【最新版】高中数学高三培优小题练第91练　二项分布与正态分布

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考点一 二项分布
1．已知随机变量ξ服从二项分布，即ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(1,3)))，则P(ξ＝2)的值为( )
A.eq \f(80,243) B.eq \f(13,243) C.eq \f(4,243) D.eq \f(3,16)
答案 A
解析 P(ξ＝2)＝Ceq \\al(2,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4＝eq \f(80,243).
2．(2022·烟台模拟)设随机变量X，Y满足Y＝3X－1，X～B(2，p)，若P(X≥1)＝eq \f(5,9)，则D(Y)等于( )
A．3 B.eq \f(1,3) C．4 D.eq \f(4,3)
答案 C
解析 由于随机变量X满足 X～B(2，p)，P(X≥1)＝eq \f(5,9)，
∴P(X＝0)＝1－P(X≥1)＝Ceq \\al(0,2)(1－p)2＝eq \f(4,9)，
解得p＝eq \f(1,3)，即X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,3)))，
∴D(X)＝np(1－p)＝2×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,9)，
又∵随机变量X，Y满足Y＝3X－1，
∴D(Y)＝32D(X)＝4.
3．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，某人上班需经过3个交通岗，则此人一次上班途中遇红灯的次数的均值为( )
A．0.4 B．1.2 C．0.43 D．0.6
答案 B
解析 ∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，
即X～B(3,0.4)，∴E(X)＝3×0.4＝1.2.
4．随机变量ξ服从二项分布ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝300，D(ξ)＝200，则p等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,3) C．1 D．0
答案 B
解析 二项分布ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n，p))的均值E(ξ)＝np＝300，方差D(ξ)＝npeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－p))＝200，解得p＝eq \f(1,3).
5．某群体中的每位成员使用移动支付的概率为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， D(X)＝2.4，P(X＝4)A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
答案 B
解析 ∵D(X)＝10p(1－p)＝2.4，
∴p＝0.4或p＝0.6，
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝4))＝Ceq \\al(4,10)p4(1－p)6＝Ceq \\al(6,10)p6(1－p)4，
则p4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－p))6即(1－p)2由于01－p，则p＝0.6.
考点二 正态分布
6．关于正态曲线特点的叙述，不正确的是( )
A．曲线关于直线x＝μ对称，整条曲线在x轴上方
B．曲线对应的正态密度函数是偶函数
C．曲线在x＝μ处处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低
D．曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定， σ越大曲线越“矮胖”．反之，曲线越“瘦高”
答案 B
解析 根据正态曲线的性质，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，＋∞))时， 正态曲线全在x轴上方，只有当μ＝0时，正态曲线才关于y轴对称，所以B不正确．
7．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于 ( )
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
答案 C
解析 因为随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)且P(ξ<4)＝0.8，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<ξ<2))＝0.3.
8．已知随机变量X服从正态分布X～N(μ，σ2)，且P(μ－σ A．0.341 68 B．0.317 70
C．0.158 65 D．0.158 60
答案 C
解析 由题意知P(2 020∴由正态曲线的对称性可得
P(X≥2 022)＝eq \f(1,2)[1－P(2 020≈eq \f(1,2)(1－0.682 7)＝0.158 65.
9．某厂生产的零件外直径ξ～Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10，0.04))，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9 cm和9.3 cm，则可认为( )
A．上午生产情况正常，下午生产情况异常
B．上午生产情况异常，下午生产情况正常
C．上、下午生产情况均正常
D．上、下午生产情况均异常
答案 A
解析 10－3×0.2≤X≤10＋3×0.2，即9.4≤X≤10.6，在[9.4,10.6]内的为大概率事件，之外的为小概率事件，故认为上午正常，下午异常．
10．已知三个正态密度函数φi(x)＝eq \f(1,\r(2π)σi)(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则( )
A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3
B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3
D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
答案 D
解析 ∵正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，
∴第一个曲线的均值比第二和第三个图象的均值小，且二、三两个的均值相等，只能从A，D两个选项中选一个，
∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小．
11．下列说法错误的是( )
A．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好
B．已知随机变量X～N(5，σ2)，若P(X<1)＝0.1，则P(X≤9)＝0.9
C．某人每次投篮的命中率为eq \f(3,5)，现投篮5次，设投中次数为随机变量Y，则E(2Y＋1)＝7
D．对于独立性检验，随机变量K2的观测值k值越小，判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大
答案 A
解析 对于A选项，相关指数越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好，故A错；
对于B选项，正态分布图象关于直线x＝5对称，因为X<1的概率为0.1，所以X>9的概率为0.1，故X≤9的概率为0.9，故B正确；
对于C选项，服从二项分布Y～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(3,5)))，因此E(Y)＝3，则E(2Y＋1)＝7，故C正确；
对于D选项，对于分类变量进行独立性检验时，随机变量K2的观测值k值越小，则分类变量间越有关系的可信度越小，故判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大，故D正确．
12．若随机变量X～B(3，p)，Y～N(2，σ2)，若P(X≥1)＝0.657，P(04)等于( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
答案 A
解析 由题意，P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)3＝0.657，解得p＝0.3，则P(04)＝P(Y<0)＝0.5－P(013．集装箱内有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是________．
答案 eq \f(96,625)
解析 获奖的概率为p＝eq \f(6,C\\al(2,6))＝eq \f(2,5)，记获奖的人数为ξ，则ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,5)))，所以4人中恰好有3人获奖的概率为P＝Ceq \\al(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))3×eq \f(3,5)＝eq \f(96,625).
14．4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间X服从正态分布X～N(9,4)，则下列说法正确的是________．(填序号)
(附：X～N(μ，σ2)，P(μ－σ①该校学生每周平均阅读时间为9小时；
②该校学生每周阅读时间的标准差为4；
③该校学生每周阅读时间不足3小时的人数占0.3%；
④若该校有10 000名学生，则每周阅读时间在3～5小时的人数约为214.
答案 ①④
解析 由某高校学生每周阅读时间X服从正态分布X～N(9,4)，可知该校学生每周平均阅读时间为9小时，故①正确；
该校学生每周阅读时间的方差为4，标准差为2，故②错误；
该校学生每周阅读时间不足3小时的概率
P(X<3)＝P(X<μ－3σ)
＝eq \f(1,2)[1－P(μ－3σ≈eq \f(1,2)(1－0.997 3)
＝0.001 35＝0.135%，故③错误；
每周阅读时间在3～5小时的概率为P(μ－3σ若该校有10 000名学生，则每周阅读时间在3～5小时的人数约为214，故④正确．