【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件限时小练23　曲线与方程

限时小练23　曲线与方程

1.笛卡尔、牛顿都研究过方程(x－1)(x－2)·(x－3)＝xy，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于y轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数.其中正确的是(　　)

A.②③   B.①④ 

C.③   D.③④

答案　C

解析　以－x代x，得到(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝xy，方程改变，不关于y轴对称；以－x代x，－y代y，得到(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝－xy，方程改变，不关于原点对称；

当x＜0，y＜0时，(x－1)(x－2)(x－3)＜0，xy＞0，显然方程不成立，

∴该曲线不经过第三象限；

令x＝－1，易得y＝24，即(－1，24)适合题意，同理可得(1，0)(2，0)(3，0)适合题意，

∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的.

2.已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P满足·＝0，则点P的轨迹方程为________________.

答案　x2＋y2＝4

解析　设P的坐标为(x，y)，由·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝0，

得x2＋y2＝4，所以点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.

3.过点M(1，2)的直线与曲线y＝(a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围.

解　当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时，不可能与曲线有两个公共点.

故设直线方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)，

联立方程，得

消去x，得y2－(2－k)y－ka＝0.①

当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点.

∴Δ＝[－(2－k)]2＋4ka＞0.(*)

设方程①的两根分别为y1，y2，

由根与系数的关系，得y1＋y2＝2－k.

又∵y1＋y2＝a，∴k＝2－a，

代入(*)式中，得3a2－8a＜0，

解得0＜a＜.

又∵k≠0，∴2－a≠0，即a≠2.

∴a的取值范围是(0，2)∪.