高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示优秀精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示优秀精练，共11页。

1．(多选题)在菱形ABCD中，若 eq \(PA,\s\up6(→)) 是平面ABCD的法向量，则以下等式中成立的是( )
A． eq \(PA,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝0 B． eq \(PC,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝0
C． eq \(PC,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝0 D． eq \(PA,\s\up6(→)) · eq \(CD,\s\up6(→)) ＝0
ABD [∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.又AC⊥BD，
∴PC⊥BD.故选项B正确，选项A和D显然成立．]
2．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1，0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
B [a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β. ]
3．若空间中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的关系为( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
A [ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(－2，－2，2)， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝(1，1，－1)，
∴ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝－2 eq \(CD,\s\up6(→)) .∴ eq \(AB,\s\up6(→)) ∥ eq \(CD,\s\up6(→)) .∴AB∥CD.]
4．(多选题)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列四个结论中，正确的是( )
A．A1M∥D1P
B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1
D．A1M∥平面D1PQB1
ACD [＋，所以A1M∥D1P，所以A1M∥D1P，故A正确．由线面平行的判定定理可知，A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.故C，D正确．因为PQ与D1B1平行但不相等，所以四边形D1PQB1为梯形，即D1P与B1Q不平行，即A1M与B1Q不平行，故B不正确．]
5．已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1，0)，b＝(1，4，5)，c＝(－3，12，－9)，则( )
A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直
B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直
C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直
D．l1，l2，l3两两互相垂直
A [∵a·b＝(4，－1，0)·(1，4，5)＝4－4＋0＝0，
a·c＝(4，－1，0)·(－3，12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0，b·c＝(1，4，5)·(－3，12，－9)＝－3＋48－45＝0，∴a⊥b，a与c不垂直，b⊥c.∴l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3.]
6．(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(2，－1，－4)， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝(4，2，0)， eq \(AP,\s\up6(→)) ＝(－1，2，－1)，那么下列结论正确的是( )
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C． eq \(AP,\s\up6(→)) 是平面ABCD的法向量
D． eq \(AP,\s\up6(→)) ∥ eq \(BD,\s\up6(→))
ABC [∵ eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AP,\s\up6(→)) ＝0， eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(AP,\s\up6(→)) ＝0，
∴AB⊥AP，AD⊥AP，则A，B正确．
又 eq \(AB,\s\up6(→)) 与 eq \(AD,\s\up6(→)) 不平行，
∴ eq \(AP,\s\up6(→)) 是平面ABCD的法向量，则C正确．
∵ eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(2，3，4)， eq \(AP,\s\up6(→)) ＝(－1，2，－1)，∴ eq \(BD,\s\up6(→)) 与 eq \(AP,\s\up6(→)) 不平行，故D错误．]
7．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
B [建立如右图坐标系，设正方体棱长为1，
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，
D(0，0，0)，A1(1，0，1)，E( eq \f(1,2) ， eq \f(1,2) ，1).
∴ eq \(CE,\s\up6(→)) ＝( eq \f(1,2) ， eq \f(1,2) ，1)－(0，1，0)＝( eq \f(1,2) ，－ eq \f(1,2) ，1)，
eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(－1，1，0)， eq \(BD,\s\up6(→)) ＝(－1，－1，0)，
∵ eq \(CE,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝( eq \f(1,2) ，－ eq \f(1,2) ，1)·(－1，－1，0)
＝－ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) ＋0＝0，∴ eq \(CE,\s\up6(→)) ⊥ eq \(BD,\s\up6(→)) ，∴CE⊥BD.]
8．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________.
3 [∵l⊥α，v∥α，∴u⊥v.
∴(1，3，z)·(3，－2，1)＝0，即3－6＋z＝0，z＝3.]
9．(多空题)已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________， eq \(AP,\s\up6(→)) ＝________(用向量 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AC,\s\up6(→)) 表示).
11 －4 eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) [ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(－2，2，－2)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(－1，6，－8)，
eq \(AP,\s\up6(→)) ＝(x－4，－2，0)，由题意知A，B，C，P四点共面，
∴ eq \(AP,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋μ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)
＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ).
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2λ＋6μ＝－2，,－2λ－8μ＝0，)) ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝－4，,μ＝1，))
而x－4＝－2λ－μ，∴x＝11， eq \(AP,\s\up6(→)) ＝－4 eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) .]
10．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥DC；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB.
(1)证明 以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图所示)，设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a,2)，0)) ，P(0，0，a)，F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2))) ，
∴ eq \(EF,\s\up6(→)) · eq \(DC,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，0，\f(a,2))) ·(0，a，0)＝0，
∴EF⊥DC.
(2)解 设G(x，0，z)满足条件，则G∈平面PAD.
eq \(FG,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2))) ，
由 eq \(FG,\s\up6(→)) · eq \(CB,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2))) ·(a，0，0)
＝a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2))) ＝0，得x＝ eq \f(a,2) ，
由 eq \(FG,\s\up6(→)) · eq \(CP,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2))) ·(0，－a，a)＝ eq \f(a2,2) ＋a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(z－\f(a,2))) ＝0，得z＝0，
∴G点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，0，0)) ，即G点为AD的中点．
11．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝ eq \f(1,2) PD，则平面PQC与平面DCQ的位置关系为( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．位置关系不确定
B [如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.
依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0).
则 eq \(DQ,\s\up6(→)) ＝(1，1，0)， eq \(DC,\s\up6(→)) ＝(0，0，1)， eq \(PQ,\s\up6(→)) ＝(1，－1，0).
因为 eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(DQ,\s\up6(→)) ＝0， eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(DC,\s\up6(→)) ＝0，
所以PQ⊥DQ，PQ⊥DC.所以PQ⊥平面DCQ.
又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.]
12．已知 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(1，5，－2)， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝(3，1，z)，若 eq \(AB,\s\up6(→)) ⊥ eq \(BC,\s\up6(→)) ， eq \(BP,\s\up6(→)) ＝(x－1，y，－3)，且 eq \(BP,\s\up6(→)) ⊥平面ABC，则 eq \(BP,\s\up6(→)) 等于( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(33,7)，－\f(15,7)，4)) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(33,7)，－\f(15,7)，－3))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(40,7)，－\f(15,7)，－3)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(40,7)，\f(15,7)，－3))
B [由 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝0得3＋5－2z＝0，∴z＝4.
又 eq \(BP,\s\up6(→)) ⊥平面ABC，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\(BP,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))＝0，,\(BP,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→))＝0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1＋5y＋6＝0，,3x－3＋y－12＝0，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(40,7)，,y＝－\f(15,7)．)) ∴ eq \(BP,\s\up6(→)) ＝( eq \f(33,7) ，－ eq \f(15,7) ，－3).]
13．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________．
a或2a [建立如图所示的坐标系，则B1(0，0，3a)，
D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2)a,2)，\f(\r(2)a,2)，3a)) ，C(0， eq \r(2) a，0).
设E( eq \r(2) a，0，z)(0≤z≤3a)，
则 eq \(CE,\s\up6(→)) ＝( eq \r(2) a，－ eq \r(2) a，z)，
B1E＝( eq \r(2) a，0，z－3a).
由题意得2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a.
故AE＝a或2a.]
14．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝ eq \r(2) ，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系．
设AC∩BD＝N，连接NE，则点N，E的坐标分别是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0)) ，(0，0，1)，
∴ eq \(NE,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1)) .
又点A，M的坐标分别是( eq \r(2) ， eq \r(2) ，0)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)) ，
∴ eq \(AM,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1)) .
∴ eq \(NE,\s\up6(→)) ＝ eq \(AM,\s\up6(→)) ，且NE与AM不共线．∴NE∥AM.
又NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1)) .
∵D( eq \r(2) ，0，0)，F( eq \r(2) ， eq \r(2) ，1)，∴ eq \(DF,\s\up6(→)) ＝(0， eq \r(2) ，1).
∴ eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(DF,\s\up6(→)) ＝0.∴ eq \(AM,\s\up6(→)) ⊥ eq \(DF,\s\up6(→)) .同理 eq \(AM,\s\up6(→)) ⊥ eq \(BF,\s\up6(→)) .
又DF∩BF＝F，DF，BF⊂平面BDF，∴AM⊥平面BDF.
15．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．
(1)求证：平面AED⊥平面A1FD1；
(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.
(1)证明 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，不妨设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(0，1，0)，A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，∴ eq \(DA,\s\up6(→)) ＝(2，0，0)， eq \(DE,\s\up6(→)) ＝(2，2，1)， eq \(AE,\s\up6(→)) ＝(0，2，1).设平面AED的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n1·\(DA,\s\up6(→))＝0，,n1·\(DE,\s\up6(→))＝0，))
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x1＝0，,2x1＋2y1＋z1＝0，))
令y1＝1，得n1＝(0，1，－2).同理可得平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0，2，1).∵n1·n2＝0，∴平面AED⊥平面A1FD1.
(2)解 由于点M在AE上，∴可设 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AE,\s\up6(→)) ＝λ(0，2，1)＝(0，2λ，λ)，可得M(2，2λ，λ)，于是A1M＝(0，2λ，λ－2).要使A1M⊥平面DAE，需A1M⊥AE，∴A1M· eq \(AE,\s\up6(→)) ＝(0，2λ，λ－2)·(0，2，1)＝5λ－2＝0，解得λ＝ eq \f(2,5) .故当AM＝ eq \f(2,5) AE时，即点M的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(4,5)，\f(2,5))) 时，A1M⊥平面DAE.
16．如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由．
(1)证明 如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设AB＝a，则A(0，0，0)，A1(0，0，1)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E( eq \f(a,2) ，1，0)，B1(a，0，1)，所以＝(0，1，1)，＝(－ eq \f(a,2) ，1，－1)，＝(a，0，1)，
eq \(AE,\s\up6(→)) ＝( eq \f(a,2) ，1，0).
因为＝－ eq \f(a,2) ×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以，所以B1E⊥AD1.
(2)解 假设在棱AA1上存在一点P(0，0，t)(0≤t≤1)，使得DP∥平面B1AE，此时 eq \(DP,\s\up6(→)) ＝(0，－1，t).
设平面B1AE的一个法向量为n＝(x，y，z).
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·AB1＝0，,n·\(AE,\s\up6(→))＝0，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax＋z＝0，,\f(ax,2)＋y＝0.))
取x＝1，可得平面B1AE的一个法向量为n＝(1，－ eq \f(a,2) ，－a).
要使DP∥平面B1AE，只需n⊥ eq \(DP,\s\up6(→)) ，即n· eq \(DP,\s\up6(→)) ＝0，即 eq \f(a,2) －at＝0，解得t＝ eq \f(1,2) .
又DP⊄平面B1AE，所以存在点P，使得DP∥平面B1AE，此时AP＝ eq \f(1,2) .