人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算习题课件ppt

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第二课时　共线向量与共面向量题型一　向量共线问题角度1　共线向量的证明例1 如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？解　法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，∴＝＋＋＝＋＋.①又∵＝＋＋＋＝－＋－－，②①＋②得2＝，∴∥，即与共线.法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，∴＝－＝(＋)－＝(＋)－(＋)＝(－)＝(－)＝.∴∥，即与共线.思维升华　判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出a＝λb，从而得到a∥b.训练1 如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形.证明　∵E，H分别是AB，AD的中点，∴＝，＝，则＝－＝－＝＝(－)＝(－)＝(－)＝，∴∥且||＝||≠||.又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形.角度2　三点共线的证明例2 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，证明：A1，G，C三点共线.证明　连接GB，GD，GC1，＝＋＋＝＋＋.因为G为△BC1D的重心，所以＋＋＝0，又＝＋，＝＋，＝＋，所以3＝＋＋，即＝(＋＋)＝，所以∥，即A1，G，C三点共线.思维升华　证明三点共线的方法(1)若＝λ，则P，A，B三点共线.(2)对空间任意一点，若＝x＋y且x＋y＝1，则P，A，B三点共线.训练2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线.证明　设＝a，＝b，＝c，因为＝2，＝，所以＝，＝，所以＝＝b，＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c，所以＝－＝a－b－c＝(a－b－c).又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，所以＝，所以E，F，B三点共线.题型二　向量共面问题角度1　向量共面的证明例3 如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面.证明　因为M在BD上，且BM＝BD，所以＝＝＋.同理＝＋.所以＝＋＋＝(＋)＋＋(＋)＝＋＝＋.又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面.角度2　四点共面的证明例4 (链接教材P5例1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面.证明　设＝ a，＝ b，＝ c，则＝b－a，∵M为线段DD1的中点，∴＝c－a，又∵AN∶NC＝2∶1，∴＝＝(b＋c)，∴＝－＝(b＋c)－a＝(b－a)＋(c－a)＝＋，∴，，为共面向量.又∵三向量有相同的起点A1，∴A1，B，N，M四点共面.思维升华　证明空间三向量共面或四点共面的方法(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面.(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面.训练3 已知三点A，B，C不共线，对平面ABC外一点O，且满足＝3－4＋2，判断点P是否与点A，B，C共面.解　若点P与点A，B，C共面，则存在唯一实数对x，y，使得＝x＋y，那么对空间任意一点O，有－＝x(－)＋y(－)，即＝(1－x－y)＋x＋y.与已知条件对比，得即存在实数x＝－4，y＝2，使得＝－4＋2，所以向量，，共面，又，，过同一点P，故点P与点A，B，C共面.[课堂小结]1.重要思想与方法(1)应用向量共线的充要条件可解决三点共线问题，利用向量共面的充要条件可证明四点共面、线面平行等.(2)本节应用的数学思想为类比，转化与化归.2.易错易混点提醒(1)混淆向量共线与线段共线、点共线.(2)证明线面平行时混淆“线面平行”与“向量共线”.