【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件进阶训练2　(范围：1.2.1～1.2.5)

进阶训练2　(范围：1.2.1～1.2.5)

一、基础达标

1.已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3，4)，B(9，2，1)，则线段AB与坐标平面(　　)

A.xOy平行   B.xOz平行

C.yOz平行   D.yOz相交

答案　C

解析　因为＝(0，5，－3)，又AB⊂/　平面yOz，所以AB∥平面yOz.

2.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　)

A.a＝(1，0，1)，n＝(－2，0，0)

B.a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)

C.a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)

D.a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)

答案　D

解析　若l∥α，则a·n＝0，只有D中a·n＝0.

3.已知直线l的一个方向向量a＝(2，4，x)，平面α的一个法向量b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且l∥α，则x＋y的值是(　　)

A.－3或1   B.3或－1

C.－3   D.1

答案　A

解析　 |a|＝＝6，∴x＝±4，

又∵l∥α，∴a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，∴y＝－1－x，∴当x＝4时，y＝－3，

当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝1或－3.

4.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ是异面直线A1D和AC的公垂线，则直线PQ与BD1的关系，下列说法不正确的是(　　)

A.异面直线   B.平行直线

C.垂直不相交   D.垂直且相交

答案　ACD

解析　设正方体的棱长为1.

∵A1D綊B1C，PQ⊥A1D，∴PQ⊥B1C.

又∵PQ⊥AC，B1C∩AC＝C，B1C，AC⊂平面AB1C，

∴PQ⊥平面AB1C.

又＝＋＋，

∴·＝(＋＋)·(＋)＝·＋·＝－1＋1＝0，

∴BD1⊥AC.

同理，BD1⊥B1C.可得BD1⊥平面AB1C.

所以PQ与BD1垂直于同一平面AB1C，故PQ∥BD1.

5.已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与平面SDC所成的角的正弦值为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　B

解析　令正四棱锥的棱长为2，以正方形ABCD的中心O为原点，建立如图所示坐标系，则A(1，－1，0)，D(－1，－1，0)，S(0，0，)，E，C(－1，1，0)，

∴＝，

＝(－1，－1，－)，＝(0，－2，0).

设平面SDC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则

即令z＝，

得n＝(－2，0，).

∴cos〈，n〉＝＝.

∴AE与平面SDC所成的角的正弦值为.

6.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________.

答案　5

解析　∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量v互相垂直，

∴μ·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.

7.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________.

答案　

解析　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1)，

于是有＝(1，－1，－1)，＝(0，－2，1)，

所以＝＝，

||＝，所以点D1到直线GF的距离为＝.

8.正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线CC1与平面A1BD所成角的正弦值为________.

答案　

解析　建系如图，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，A(1，0，0)，

∴＝(0，0，1)，＝(－1，1，1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，0，－1).

∴·＝1－1＝0，·＝1－1＝0.

∴是平面A1BD的一个法向量.

∵cos〈，〉＝＝＝，

∴直线CC1与平面A1BD所成角的正弦值为.

9.如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值.

解　设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图.

则D(0，0，0)，A(0，0，2)，M(1，0，2)，N(0，1，0)，可得＝(－1，1，

－2).

又＝(0，0，2)为平面DCEF的一个法向量，

可得cos，＝＝－.

所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为

|cos〈，〉|＝.

10.已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.

(1)证明：BF⊥DE；

(2)当B1D为何值时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小？

(1)证明　因为E，F分别是AC和CC1的中点，且AB＝BC＝2，侧面AA1B1B为正方形，所以CF＝1，BF＝.

如图，连接AF，由BF⊥A1B1，AB∥A1B1，

得BF⊥AB，于是AF＝＝3，所以AC＝＝2.由AB2＋BC2＝AC2，得BA⊥BC，故以B为坐标原点，以BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系B－xyz，

则B(0，0，0)，E(1，1，0)，F(0，2，1)，＝(0，2，1).

设B1D＝m(0≤m≤2)，则D(m，0，2)，

于是＝(1－m，1，－2).

所以·＝0，所以BF⊥DE.

(2)解　易知平面BB1C1C的一个法向量为n1＝(1，0，0).

设平面DFE的法向量为n2＝(x，y，z)，

则

 又＝(1－m，1，－2)，＝(－1，1，1)，

所以

令x＝3，得y＝m＋1，z＝2－m，

于是，平面DFE的一个法向量为n2＝(3，m＋1，2－m)，

所以cos〈n1，n2〉＝.

设平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角为θ，则sin θ＝＝，

故当m＝时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小，为，即当B1D＝时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小.

二、能力提升

11.(多选)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则(　　)

A.直线D1D与直线AF垂直

B.直线A1G与平面AEF平行

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为

D.点C和点G到平面AEF的距离相等

答案　BC

解析　对于A，AA1∥DD1，显然A1A与AF不垂直，故A错；

在B中，选取B1C1的中点M，连接A1M，GM，则A1M∥AE，GM∥EF，

∴面A1MG∥面AEF，∴A1G∥面AEF，故B正确；

平面AEF截正方体所得截面为AEFD1，且为等腰梯形，EF＝，AD1＝，

AE＝D1F＝，则SAEFD1＝·＝，故C正确；

对于D，连接CG交EF于N，则GN＝2NC，则G到平面AEF的距离为点C到平面AEF距离的2倍.

12.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　)

A.BD∥平面CB1D1

B.AC1⊥BD

C.AC1⊥平面CB1D1

D.向量与的夹角为60°

答案　ABC

解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则有A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，所以＝(－1，0，0)，＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，1)，＝(0，－1，1)，＝(－1，－1，0)，＝(1，0，1)，对于A，由＝知A正确；对于B，由·＝0知B正确；对于C，由·＝0，·＝0，且B1D1∩CB1＝B1，知C正确；对于D，由cos〈，〉＝＝－，知D不正确.

13.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点.

(1)证明：B1C1⊥CE；

(2)求二面角B1CEC1的正弦值；

(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长.

解　如图，以点A为原点，以AD，AA1，AB所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0).

(1)证明　易得＝(1，0，－1)，＝(－1，1，－1)，于是·＝0，所以B1C1⊥CE.

(2)＝(1，－2，－1).

设平面B1CE的一个法向量为m＝(x，y，z)，

则即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得m＝

(－3，－2，1).

由(1)知，B1C1⊥CE，

又CC1⊥B1C1，CE∩CC1＝C，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1，0，－1)为平面CEC1的一个法向量.

于是cos〈m，〉＝＝＝－，

从而sin〈m，〉＝，

所以二面角B1CEC1的正弦值为.

(3)＝(0，1，0)，＝(1，1，1)，

设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，

有＝＋＝(λ，λ＋1，λ).

可取＝(0，0，2)为平面ADD1A1的一个法向量.

设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则

sin θ＝|cos〈，〉|＝

＝＝，

于是＝，

解得λ＝(负值舍去)，

所以＝，

∴AM＝||＝＝.

三、创新拓展

14.如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.

(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

(2)若二面角P－CD－A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

解　 (1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行.

延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点.理由如下：

由已知得，BC∥ED，且BC＝ED，

所以四边形BCDE是平行四边形.

从而CM∥EB.

又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.

(2)由已知得，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，

所以CD⊥平面PAD.

又PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD.

从而∠PDA是二面角PCDA的平面角.

所以∠PDA＝45°.

由PA⊥AB，PA⊥CD，AB∩CD＝M，AB，CD⊂平面ABCD，可得PA⊥平面ABCD.设BC＝1，

则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.

作Ay⊥AD，以A为坐标原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0)，

所以＝(1，0，－2)，＝(1，1，0)，＝(0，0，2)，

设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，

由得

取x＝2，得n＝(2，－2，1).

设直线PA与平面PCE所成角为α，

则sin α＝

＝＝.

所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.