【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件进阶训练3　(范围：2.1～2.2)

进阶训练3　(范围：2.1～2.2)

一、基础达标

1.已知直线的方程为x－y－4＝0，则该直线的倾斜角为(　　)

A.   B. 

C.   D.π

答案　B

解析　直线斜率为1，∴倾斜角为.

2.两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0间的距离为(　　)

A.3   B.2 

C.1   D.

答案　C

解析　d＝＝1.

3.直线x－y＋2＝0与直线x＋y－8＝0的交点坐标为(　　)

A.(3，－5)   B.(－3，5)

C.(3，5)   D.(－3，－5)

答案　C

解析　由

可得

故两直线的交点坐标为(3，5).

4.(多选)下列说法正确的是(　　)

A.直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2

B.点(0，2)关于直线y＝x＋1的对称点的坐标为(1，1)

C.过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为＝

D.经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0

答案　AB

解析　A中，直线在x轴、y轴上的截距分别为2，－2，所以围成的三角形的面积是2，正确；B中，点在直线y＝x＋1上，且(0，2)，(1，1)连线的斜率为－1，所以B正确；C中，需要条件y2≠y1，x2≠x1，故错误；D中，还有一条截距都为0的直线x－y＝0，错误.

5.与直线y＝3x－2垂直，且在y轴上的截距为2的直线的斜截式方程是(　　)

A.y＝x＋2   B.y＝3x＋2

C.y＝－3x＋2   D.y＝－x＋2

答案　D

解析　与直线y＝3x－2垂直的直线斜率为－，所以斜截式方程为y＝－x＋2.

6.已知直线l过点A(3，1)，B(2，0)，则直线l的倾斜角为________，直线l的方程为________.

答案　　x－y－2＝0

解析　设直线l的倾斜角为α.因为直线l过点A(3，1)，B(2，0)，所以kAB＝＝1，则tan α＝1，所以α＝，直线的方程为y＝x－2，即x－y－2＝0.

7.已知直线l1：3x＋2y－5＝0与直线l2：4x＋ay－11＝0，且l1⊥l2，则直线l1与直线l2的交点坐标是________.

答案　

解析　因为l1⊥l2，所以3×4＋2a＝0，所以a＝－6.

联立解得故直线l1与直线l2的交点坐标是.

8.已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们间的距离是，则m＋n＝________.

答案　0

解析　两直线平行，则n＝－2，又两平行线间的距离为，∴＝.

∴|m＋3|＝5，

又m>0，

∴m＝2，∴m＋n＝0.

9.已知直线l1经过点A(3，m)，B(m－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，m＋2).

(1)若l1∥l2，求m的值；

(2)若l1⊥l2，求m的值.

解　由题意知直线l2的斜率存在且k2＝＝－.

(1)若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在且k1＝.

由k1＝k2，得＝－，

解得m＝1或m＝6.

经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥l2.

(2)若l1⊥l2，当k2＝0时，m＝0，k1＝－，不符合题意；

当k2≠0时，直线l1的斜率也存在，

且k1·k2＝－1，即－·＝－1，

解得m＝3或m＝－4.

经检验，当m＝3或m＝－4时，l1⊥l2.

10.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0，a∈R.

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；

(2)若l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求a的值.

解　(1)由题意知a＋1≠0，即a≠－1，当直线l过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0，此时a＝2，直线l的方程为3x＋y＝0；

当直线l不过原点，即a≠2时，由截距相等，得＝a－2，即a＝0，直线l的方程为x＋y＋2＝0.

综上所述，所求直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.

(2)由题意知a＋1≠0，a－2≠0，且l在x轴、y轴上的截距分别为，a－2，

且··|a－2|＝6，即(a－2)2＝12|a＋1|.

当a＋1>0时，解得a＝8±6，

当a＋1<0时，解得a＝－4.

综上所述，a＝8±6或a＝－4.

二、能力提升

11.如图所示，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是(　　)

A.2   B.6 

C.3   D.2

答案　A

解析　由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.如图，点P关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线所经过的路程为|CD|＝2.

12.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(－1，－4)，若将军从点A(－1，2)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3.则“将军饮马”的最短总路程为(　　)

A.   B. 

C.2   D.10

答案　C

解析　如图所示，

设点B关于直线x＋y＝3的对称点为C(a，b)，

由题意可得解得

即C(7，4)，在直线x＋y＝3上取点P，

由对称性可得|PB|＝|PC|，所以 |PA|＋|PB|＝|PA|＋|PC|≥|AC|

＝＝2，

当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立，

因此，“将军饮马”的最短总路程为2.

13.如图所示，已知△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点A(1，4)，B(3，2)，点C在直线：x－2y＋6＝0上.

(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；

(2)设直线CD与y轴交于点D(0，3)，求△ACD的面积.

解　(1)因为△ABC是以AB为底边的等腰三角形，CE⊥AB，

所以E为AB的中点，所以E(2，3)，

因为kAB＝－1，所以kCE＝1，

所以直线CE：y－3＝x－2，即x－y＋1＝0，

所以AB边上的高CE所在直线的方程为x－y＋1＝0.

(2)解得所以C(4，5)，所以直线AC：＝，

即x－3y＋11＝0，

又因为D(0，3)，所以点D到直线AC的距离d＝＝，又|AC|＝，

所以S△ACD＝|AC|·d＝××＝1.

三、创新拓展

14.已知直线l过点P(2，3)，且被两平行直线l1：3x＋4y－7＝0，l2：3x＋4y＋8＝0截得的线段长为d.

(1)求d的最小值；

(2)当直线l与x轴平行时，求d的值.

解　(1)易知点P不在两条平行直线上.

过点P作直线l，使l⊥l1，则l⊥l2，垂足分别为G，H，

则|GH|就是所求的d的最小值.

由两平行线间的距离公式，

得|GH|＝＝3，所以d的最小值为3.

(2)当直线l与x轴平行时，l的方程为y＝3，

设直线l与直线l1，l2分别交于点A(x1，3)，B(x2，3)，

则3x1＋12－7＝0，3x2＋12＋8＝0，

所以3(x1－x2)＝15，即x1－x2＝5，

所以d＝|AB|＝|x1－x2|＝5.