2023年高考数学一轮复习《抛物线》精选练习（2份打包，教师版+原卷版）

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已知AB是抛物线y2=8x的一条焦点弦，|AB|=16，则AB中点C的横坐标是( )
A.3 B.4 C.6 D.8
【答案解析】答案为：C.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1＋x2＋p=16，又p=4，所以x1＋x2=12，
所以点C的横坐标是eq \f(x1＋x2,2)=6.]
若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x=－5的距离小1，则点M的轨迹方程是( )
A.x=－4 B.x=4 C.y2=8x D.y2=16x
【答案解析】答案为：D.
解析：依题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x=－4的距离，因此点M的轨迹是抛物线，且顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，p=8，∴点M的轨迹的方程为y2=16x，故选D.]
已知抛物线C：x2=2py(p＞0)，若直线y=2x被抛物线所截弦长为4eq \r(5)，则抛物线C的方程为( )
A.x2=8y B.x2=4y C.x2=2y D.x2=y
【答案解析】答案为：C；
解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝2py，,y＝2x))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4p，,y＝8p，))
即两交点坐标为(0，0)和(4p，8p)，则eq \r(（4p）2＋（8p）2)=4eq \r(5)，得p=1(舍去负值)，
故抛物线C的方程为x2=2y.
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF|>|BF|，且|AF|＝2，则抛物线的方程为( )
A.y2＝2x B.y2＝3x C.y2＝4x D.y2＝x
【答案解析】答案为：A
解析：由双曲线方程x2－eq \f(y2,3)＝1知其渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，
∴过抛物线焦点F且与渐近线平行的直线AB的斜率为±eq \r(3)，不妨取kAB＝eq \r(3)，
则其倾斜角为60°，即∠AFx＝60°.过A作AN⊥x轴，垂足为N.由|AF|＝2，
得|FN|＝1.过A作AM⊥准线l，垂足为M，则|AM|＝p＋1.
由抛物线的定义知，|AM|＝|AF|，∴p＋1＝2，∴p＝1，
∴抛物线的方程为y2＝2x，故选A.
已知点P是抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到此抛物线的准线的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为( )
A.2 B.eq \r(2) C.eq \f(5,2) D.eq \f(5\r(2),2)
【答案解析】答案为：D
解析：点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，
过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线，此时d1＋d2最小，
∵F(－1,0)，则d1＋d2＝eq \f(|－1＋0－4|,\r(2))＝eq \f(5\r(2),2).故选D.
过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若|AF|＝6，eq \(BC,\s\up6(→))＝λeq \(FB,\s\up6(→))(λ>0)，则λ的值为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(3,2) C.eq \r(3) D.3
【答案解析】答案为：D
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，
则x1＋2＝6，解得x1＝4，y1＝±4eq \r(2)，点A(4,4eq \r(2))，
则直线AB的方程为y＝2eq \r(2)(x－2)，令x＝－2，得C(－2，－8eq \r(2))，
联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,y＝2\r(2)x－2，))解得B(1，－2eq \r(2))，
所以|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，所以λ＝3.故选D.
过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则eq \f(|AF|,|BF|)的值等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
【答案解析】答案为：A.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|=x1＋x2＋p=eq \f(2p,sin2120°)=eq \f(8p,3)，所以x1＋x2=eq \f(5p,3).
又x1x2=eq \f(p2,4)，可得x2=eq \f(3,2)p，x1=eq \f(p,6)，则eq \f(|AF|,|BF|)=eq \f(\f(p,6)＋\f(p,2),\f(3,2)p＋\f(p,2))=eq \f(1,3).故选A.]
已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21=0，抛物线y2=8x的准线为l.设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m＋|PC|的最小值为( )
A.5 B.eq \r(41) C.eq \r(41)－2 D.4
【答案解析】答案为：B.
解析：由题意得，圆C的圆心坐标为(－3，－4)，抛物线的焦点为F(2,0).
根据抛物线的定义，得m＋|PC|=|PF|＋|PC|≥|FC|=eq \r(41).]
已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|=|MF|=eq \f(3,2)(O为坐标原点)，则eq \(OM,\s\up7(―→))·eq \(MF,\s\up7(―→))=( )
A.－eq \f(7,4) B.eq \f(7,4) C.eq \f(9,4) D.－eq \f(9,4)
【答案解析】答案为：A；
解析：不妨设M(m，eq \r(2pm))(m＞0)，易知抛物线C的焦点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
因为|MO|=|MF|=eq \f(3,2)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2pm＝\f(9,4)，,m＋\f(p,2)＝\f(3,2)，))解得m=eq \f(1,2)，p=2，
所以eq \(OM,\s\up7(―→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))，eq \(MF,\s\up7(―→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\r(2)))，所以eq \(OM,\s\up7(―→))·eq \(MF,\s\up7(―→))=eq \f(1,4)－2=－eq \f(7,4).故选A.
抛物线C：y2=4x的焦点为F，N为准线l上一点，M为y轴上一点，∠MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的面积为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \r(2) C.eq \f(3\r(2),2) D.3eq \r(2)
【答案解析】答案为：C；
解析：如图所示，不妨设点N在第二象限，连接EN，易知F(1,0)，
因为∠MNF为直角，点E为线段MF的中点，所以|EM|=|EF|=|EN|，
又E在抛物线C上，所以EN⊥l，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))，所以N(－1，eq \r(2))，M(0，2eq \r(2))，
所以|NF|=eq \r(6)，|NM|=eq \r(3)，所以△MNF的面积为eq \f(3\r(2),2)，故选C.
已知直线l：eq \r(3)x－y－a=0与抛物线x2=4y交于P，Q两点，过P，Q分别作l的垂线与y轴交于M，N两点，若|MN|=eq \f(16\r(3),3)，则a=( )
A.－1 B.1 C.－2 D.2
【答案解析】答案为：D；
解析：∵直线l的方程为eq \r(3)x－y－a=0，∴直线l的倾斜角为60°，
∵直线l与抛物线x2=4y交于P，Q两点，过P，Q分别作l的垂线与y轴交于M，N两点，
且|MN|=eq \f(16\r(3),3)，∴|PQ|=eq \f(16\r(3),3)sin 60°=8.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(3)x－y－a＝0，,x2＝4y，))得x2－4eq \r(3)x＋4a=0，由Δ＞0得a＜3，
∴x1＋x2=4eq \r(3)，x1x2=4a，
∴|PQ|=eq \r(1＋3)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)=8，即48－16a=16，∴a=2，故选D.
已知抛物线y2=2px(p＞0)过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若eq \(MB,\s\up7(―→))=λeq \(AB,\s\up7(―→))，则实数λ为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.2 D.3
【答案解析】答案为：C；
解析：把点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))代入抛物线的方程得2=2p×eq \f(1,2)，解得p=2，
所以抛物线的方程为y2=4x，则B(－1,0)，设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,M),4)，yM))，
则eq \(AB,\s\up7(―→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－\r(2)))，eq \(MB,\s\up7(―→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－\f(y\\al(2,M),4)，－yM))，由eq \(MB,\s\up7(―→))=λeq \(AB,\s\up7(―→))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1－\f(y\\al(2,M),4)＝－\f(3,2)λ，,－yM＝－\r(2)λ，))解得λ=2或λ=1(舍去)，故选C.
二、填空题
抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________.
【答案解析】答案为：y2=16x.
解析：设满足题意的圆的圆心为M.根据题意可知圆心M在抛物线上，
又因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6，则|MF|=xM＋eq \f(p,2)=6，即xM=6－eq \f(p,2)，
又由题意可知xM=eq \f(p,4)，所以eq \f(p,4)=6－eq \f(p,2)，解得p=8.所以抛物线方程为y2=16x.
如图，过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C.
若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是__________.
【答案解析】答案为：y2=3x.
解析：分别过点A，B作准线的垂线AE，BD，分别交准线于点E，D(图略)，
则|BF|=|BD|，∵|BC|=2|BF|，∴|BC|=2|BD|，∴∠BCD=30°.又|AE|=|AF|=3，
∴|AC|=6，即点F是AC的中点.根据题意，得p=eq \f(3,2)，∴抛物线的方程是y2=3x.
设P是抛物线y2=4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x=－1的距离之和的最小值为________.
【答案解析】答案为：eq \r(5).
解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程是x=－1，
由抛物线的定义知，点P到直线x=－1的距离等于点P到F的距离.
于是问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的
距离之和最小，连接AF交抛物线于点P，此时最小值为|AF|=eq \r(5).
已知F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，eq \(OA,\s\up10(→))·eq \(OB,\s\up10(→))=－4(其中O为坐标原点)，则△ABO面积的最小值是________.
【答案解析】答案为：4eq \r(2).
解析：不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＞0，由eq \(OA,\s\up10(→))·eq \(OB,\s\up10(→))=－4，即x1x2＋y1y2=－4得
eq \f(1,16)yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＋y1y2=－4，得y1y2=－8.所以S△ABO=eq \f(1,2)|x1y2－x2y1|=|y1－y2|≥4eq \r(2)，
当y1=2eq \r(2)，y2=－2eq \r(2)时取等号，故△ABO面积的最小值为4eq \r(2).
三、解答题
设A，B为曲线C：y＝eq \f(x2,4)上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.
【答案解析】解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝eq \f(x\\al(2,1),4)，y2＝eq \f(x\\al(2,2),4)，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(x1＋x2,4)＝1.
(2)由y＝eq \f(x2,4)，得y′＝eq \f(x,2).
设M(x3，y3)，由题设知eq \f(x3,2)＝1，解得x3＝2，于是M(2,1).
设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
将y＝x＋m代入y＝eq \f(x2,4)得x2－4x－4m＝0.
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2eq \r(m＋1).
从而|AB|＝eq \r(2)|x1－x2|＝4eq \r(2m＋1).
由题设知|AB|＝2|MN|，即4eq \r(2m＋1)＝2(m＋1)，解得m＝7.
所以直线AB的方程为y＝x＋7.
已知抛物线C：x2=2py(p＞0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程.
【答案解析】
解：由题意知，直线AB的斜率一定存在，
∴设直线AB：y=kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p=0，
则x1＋x2=2pk，x1x2=－2p.①
(1)由x2=2py得y′=eq \f(x,p)，则A，B处的切线斜率的乘积为eq \f(x1x2,p2)=－eq \f(2,p)，
∵点N在以AB为直径的圆上，
∴AN⊥BN，∴－eq \f(2,p)=－1，∴p=2.
(2)易得直线AN：y－y1=eq \f(x1,p)(x－x1)，直线BN：y－y2=eq \f(x2,p)(x－x2)，
联立，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y－y1＝\f(x1,p)（x－x1），,y－y2＝\f(x2,p)（x－x2），))结合①式，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝pk，,y＝－1，))即N(pk，－1).
|AB|=eq \r(1＋k2)|x2－x1|=eq \r(1＋k2)eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)=eq \r(1＋k2)eq \r(4p2k2＋8p)，
点N到直线AB的距离d=eq \f(|kxN＋1－yN|,\r(1＋k2))=eq \f(|pk2＋2|,\r(1＋k2))，
则S△ABN=eq \f(1,2)·|AB|·d=eq \r(p（pk2＋2）3)≥2eq \r(2p)，当k=0时，取等号，
∵△ABN的面积的最小值为4，
∴2eq \r(2p)=4，∴p=2，故抛物线C的方程为x2=4y.
过抛物线C：y2=4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|=8.
(1)求直线l的方程；
(2)若A关于x轴的对称点为D，抛物线的准线与x轴的交点为E，求证：B，D，E三点共线.
【答案解析】解：(1)F的坐标为(1,0)，则l的方程为y=k(x－1)，
代入抛物线方程y2=4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2=0，
由题意知k≠0，且[－(2k2＋4)]2－4k2·k2=16(k2＋1)＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2=eq \f(2k2＋4,k2)，x1x2=1，
由抛物线的定义知|AB|=x1＋x2＋2=8，
∴eq \f(2k2＋4,k2)=6，∴k2=1，即k=±1，
∴直线l的方程为y=±(x－1).
(2)证明：由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，－y1)，
又E(－1,0)，
∴kEB－kED=eq \f(y2,x2＋1)－eq \f(－y1,x1＋1)=eq \f(y2x1＋1＋y1x2＋1,x1＋1x2＋1)，
y2(x1＋1)＋y1(x2＋1)=y2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),4)＋1))＋y1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,2),4)＋1))
=eq \f(y1y2,4)(y1＋y2)＋(y1＋y2)=(y1＋y2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1y2,4)＋1)).
由(1)知x1x2=1，∴(y1y2)2=16x1x2=16，
又y1与y2异号，
∴y1y2=－4，即eq \f(y1y2,4)＋1=0，∴kEB=kED，
又ED与EB有公共点E，∴B，D，E三点共线.
已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2=－p2，x1x2=eq \f(p2,4)；
(2)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)为定值；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
【答案解析】证明：(1)由已知得抛物线焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0)).
由题意可设直线方程为x=my＋eq \f(p,2)，代入y2=2px，
得y2=2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(my＋\f(p,2)))，即y2－2pmy－p2=0.(*)
因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))在抛物线内部，所以直线与抛物线必有两交点.
则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2=－p2.
因为yeq \\al(2,1)=2px1，yeq \\al(2,2)=2px2，所以yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)=4p2x1x2，
所以x1x2=eq \f(y\\al(2,1)y\\al(2,2),4p2)=eq \f(p4,4p2)=eq \f(p2,4).
(2)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)=eq \f(1,x1＋\f(p,2))＋eq \f(1,x2＋\f(p,2))=eq \f(x1＋x2＋p,x1x2＋\f(p,2)x1＋x2＋\f(p2,4)).
因为x1x2=eq \f(p2,4)，x1＋x2=|AB|－p，代入上式，
得eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)=eq \f(|AB|,\f(p2,4)＋\f(p,2)|AB|－p＋\f(p2,4))=eq \f(2,p)(定值).
(3)设AB的中点为M(x0，y0)，如图所示，
分别过A，B作准线l的垂线，垂足为C，D，过M作准线l的垂线，垂足为N，
则|MN|=eq \f(1,2)(|AC|＋|BD|)=eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)=eq \f(1,2)|AB|.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
已知直线y=k(x－2)与抛物线Γ：y2=eq \f(1,2)x相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作y轴的垂线交Γ于点N.
(1)证明：抛物线Γ在点N处的切线与直线AB平行；
(2)是否存在实数k使eq \(NA,\s\up15(→))·eq \(NB,\s\up15(→))=0？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由.
【答案解析】解：(1)证明：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－2，,y2＝\f(1,2)x))消去y并整理，得2k2x2－(8k2＋1)x＋8k2=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=eq \f(8k2＋1,2k2)，x1x2=4，
∴xM=eq \f(x1＋x2,2)=eq \f(8k2＋1,4k2)，yM=k(xM－2)=keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8k2＋1,4k2)－2))=eq \f(1,4k).
由题设条件可知，yN=yM=eq \f(1,4k)，xN=2yeq \\al(2,N)=eq \f(1,8k2)，∴Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8k2)，\f(1,4k))).
设抛物线Γ在点N处的切线l的方程为y－eq \f(1,4k)=meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,8k2)))，
将x=2y2代入上式，得2my2－y＋eq \f(1,4k)－eq \f(m,8k2)=0.
∵直线l与抛物线Γ相切，∴Δ=1－4×2m×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4k)－\f(m,8k2)))=eq \f(m－k2,k2)=0，
∴m=k，即l∥AB.
(2)假设存在实数k，使eq \(NA,\s\up15(→))·eq \(NB,\s\up15(→))=0，则NA⊥NB.
∵M是AB的中点，∴|MN|=eq \f(1,2)|AB|.
由(1)，得|AB|=eq \r(1＋k2)|x1－x2|=eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)
=eq \r(1＋k2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8k2＋1,2k2)))2－4×4)=eq \r(1＋k2)·eq \f(\r(16k2＋1),2k2).
∵MN⊥y轴，
∴|MN|=|xM－xN|=eq \f(8k2＋1,4k2)－eq \f(1,8k2)=eq \f(16k2＋1,8k2).
∴eq \f(16k2＋1,8k2)=eq \f(1,2)eq \r(1＋k2)·eq \f(\r(16k2＋1),2k2)，解得k=±eq \f(1,2).
故存在k=±eq \f(1,2)，使得eq \(NA,\s\up15(→))·eq \(NB,\s\up15(→))=0.
已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点.
(1)若eq \(AF,\s\up6(→))=2eq \(FB,\s\up6(→))，求直线AB的斜率；
(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值.
【答案解析】解：(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x=my＋1.
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2－4my－4=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以y1＋y2=4m，y1y2=－4.①
因为eq \(AF,\s\up6(→))=2eq \(FB,\s\up6(→))，所以y1=－2y2.②
联立①和②，消去y1，y2，得m=±eq \f(\r(2),4).
所以直线AB的斜率是±2eq \r(2).
(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.
因为2S△AOB=2·eq \f(1,2)·|OF|·|y1－y2|=eq \r(y1＋y22－4y1y2)=4eq \r(1＋m2)，
所以当m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.
已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于S，T两点，以P(3，0)为圆心的圆过点S，T，且∠SPT=90°.
(1)求抛物线E和圆P的方程；
(2)设M是圆P上的点，过点M且垂直于FM的直线l交抛物线E于A，B两点，证明：FA⊥FB.
【答案解析】解：(1)将x=eq \f(p,2)代入y2=2px，得y=±p，所以|ST|=2p，
因为∠SPT=90°，所以△SPT是等腰直角三角形，
所以|SF|=|PF|，即p=|3-0.5p|，解得p=2，
所以抛物线E：y2=4x，此时圆P的半径为eq \r(2)p=2eq \r(2)，
所以圆P的方程为(x－3)2＋y2=8.
(2)证明：设M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
依题意(x0－3)2＋yeq \\al(2,0)=8，即yeq \\al(2,0)=－xeq \\al(2,0)＋6x0－1.
(i)当直线l的斜率不存在时，M(3±2eq \r(2)，0).
①当x=3＋2eq \r(2)时，由y2=4x，得y=±(2eq \r(2)＋2)，
不妨设A(3＋2eq \r(2)，2eq \r(2)＋2)，B(3＋2eq \r(2)，－2eq \r(2)－2)，
则kAF=1，kBF=－1，kAFkBF=－1，即AF⊥BF.
②当x=3－2eq \r(2)时，同理可得，AF⊥BF.
(ii)当直线l的斜率存在时，如图，
因为直线l与抛物线E交于A，B两点，所以直线l的斜率不为零，x0≠1且y0≠0.
因为l⊥MF，所以klkMF=－1，所以kl=eq \f(1－x0,y0)，直线l：y=eq \f(1－x0,y0)(x－x0)＋y0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝\f(1－x0,y0)（x－x0）＋y0))得，y2－eq \f(4y0,1－x0)y＋eq \f(4xeq \\al(2,0)＋4yeq \\al(2,0)－4x0,1－x0)=0，即y2－eq \f(4y0,1－x0)y＋eq \f(20x0－4,1－x0)=0，
所以y1＋y2=eq \f(4y0,1－x0)，y1y2=eq \f(20x0－4,1－x0)，
所以eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))=(x1－1)(x2－1)＋y1y2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,1),4)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,2),4)－1))＋y1y2=eq \f(（y1y2）2,16)－eq \f(yeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,2),4)＋1＋y1y2
=eq \f(（y1y2）2,16)－eq \f(（y1＋y2）2,4)＋1＋eq \f(3,2)y1y2=eq \f(（5x0－1）2,（1－x0）2)－eq \f(4yeq \\al(2,0),（1－x0）2)＋1＋eq \f(30x0－6,1－x0)
=eq \f(（5x0－1）2－4yeq \\al(2,0)＋（1－x0）2＋6（5x0－1）（1－x0）,（1－x0）2)=eq \f(24x0－4xeq \\al(2,0)－4－4yeq \\al(2,0),（1－x0）2)
=eq \f(－4（xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－6x0＋1）,（1－x0）2)=0，
所以AF⊥BF.