人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率习题ppt课件

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| 自 学 导 引 |
若一条直线的斜率为k，则它的一个方向向量是______，一个法向量是______．【答案】(1，k)　(k，－1)【解析】因为直线的斜率为k，所以它的一个方向向量为(1，k)，设一个法向量为(x，y)，则(x，y)·(1，k)＝x＋ky＝0，不妨取x＝k，y＝－1，则它的一个法向量是(k，－1)．
当一条直线的倾斜角为0°时，此时这条直线一定与x轴平行吗？
【答案】提示：不一定，也可能与x轴重合．
1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝tan α.
2．斜率与倾斜角的关系：
思维辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)所有直线都有倾斜角和斜率．(　　)(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(　　)(3)一个倾斜角α不能确定一条直线．(　　)(4)直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大．(　　)【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
【解析】(1)所有直线都有倾斜角，但是倾斜角为90°的直线斜率不存在．(2)倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．(3)确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和倾斜角α.(4)当倾斜角α＝0°时，k＝0；当0°<α<90°时，k>0，并且随α的增大k也增大；当α＝90°时，k不存在；当90°<α<180°时，k<0，并且随α的增大k也增大．
已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)．(1)直线P1P2的斜率公式是k＝________.(2)当直线P1P2垂直于x轴(即x1＝x2)时，直线的斜率________．(3)当直线P1P2平行于x轴或与x轴重合(即y1＝y2)时，直线的斜率为________．
1．直线x－2y＋1＝0的一个方向向量是(　　)A．(1，－2)B．(1,2)C．(2，－1)D．(2,1)【答案】D
2．若三点A(－1，－2)，B(4,8)，C(5，x)在同一条直线上，则实数x的值为(　　)A．10　　　　　　　　B．－10C．5D．－5【答案】A
3．如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为________．【答案】k1【答案】提示：此斜率公式适用的范围是已知两点的横坐标不相等即x1≠x2，也即直线与x轴不垂直．
| 课 堂 互 动 |
　(1)下列说法中，正确的是(　　)A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC．若直线的倾斜角为α，则sin α>0D．任意直线都有倾斜角，但它不一定有斜率
题型1　对直线的倾斜角、斜率的理解
(2)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°素养点睛：考查数学抽象、直观想象的核心素养．【答案】(1)D　(2)D
【解析】(1)对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有当0°≤α<180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确．(2)根据题意，画出图形，如图所示．
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图可知：当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°，当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°.
求直线倾斜角的方法及关注点(1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角．(2)关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论．
1．已知直线l过原点，倾斜角为40°，将直线l顺时针旋转45°得到直线l1，求直线l1的倾斜角．解：如图，图中角α即为直线l1的倾斜角，则α＝180°－(45°－40°)＝180°－5°＝175°.
　已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．(1)求直线AB和AC的斜率；(2)点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD的斜率的变化范围．素养点睛：考查直观想象的核心素养．
题型2　有关直线斜率的运算
【例题迁移】　(变换条件)若将本例(2)改为点D在线段AB上(包括端点)移动时，求直线CD的斜率的变化范围．
1．利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．2．由坐标求直线斜率的策略对于用坐标表示的斜率，其大小与两点的先后顺序无关，当x1＝x2，y1≠y2时，直线的倾斜角α＝90°，没有斜率，这常常是分类讨论的依据，斜率公式是“数”与“形”结合的纽带．
　题型3　斜率与倾斜角的综合应用　若点A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)三点共线，求a的值．素养点睛：考查数学运算的核心素养．
【例题迁移1】　(变换条件)若将点A(1,1)的坐标改为“(1,4)”，其他条件不变，则a的值应为多少？
【例题迁移2】　(变换条件，改变问法)若将点C的坐标改为“C(4,7)”，试证明A，B，C三点在同一条直线上．解：因为A(1,1)，B(3,5)，C(4,7)，由斜率公式得kAB＝2，kAC＝2，所以kAB＝kAC．因为直线AB与直线AC的倾斜角相等且过同一点A，所以直线AB与直线AC为同一条直线．故A，B，C三点在同一条直线上．
用斜率公式解决三点共线问题的方法
3．已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．
　如图，已知点A(－2,3)，B(3,2)，直线l过点P(0，－2)，且与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的变化范围．
易错警示　利用直线倾斜角与斜率的关系求解问题
防范措施：正确理解直线倾斜角与斜率的变化求斜率范围问题时，一定要注意对直线倾斜角与斜率的关系的正确理解并灵活应用．如本例直线的倾斜角是从一个锐角逐渐增大到一个钝角，所以直线的斜率应是两个小范围的并集.
| 素 养 达 成 |
1．关于直线的倾斜角与斜率的关系(1)直线的斜率与倾斜角既有区别，又有联系．它们都反映了直线的倾斜程度，本质上是一致的．但倾斜角是角度，是倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便．(2)倾斜角可正可零不可为负，而斜率k不仅可正，可零，而且可以为负．(3)当倾斜角α＝90°时，直线斜率不存在，当α≠90°，可以建立倾斜角α与斜率k之间的函数关系式，即k＝tan α(α≠90°)．
2．对直线斜率的两点公式的理解(1)斜率公式表明直线相对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点的坐标表示，比使用几何的方法求出倾斜角再求斜率的方法方便．(2)如果y2＝y1，x2≠x1，那么直线与x轴平行或重合，斜率为0；如果y2≠y1，x2＝x1，那么直线与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在．
1．给出下列说法，正确的个数是(　　)①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；②一条直线的倾斜角为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条；④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一对应关系．A．0B．1C．2D．3【答案】A
【解析】若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，②错；所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0°，③错；不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．
2．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是(　　)A．(4,2)与(－4,1)B．(0,3)与(3,0)C．(3，－1)与(2，－1)D．(－2,2)与(－2,5)【答案】D【解析】两点横坐标相同时，直线与x轴垂直，此时斜率不存在．
3．下图中α能表示直线l的倾斜角的是________．【答案】①【解析】结合直线l的倾斜角的定义可知①可以．
5．画出经过点(0,2)，且斜率为2与－2的直线．解：斜率为2的直线经过(0,2)，(－1,0)两点；斜率为－2的直线经过(0,2)，(1,0)两点．图象如图所示．