当－3
解 当0
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