冀教版第25章 图形的相似25.1 比例线段教案

25.1比例线段

教学目标

【知识与能力】

1.了解线段的比和成比例线段的概念,会求两线段的比.

2.理解并掌握比例的基本性质,结合实例了解黄金分割.

3.能利用比例的基本性质解决一些简单的问题.

【过程与方法】

1.通过现实情境,进一步发展学生从数学角度提出问题、分析和理解问题的能力.

2.通过观察、讨论、探究、归纳等数学活动,经历有关概念及性质的形成过程,获得成功感,培养学生学习数学的自信心.

3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及勇于思考、大胆质疑的学习习惯.

4.通过师生共同探究,体会由特殊到一般、方程思想在数学中的应用.

【情感态度价值观】

1.培养学生的数学应用意识,体会数学与实际生活的联系.

2.在观察、操作、推理的探究过程中,体验数学活动充满探索性和创造性,激发学生的学习兴趣.

3.通过学习黄金分割,体会数学在实际生活中的应用,培养学生的美感.

教学重难点

【教学重点】

比例线段及有关计算、黄金分割.

【教学难点】  

应用比例的基本性质进行有关计算.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

【课件展示】　欣赏图片:

(1)汽车和它的模型:

(2)两张尺寸不同的花的照片:

[导入语]　生活中及几何图形中有许多这样形状相同、大小不同的图形,也就是相似形,它们有哪些判定方法、性质及应用就是我们这章要学习的内容,为了研究相似形,我们先来探究成比例线段的有关概念及性质.

导入二:

【课件展示】　观察如图所示的三个长方形,你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同?理由是什么?

【师生活动】　教师引导学生直观观察得到结论,再观察思考形状相同的两个长方形的长和宽之间的关系怎样?

[导入语]　两个长方形的形状是否相同,与它们的长、宽比是否相等有关.为此,需要研究线段的比和成比例线段.

导入三:

复习提问:

1.举例说明什么是比、比例?什么是比例的内项、外项?

2.已知线段a=3cm,b=2cm,则线段a,b的比是　　　　. 

【师生活动】　学生回忆小学内容作出回答,教师点评.

[设计意图]　通过形状相同的生活图片引出本章要探究的主要内容,激发学生学习本章内容的热情;以直观观察和计算长方形的长、宽的比判断两个长方形形状是否相同,引出本节课的课题,激发学生的求知欲;通过复习小学学过的有关比的概念,为本节课的学习做好铺垫.

二、新知构建：

　　[过渡语]　让我们一起探究线段的比和成比例线段的有关概念及性质吧!

共同探究一　线段的比、比例线段的概念

思路一

自主学习教材58页,思考下列问题:

(1)两条线段的比与它们的长度有关吗?

(2)两条线段的比是否与它们的长度单位有关?

(3)两条线段的比是什么数?结果有单位吗?

(4)什么是成比例线段?

(5)如何判断四条线段是成比例线段?

(6)成比例线段中的四条线段是否有顺序?

【师生活动】　学生自主学习、独立思考后,小组合作交流,学生展示后教师点评归纳,课件展示有关概念及注意事项.

【课件展示】

1.线段的比:线段a和b的长度分别为m和n,我们就把m和n的比叫做线段a和b的比,记作a∶b=m∶n,或.

例如,如果a=2cm,b=3cm,那么,a∶b=2∶3.

注:计算线段的比,要选用同一长度度量单位.

2.成比例线段:在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,我们就把这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.此时也称这四条线段成比例.

例如,在导入二图中,AB,BC,A'B',B'C'是成比例线段,而AB,BC,A1B1,B1C1不是成比例线段.

注:成比例线段概念中的四条线段是有顺序的,如a,b,c,d是成比例线段与a,d,b,c是成比例线段,得到的比例式是不同的.

思路二

教师引导分析:

(1)如果线段a=3cm,b=20mm,则线段a和b的比是　　　　,记作　　　　. 

【师生活动】　学生思考后小组合作交流,教师对学生的展示作出回答,并强调易错点,不要忽略换算单位.

(2)线段a和b的长度分别为m和n,则线段a和b的比是　　　　,记作　　　　或　　　　. 

【师生活动】　学生回答,教师加以引导归纳.

(3)如果线段a=3cm,b=6cm,c=2cm,b=4cm,则线段a和b的比与线段c和d的比　　　　,即　　　　. 

【师生活动】　学生计算回答,教师归纳这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段.

(4)如果线段a=3cm,c=6cm,b=2cm,b=4cm,则线段a和c的比与线段b和d的比　　　　,即　　　　. 

【师生活动】　学生计算回答,教师归纳这四条线段a,c,b,d叫做成比例线段.

(5)(3)和(4)中的成比例线段有什么区别?

【师生活动】　学生观察回答,教师点评,学生如有困难,教师要及时引导,归纳成比例线段概念中的四条线段是有顺序的.

(6)如何判断四条线段是否成比例?

(方法一:把四条线段按长短排列好,判断前两条线段的比和后两条线段的比是否相等;方法二:查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积)

【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,对学生展示点评,鼓励学生用多种方法进行判断.

【课件展示】

1.线段的比:线段a和b的长度分别为m和n,我们就把m和n的比叫做线段a和b的比,记作a∶b=m∶n,或.

例如,如果a=2cm,b=3cm,那么,a∶b=2∶3.

注:计算线段的比,要选用同一长度度量单位.

2.成比例线段:在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,我们就把这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.此时也称这四条线段成比例.

例如,在导入二图中,AB,BC,A'B',B'C'是成比例线段,而AB,BC,A1B1,B1C1不是成比例线段.

注:成比例线段概念中的四条线段是有顺序的,如a,b,c,d是成比例线段与a,d,b,c是成比例线段,得到的比例式是不同的.

[设计意图]　学生在自主学习的基础上,教师提出的问题的引导下,层层深入地形成线段的比和成比例线段的概念,学生经历概念的形成过程,加深对概念的理解,为本章的后继学习做好铺垫.

共同探究二　比例的基本性质

　　[过渡语]　在数学中我们经常知道了它的概念后再研究它的性质,那么比例有什么基本性质呢?我们一起去探究.

【思考】

1.如果线段a,b,c,d成比例,那么ad和bc相等吗?为什么?

2.如果线段a,b,c,d满足ad=bc,那么这四条线段成比例吗?为什么?

3.如果线段a,b,c,d满足ad=bc,你能得到几个比例式?为什么?

【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,教师给学生足够的时间讨论,在巡视中帮助有困难的学生,小组代表展示,教师作出点评,并归纳比例的基本性质.

【课件展示】

比例的基本性质:

如果,那么ad=bc.

如果ad=bc,那么(b,d≠0).

特别地,如果,即b2=ac,就把b叫做a,c的比例中项.

[设计意图]　通过独立思考、合作交流、共同归纳等数学活动,探究比例的基本性质,实质是利用等式的基本性质将比例式变形,培养学生的合作意识,提高学生综合运用知识解决问题的能力.

共同探究三　比例的等比性质

教师引导分析:

(1)由,可以得到=　　　　; 

(2)由,可以得到=　　　　; 

(3)猜想:由=…=(b+d+…+n≠0),可以得到=　　　　; 

(4)你能证明你的猜想吗?

【师生活动】　学生独立思考,小组合作交流,如果学生对(4)的证明有困难,教师引导学生思考,根据结果肯定有约分的过程,变形实现约分的目的,引导发现a,c…,m与b,d…,n之间的关系,采用设k法证明.学生展示后教师点评,展示证明过程及结论.

【课件展示】

若=…=(b+d+…+n≠0),则.

证明:若设=…==k,则有a=kb,c=kd,…,m=kn.

所以a+c+…+m=kb+kd+…+kn=k(b+d+…+n).

因为b+d+…+n≠0,

所以=k.

即.

[设计意图]　通过计算、观察、猜想、验证等数学活动,探究比例的等比性质,让学生经历由特殊到一般的数学思想方法,在数学活动中,教师引导学生通过设k法完成性质的证明,提高学生分析问题、解决问题的能力及勇于挑战困难的精神.

共同探究四　黄金分割

　　[过渡语]　芭蕾舞演员表演时踮起脚尖,让下身占整个身体的0.618,就会给人以更为优美的艺术形象,还有维纳斯女神、蒙娜丽莎永远的微笑为什么给我们美感,你知道其中的道理吗?让我们一起去看看如何用数学知识解释这个现象吧!

欣赏图片:

【课件展示】

试着做做:

如图所示,已知线段AB=a,点C在AB上.

当时,线段AC的长是多少?

【师生活动】　学生独立完成,小组内交流答案,对解决有困难的学生,教师引导利用方程思想求线段的长,小组代表板书解答过程,教师点评,规范解答格式.

(板书)

解:设AC=x,则BC=a-x.

∵,∴,

∴建立关于x的方程x2+ax-a2=0,

解得x=a,

∵AC为正数,∴AC=a≈0.618a.

归纳概念:

【课件展示】

在线段AB上有一点C,如果点C把AB分成的两条线段AC和BC满足.

那么称线段AB被点C黄金分割,点C称为线段AB的黄金分割点,称为黄金比.

每条线段上的黄金分割点都有两个.

　　[过渡语]　黄金分割具有艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值,在建筑、艺术等领域有着广泛的应用.

　如图所示,上海东方明珠塔的塔身高为468m,在塔身上装置了下球体、中球体和上球体(太空舱),分别位于塔身的68m~118m,250m~295m,335m~349m之间,使塔身显得非常协调美观.塔身的黄金分割点位于哪个球体内?请说明理由.

【师生活动】　学生独立完成后小组内交流答案,教师对学生的展示进行点评.

[设计意图]　学生通过图片,感受生活中的美,激发学生学习黄金分割的兴趣,引导学生用一元二次方程求线段的黄金比,体会方程思想在解决几何问题时的应用,通过计算黄金分割点在上海东方明珠的哪个球体内,感受黄金分割在实际生活中的应用,体会数学来源于生活,又应用于生活.

[知识拓展]　

1.式子也可以写成a∶b=c∶d,通常这里的a叫做第一比例项,b叫做第二比例项,c叫做第三比例项,d叫做第四比例项.

2.有时在中,b=c,例如,这时我们把b(或c)叫做a,d的比例中项,此时b2(或c2)=ad.

3.在与比例有关的计算中,我们常通过比例的基本性质转化字母之间的关系.

4.通常情况下,四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便,a,b和c,d的单位分别一致也可以.

5.在连等形式的比例式中如=…=,常用设k法解决有关计算问题.

6.黄金分割点将线段分成两部分,较长的线段是较短的线段和这条线段的比例中项,较长线段约等于这条线段的0.618.

三、课堂小结：

1.线段的比:

成比例线段:

2.比例的基本性质:

如果,那么ad=bc.

如果ad=bc,那么(b,d≠0).

3.比例的等比性质:

若=…=(b+d+…+n≠0),则.

4.黄金分割: