正方形

目标1：正方形的定义

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

目标2：正方形的性质

正方形的性质：
①正方形的四条边都相等,四个角都是直角；
②正方形的两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角；

③正方形是轴对称图形也是中心对称图形.

1. 如图,正方形ABCD中,∠DAF=25°,AF交对角线BD于点E,那么∠BEC等于(　　)

A.45°        B.60°        C.70°        D.75°

2. 如图,点P是正方形ABCD的边BC上的任意一点,连接AP,作DE⊥AP,垂足是E,BF⊥AP,垂足是F.求证：DE=BF+EF.

3. 如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E在OC上一点(不与点O、C重合),AF⊥BE于点F,AF交BD于点G,则下述结论：①△ABG≌△BCE、②AG=BE、③∠DAG=∠BGF、④AE=DG中,一定成立的有　    　.

       (3)　　                       (4)

4. 如图,正方形ABCD中,E、F是对角线AC上两点,连接BE、BF、DE、DF,则添加下列条件

①∠ABE=∠CBF；②AE=CF；③AB=AF；④BE=BF.可以判定四边形BEDF是菱形的条件有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

5. 如图①,正方形ABCD中对角线AC,BD相交于O,E为AC上一点,AG丄EB交EB于G,AG交BD于F.

(1)证明：OE=OF；

(2)如图②,若E为AC延长线上一点,AG丄EB交EB的延长线于G,AG的延长线与DB的延长线交于F,其他条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗？请说明理由.

6. 若正方形的面积是9,则它的对角线长是　            　.
7. 如图,将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,…An分别是正方形的中心,则这n个正方形重叠部分的面积之和是(　　)

A.n B.n-1 

C.4(n-1) D.4n

8. 如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠ABE为(　　)

A.10° B.15° C.20° D.25°

       (8)　　                  (9)                  (10)               (11)

9.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,两个小正方形的面积分别为S1、S2,则S1+S2=(　　)

A.16 B.17 C.18 D.19

10.如图,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,EG⊥AB.EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J.则图中阴影部分的面积等于 (　　)

A.1 B. C. D.

11. 如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上.下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+.其中正确的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

12. 如图,四边形ABCD是正方形,以CD为边作等边三角形CDE,BE与AC相交于点M,则∠AMD的度数是(　　)

A.75° B.60° C.54° D.67.5°

         (12)　　                         (13)   

13.   如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE：EC=2：1,则线段CH的长是(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

目标3：正方形的判定方法：
①定义法

①判定它既是矩形又是菱形.

14. 下列说法中,正确的是(　　)

A.一组对边平行的四边形是平行四边形 B.有一个角是直角的四边形是矩形 

C.四条边相等的四边形是菱形         D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

15. 如图在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,请你添加一个条件　      　,使四边形BECF是正方形.

16. 如图,△ABC中,点O为AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F,交∠ACB内角平分线CE于E.

(1)试说明EO=FO；

(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形并证明你的结论；

(3)若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形,猜想△ABC的形状并证明你的结论.

17. 如图,正方形ABCD的边长为10,AG=CH=8,BG=DH=6,连接GH,则线段GH的长为(       )

A.        B.2        C.        D.10-5

####能力提升

1. 已知：如图,∠MON=45°,OA1=1,作正方形A1B1C1A2,面积记作S1；再作第二个正方形A2B2C2A3,面积记作S2；继续作第三个正方形A3B3C3A4,面积记作S3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上,点B1、B2、B3、B4…在射线OM上,…依此类推,则第6个正方形的面积S6是(　　)

A.256 B.900 C.1024 D.4096

         (1)　　                   (2)                  (3)                  (4)

2. 如图,正方形ABCD的对角线长为8,E为AB上一点,若EF⊥AC于F,EG⊥BD于G,则EF+EG=　            　.
3. 如图,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去…记正方形ABCD的边为a1=1,按上述方法所作的正方形的边长依次为a2、a3、a4、…an,根据以上规律写出an2的表达式　     　.
4. 如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为18,则OF的长为　              　.
5. 如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点,在BD上截取BE=BC,连接CE,点P是CE上任意一点,PM⊥BD于M,PN⊥BC于N,若正方形ABCD的边长为1,则PM+PN=(        )

A.1        B.        C.        D.1+