【最新版】高中数学高三培优小题练第45练　数列的通项

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考点一 由数列的递推关系求通项
1．(2022·邢台模拟)在数列{an}中，a1＝1，n(n＋1)(an＋1－an)＝1(n∈N*)，则a21等于( )
A.eq \f(21,20) B.eq \f(19,20) C.eq \f(41,21) D.eq \f(40,21)
答案 C
解析 由题意知，an＋1－an＝eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，
所以a21－a20＝eq \f(1,20)－eq \f(1,21)，a20－a19＝eq \f(1,19)－eq \f(1,20)，…，a2－a1＝1－eq \f(1,2)，
所以(a21－a20)＋(a20－a19)＋…＋(a2－a1)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,20)－\f(1,21)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,19)－\f(1,20)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))，
即a21－a1＝1－eq \f(1,21)，a21＝1－eq \f(1,21)＋1＝eq \f(41,21).
2．数列{an}满足a1＝1，n(an－an－1)＝an－1，则an等于( )
A．n＋1 B.eq \f(n＋1,2)
C.eq \f(nn＋1,2) D．n
答案 B
解析 ∵n(an－an－1)＝an－1，
∴nan＝(n＋1)an－1，
∴eq \f(an,an－1)＝eq \f(n＋1,n)(n≥2)，
∴eq \f(a2,a1)＝eq \f(3,2)，eq \f(a3,a2)＝eq \f(4,3)，eq \f(a4,a3)＝eq \f(5,4)，…，eq \f(an,an－1)＝eq \f(n＋1,n)，
以上各式相乘得eq \f(an,a1)＝eq \f(n＋1,2)，
∴an＝eq \f(n＋1,2)(n≥2)，
当n＝1时，a1满足上式，
∴an＝eq \f(n＋1,2).
3．若数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq \f(an,1＋3an)，则这个数列的第10项a10等于( )
A．28 B．29
C.eq \f(1,28) D.eq \f(1,29)
答案 C
解析 由题意，数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq \f(an,1＋3an)，可得eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝3，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))表示首项为1，公差为3的等差数列，
所以eq \f(1,an)＝1＋(n－1)×3＝3n－2，即an＝eq \f(1,3n－2)，
所以a10＝eq \f(1,3×10－2)＝eq \f(1,28).
4．已知数列{an}满足a1＝1，an＝eq \f(1,2)an－1＋1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为________ .
答案 an＝2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1
解析 设an＋x＝eq \f(1,2)(an－1＋x)，即an＝eq \f(1,2)an－1－eq \f(1,2)x，又an＝eq \f(1,2)an－1＋1，得－eq \f(1,2)x＝1，
x＝－2，∴eq \f(an－2,an－1－2)＝eq \f(1,2)，∴{an－2}是一个等比数列．
首项为a1－2＝－1，公比为q＝eq \f(1,2)，
∴an－2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1，∴an＝2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1.
考点二 由前n项和Sn求通项
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2an，a1＝1，则an等于( )
A.eq \f(2n,n＋1) B.eq \f(2,nn＋1)
C.eq \f(n2,2n－1) D.eq \f(n2,2n－1)
答案 B
解析 当n≥2时，Sn＝n2an，
则Sn＋1＝(n＋1)2an＋1，
且S2＝22a2，
即1＋a2＝4a2，
所以a2＝eq \f(1,3).
两式作差得Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an，
即an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，
即(n＋2)an＋1＝nan，
所以eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n,n＋2)，
即eq \f(an,an－1)＝eq \f(n－1,n＋1)(n≥2)．
则an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·eq \f(an－2,an－3)·…·eq \f(a4,a3)·eq \f(a3,a2)·a2
＝eq \f(n－1,n＋1)·eq \f(n－2,n)·eq \f(n－3,n－1)·…·eq \f(3,5)·eq \f(2,4)·a2
＝eq \f(2,nn＋1).当n＝1时，也符合上式，
所以an＝eq \f(2,nn＋1).
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________.
答案 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，n＝1，,2·3n－1，n≥2))
解析 当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.
当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，
所以an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，n＝1，,2·3n－1，n≥2.))
7．数列{an}满足a1＋eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,3)a3＋…＋eq \f(1,n)an＝n2(n∈N*)，则an＝________.
答案 2n2－n
解析 ∵a1＋eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,3)a3＋…＋eq \f(1,n)an＝n2(n≥1)，
∴a1＋eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,3)a3＋…＋eq \f(1,n－1)an－1＝(n－1)2(n≥2)，
两式相减得
eq \f(1,n)an＝n2－(n－1)2(n≥2)，
即eq \f(1,n)an＝2n－1，
∴an＝2n2－n(n≥2)，
当n＝1时，a1＝1满足上式，
∴an＝2n2－n，n∈N*.
考点三 数列通项的性质
8．“干支纪法”是我国记年、月、日、时的序号的传统方法，天干地支简称“干支”，“天干”指：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．“地支”指：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．如农历1861年为辛酉年，农历1862年为壬戌年，农历1863年为癸亥年，则农历2068年为( )
A．丁亥年 B．丁丑年
C．戊寅年 D．戊子年
答案 D
解析 记a1＝辛，b1＝酉(1 861)；
a2＝壬，b2＝戌(1 862)；
a3＝癸，b3＝亥(1 863)，
所以记天干为数列{an}，且最小正周期为10，记地支为数列{bn}，且最小正周期为12，
a2 068＝a8＝戊，b2 068＝b4＝子，故农历2068年为戊子年．
9．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))满足a1＝28，eq \f(an＋1－an,n)＝2，则eq \f(an,n)的最小值为( )
A.eq \f(29,3) B. 4eq \r(7)－1 C. eq \f(48,5) D.eq \f(27,4)
答案 C
解析 由an＋1－an＝2n知，a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2(n－1)，
以上各式相加得an－a1＝n2－n，所以eq \f(an,n)＝n＋eq \f(28,n)－1，函数f(x)＝x＋eq \f(28,x)－1在(0,2eq \r(7))上单调递减，在(2eq \r(7)，＋∞)上单调递增，又x∈N*，而5<2eq \r(7)<6，且eq \f(a5,5)＝eq \f(48,5)10．已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋λn(n∈N*)，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
答案 (－3，＋∞)
解析 ∵{an}是递增数列，
∴当n≥1时，恒有an＋1>an，
即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，
即λ>－2n－1.
又n≥1，
∴(－2n－1)max＝－3，
∴λ>－3.
11．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，a1＝1,3anSn－1＝Seq \\al(2,n)－Seq \\al(2,n－1)(n≥2)，则( )
A．an＝2n－1 B．an＝2n－1
C．Sn＝2n－1 D．Sn＝2n－1
答案 C
解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
所以3(Sn－Sn－1)Sn－1＝Seq \\al(2,n)－Seq \\al(2,n－1)＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)，
又因为数列{an}是正项数列，
所以Sn－Sn－1≠0，
所以3Sn－1＝Sn＋Sn－1，
即Sn＝2Sn－1，又a1＝1，所以数列{Sn}是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以Sn＝1×2n－1＝2n－1.
12．(2022·重庆巴蜀中学模拟)已知数列{an}满足an＋1＝eq \f(1,2)an－eq \f(1,2)，a1＝－eq \f(1,2)，若对任意的正整数n，(n－3)(an＋1)<λ恒成立，则实数λ的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
答案 A
解析 因为an＋1＝eq \f(1,2)an－eq \f(1,2)，
所以an＋1＋1＝eq \f(1,2)(an＋1)，
所以{an＋1}是以eq \f(1,2)为首项，eq \f(1,2)为公比的等比数列，
所以an＋1＝eq \f(1,2n)，
所以an＝eq \f(1,2n)－1，
因为对任意的正整数n，(n－3)(an＋1)<λ恒成立，
所以λ>[(n－3)(an＋1)]max，
令bn＝(n－3)(an＋1)＝eq \f(n－3,2n)，bn＋1－bn＝eq \f(n－2,2n＋1)－eq \f(n－3,2n)＝eq \f(4－n,2n＋1)，
所以当04时，bn单调递减，
所以b1b6>b7>…，
所以bn的最大值为b4＝b5＝eq \f(1,16)，
所以λ>eq \f(1,16).
13．(2022·安徽省十校联盟联考)已知数列{an}满足2an＋1－an＝n＋2(n∈N*)，a1＝5，若{an}的前n项和为Sn，则满足不等式Sn>2 022的最小整数n的值是( )
A．60 B．62 C．63 D．65
答案 C
解析 由原式2an＋1－an＝n＋2变形得2[an＋1－(n＋1)]＝an－n，
又a1＝5，所以{an－n}为等比数列，首项为4，公比为eq \f(1,2)，所以an－n＝23－n，an＝23－n＋n，结合分组求和法得
Sn＝eq \f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＋eq \f(1＋nn,2)＝
8eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n))＋eq \f(1＋nn,2)，
当n∈N*时，{Sn}为递增数列，
S62≈8＋1 953＝1 961，S63≈8＋2 016＝2 024，
故Sn>2 022的最小整数n的值是63.
14．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝eq \f(1,3)，若an·(an－1＋2an＋1)＝3an－1·an＋1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________.
答案 eq \f(1,2n－1)
解析 由题意知，an≠0，anan－1＋2anan＋1＝3an－1an＋1，
∴eq \f(1,an＋1)＋eq \f(2,an－1)＝eq \f(3,an)，eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)－\f(1,an－1)))，
∴eq \f(\f(1,an＋1)－\f(1,an),\f(1,an)－\f(1,an－1))＝2，
∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an＋1)－\f(1,an)))是首项为2，公比为2的等比数列，
∴eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝2×2n－1＝2n，
利用累加法，得eq \f(1,a1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)－\f(1,a1)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a3)－\f(1,a2)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)－\f(1,an－1)))＝1＋2＋22＋…＋2n－1，
∴eq \f(1,an)＝eq \f(2n－1,2－1)＝2n－1，∴an＝eq \f(1,2n－1).