进阶训练5　(范围：2.4～2.5)

一、基础达标

1.方程＋＝10的化简结果是(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

答案　C

解析　方程＋

＝10表示点(x，y)与(4，0)，(－4，0)两点的距离和为10(大于两点间的距离)，所以点(x，y)的轨迹是以点(4，0)，(－4，0)为焦点的椭圆，且a＝5，c＝4，所以b＝3，所以椭圆方程为＋＝1.故选C.

2.椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是(　　)

A.14，2   B.13，4

C.12，1   D.15，1

答案　D

解析　因为a＝8，c＝7，所以最大距离为a＋c＝15，最小距离为a－c＝1.

3.若将一个椭圆绕中心旋转90°，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程是(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

答案　A

解析　由题意，知当b＝c时，将一个椭圆绕中心旋转90°，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，该椭圆为“对偶椭圆”.

选项中只有A中b＝c＝2符合题意，故选A.

4.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)

A.(0，1)   B.

C.   D.

答案　C

解析　∵·＝0，

∴M点轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中F1F2为直径.

由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部，

设点P为椭圆上任意一点，

由椭圆性质知|OP|≥b，其中b为椭圆短半轴长，

∴b>c，∴c2<b2＝a2－c2，∴a2>2c2，

∴<，∴e＝<.

又∵0<e<1，∴0<e<.

5.已知椭圆＋＝1的左焦点为F1，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上，则点M的纵坐标是(　　)

A.±   B.± 

C.±   D.±

答案　A

解析　由条件可得F1(－3，0)，又PF1的中点在y轴上，

∴P点的坐标为(3，y0)，

又P在椭圆＋＝1上，

得＋＝1，∴y0＝±，

∴M的坐标为，故选A.

6.已知长方形ABCD，|AB|＝4，|BC|＝3，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为________.

答案　

解析　如图，|AB|＝2c＝4，

∵点C在椭圆上，∴|CB|＋|CA|＝2a＝3＋5＝8，

∴e＝＝＝.

7.已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为____________.

答案　＋＝1

解析　依题意，设椭圆C：＋＝1(a>b>0).

过点F2(1，0)且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的弦长|AB|＝3，

∴点A必在椭圆上，

∴＋＝1.①

又由c＝1，得1＋b2＝a2.②

由①②联立，得b2＝3，a2＝4.

故所求椭圆C的方程为＋＝1.

8.若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.

答案　4或8

解析　由椭圆方程得

得2<a<10，且a≠6.

若焦点在x轴，则10－a－(a－2)＝4，∴a＝4.

若焦点在y轴，

则a－2－(10－a)＝4，∴a＝8.

9.(1)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围；

(2)椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点为(0，)，求k的值；

(3)若方程＋＝1表示椭圆，求k的取值范围.

解　(1)原方程可化为＋＝1.

∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，

∴解得0<k<1.

(2)原方程可化为＋＝1.

由题意可知焦点在y轴上，且c2＝7.

∴即

∴k的值为－1或－.

(3)依题意得

解得3<k<5且k≠4.

10.如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，若·的最大值是12，求椭圆的标准方程.

解　设F(－c，0).∵e＝＝，∴a＝3c.

设P(x0，y0)，则－3c≤x0≤3c.

∵＝(－c－x0，－y0)，

＝(a－x0，－y0)，

∴·＝(－c－x0，－y0)·(a－x0，－y0)

＝－ac＋cx0－ax0＋x＋y

＝－ac＋cx0－ax0＋x＋b2－x

＝x－(a－c)x0＋b2－ac

＝x－(a－c)x0＋a2－c2－ac

＝x－2cx0＋5c2

＝(x0－9c)2－4c2.

∴当x0＝－3c时，·有最大值为12c2＝12，

∴c2＝1，∴a2＝9，b2＝a2－c2＝8，

∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.

二、能力提升

11.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.

∵|AF|＋|BF|＝4，

∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.

设M(0，b)，则≥，∴1≤b<2.

离心率e＝＝＝

＝∈，

故选A.

12.已知F1，F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，A，B分别为该椭圆的左顶点、上顶点，点P在线段AB上，则·的取值范围是________.

答案　

解析　由F1，F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，A，B分别为该椭圆的左顶点、上顶点，可得F1(－，0)，F2(，0)，A(－2，0)，B(0，1)，

设P(x，y)，因为点P在线段AB上，

所以点P在y＝x＋1，－2≤x≤0上，·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3＝x2＋x－2＝－∈.

13.如图，点A是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，点P在y轴上，且BP∥x轴，·＝9.

(1)若点P的坐标为(0，1)，求椭圆C的标准方程；

(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围.

解　∵直线AB的斜率为1，

∴∠BAP＝45°，

即△BAP是等腰直角三角形，

||＝||.

∵·＝9，

∴||||cos 45°＝||2cos 45°＝9，∴||＝3.

(1)∵P(0，1)，∴||＝1，||＝2，

即b＝2，且B(3，1).

∵B在椭圆上，∴＋＝1，得a2＝12，

∴椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t－3)，

∴t－3＝－b，即b＝3－t.

显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得＋＝1，解得a2＝.

∵a2>b2>0，∴>(3－t)2>0.又t≠3，

∴>1，即－1＝>0，∴0＜t＜.

∴所求t的取值范围是.

三、创新拓展

14.设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点，且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

(1)若直线MN的斜率为，求椭圆C的离心率；

(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求椭圆的标准方程.

解　(1)设F1(－c，0)，F2(c，0).

分析知M，则kMN＝＝＝，

即2b2＝3ac.

将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac中，

解得＝或＝－2(舍去).

故椭圆C的离心率为.

(2)设直线MN与y轴的交点为D.

由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，

所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，

故＝4，即b2＝4a.①

由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|，所以＝2.

设N(x1，y1)，由题意知y1<0，

＝(x1＋c，y1)，＝(－c，－2)，

则即

代入椭圆C的方程，得＋＝1.②

将①及c＝代入②中，得＋＝1，

解得a＝7，故b2＝4a＝28，

所以椭圆的标准方程为＋＝1.