【最新版】高中数学高三培优小题练第44练　等比数列

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考点一 等比数列基本量的运算
1．设{an}是公比q≠1的等比数列，且a2＝9，a3＋a4＝18，则q等于( )
A．2 B.eq \f(1,2) C．－2 D．－eq \f(1,2)
答案 C
解析 ∵a2＝9，a3＋a4＝18，∴a1·q＝9，a1·q2＋a1·q3＝18，∴q(1＋q)＝2，解得q＝－2或q＝1(舍去)．
2．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.若q>1，am＋am＋2＝eq \f(5,2)am＋1，且S2m＝9Sm，m∈N*，则m的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 B
解析 因为am＋am＋2＝eq \f(5,2)am＋1，
所以am＋amq2＝eq \f(5,2)amq，
即q2－eq \f(5,2)q＋1＝0，
因为q>1，所以q＝2.
由S2m＝9Sm，得eq \f(a11－22m,1－2)＝9×eq \f(a11－2m,1－2)，
又a1≠0，所以1－22m＝9(1－2m)，
因为m∈N*，则1－2m≠0，
所以1＋2m＝9，解得m＝3.
3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请计算此人第二天走的路程．则该问题的计算结果为( )
A．12里 B．24里 C．96里 D．48里
答案 C
解析 设第i天走了ai里，其中i＝1,2,3,4,5,6，由题意可知a1，a2，a3，a4，a5，a6成等比数列，其公比q＝eq \f(1,2)，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝eq \f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，所以a2＝192×eq \f(1,2)＝96.
考点二 等比数列的判定与证明
4．已知{an}，{bn}都是等比数列，则下列说法正确的是( )
A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列
B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列
C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列
D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列
答案 C
解析 两个等比数列的积仍是一个等比数列，但两个等比数列的和不一定是一个等比数列．
5．(2022·盐城模拟)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝aeq \\al(4,n)，则a6的值为( )
A．220 B．224 C．21 024 D．24 096
答案 C
解析 an＋1＝aeq \\al(4,n)，a1＝2，易知an>0，
故ln an＋1＝4ln an，
故{ln an}是首项为ln 2，公比为4的等比数列，ln an＝4n－1·ln 2，ln a6＝45·ln 2＝ln 21 024，
故a6＝21 024.
6. 若Sn为数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是________．(填序号)
①a5＝－16；②S5＝－63；③数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是等比数列；④数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Sn＋1))是等比数列．
答案 ①③
解析 因为Sn为数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，
所以S1＝2a1＋1，因此a1＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是以－1为首项，以2为公比的等比数列，故③正确；
因此a5＝－1×24＝－16，故①正确；
又Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故②错误；
因为S1＋1＝0，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Sn＋1))不是等比数列，故④错误．
考点三 等比数列的性质及应用
7．已知正项等比数列{an}，若向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8，a2))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a8，2))，a∥b，则lg2a1＋lg2a2＋…＋lg2a9等于( )
A．12 B．8＋lg25
C．5 D．18
答案 D
解析 由题意，向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8，a2))，b＝(a8,2)，a∥b，
则8×2－a2a8＝0，即a2a8＝16，
根据等比中项的定义，可得a2a8＝aeq \\al(2,5)＝16，
∵a5>0，故a5＝4，
∴lg2a1＋lg2a2＋…＋lg2a9＝lg2(a1a2…a9)
＝lg2[(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)·a5]＝lg2aeq \\al(9,5)＝9lg24＝18.
8．(2022·江门模拟)在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝eq \f(63,32)，a3a4＝eq \f(1,32)，则eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋eq \f(1,a3)＋eq \f(1,a4)＋eq \f(1,a5)＋eq \f(1,a6)等于( )
A．63 B.eq \f(31,16) C．2 D.eq \f(63,1 024)
答案 A
解析 由等比数列的性质a1a6＝a2a5＝a3a4＝eq \f(1,32)及a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝eq \f(63,32)得
eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋eq \f(1,a3)＋eq \f(1,a4)＋eq \f(1,a5)＋eq \f(1,a6)
＝eq \f(a1＋a6,a1a6)＋eq \f(a2＋a5,a2a5)＋eq \f(a3＋a4,a3a4)
＝eq \f(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6,a3a4)＝eq \f(63,32)·32＝63.
9．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12等于( )
A．32 B．64 C．72 D．216
答案 B
解析 由于S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故eq \f(S6－S3,S3)＝2，
所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64.
10．(2022·山西师大附中质检)已知正项等比数列{an}中，a3＝eq \f(1,2)，a4＝eq \f(1,4)，Sn表示数列{anan＋1}的前n项和，则Sn的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(8,3)))
解析 a3＝a1q2＝eq \f(1,2)，a4＝a1q3＝eq \f(1,4)，
解得a1＝2，q＝eq \f(1,2)，
故an＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1，
anan＋1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))n－1，
Sn＝2×eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))n,1－\f(1,4))＝eq \f(8,3)－eq \f(8,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))n，
故{Sn}是递增数列，当n＝1时，S1＝2；
当n→＋∞时，Sn→eq \f(8,3).
故Sn∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(8,3))).
11．在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法错误的是( )
A．q＝2
B．数列{Sn＋2}是等比数列
C．S8＝510
D．数列{lg an}是公差为2的等差数列
答案 D
解析 由等比数列的公比q为整数，得到|a2|<|a3|，
由等比数列的性质得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1a4＝a2a3＝32，,a2＋a3＝12，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,a3＝8，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q＝4，,a1q2＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,q＝2.))
Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(21－2n,1－2)＝2n＋1－2，则Sn＋2＝2n＋1，∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Sn＋2))是等比数列．
S8＝29－2＝510.
∵lg an＋1－lg an＝lgeq \f(an＋1,an)＝lg q＝lg 2，
∴数列{lg an}是以lg 2为公差的等差数列．
故A，B，C选项正确，D选项错误．
12．等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和为Sn，公比为q，若S10＝33S5，S6＝63，则满足anSn>10(an＋Sn)的n的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 由已知得q≠1，由S10＝33S5，得eq \f(a11－q10,1－q)＝33×eq \f(a11－q5,1－q)，解得q＝2，
又S6＝63，∴S6＝eq \f(a11－26,1－2)＝63，∴a1＝1，
∴an＝2n－1，Sn＝2n－1，
∴anSn>10(an＋Sn)化为
22n－31×2n＋20>0，
∵2n≥2，
∴2n>eq \f(31＋\r(881),2)，
∴n的最小值为5.
13．已知{an}是等比数列，公比大于1，且a2＋a4＝20，a3＝8.记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，则数列{bm}的前60项的和S60的值为________．
答案 243
解析 因为{an}是等比数列，a2＋a4＝20，a3＝8，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q＋a1q3＝20，,a1q2＝8，))
解得a1＝2，q＝2或a1＝32，q＝eq \f(1,2)(舍去)，
由于a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，a5＝32，a6＝64，
所以b1对应区间为(0,1]，则b1＝0；
b2，b3对应的区间分别为(0,2]，(0,3]，
所以有a1一项，则b2＝b3＝1；
b4，b5，b6，b7对应的区间分别为(0,4]，(0,5]，(0,6]，(0,7]，
所以有a1，a2两项，则b4＝b5＝b6＝b7＝2；
b8，b9，b10，b11，b12，b13，b14，b15对应的区间分别为(0,8]，(0,9]，(0,10]，(0,11]，(0,12]，(0,13]，(0,14]，(0,15]，
所以有a1，a2，a3三项，则b8＝b9＝b10＝b11＝b12＝b13＝b14＝b15＝3；
b16，b17，…，b31对应的区间分别为(0,16]，(0,17]，…，(0,31],
所以有a1，a2，a3，a4四项，则b16＝b17＝…＝b31＝4；
b32，b33，…，b60对应的区间分别为(0,32]，(0,33]，…，(0,60]，
所以有a1，a2，a3，a4，a5五项，b32＝b33＝…＝b60＝5.
所以S60＝0×1＋1×2＋2×4＋3×8＋4×16＋5×29＝243.
14. (2022·唐山四校联考)已知a1，a2，a3，a4依次成等比数列，公比q为正数且不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则q＝________.
答案 eq \f(±1＋\r(5),2)
解析 因为公比q不为1，所以删去的不是a1，a4.①若删去a2，则由2a3＝a1＋a4，得2a1q2＝a1＋a1q3，因为a1≠0，所以2q2＝1＋q3，整理得q2(q－1)＝(q－1)(q＋1)，又q≠1，所以q2＝q＋1，又q>0，所以q＝eq \f(1＋\r(5),2)；②若删去a3，则由2a2＝a1＋a4，得2a1q＝a1＋a1q3，因为a1≠0，所以2q＝1＋q3，整理得q(q＋1)(q－1)＝q－1，又q≠1，所以q(q＋1)＝1，又q>0，所以q＝eq \f(－1＋\r(5),2).
综上，q＝eq \f(±1＋\r(5),2).