湖南省株洲市荷塘区2021-2022学年八年级下学期期末素养检测数学试题(word版含答案)

这是一份湖南省株洲市荷塘区2021-2022学年八年级下学期期末素养检测数学试题(word版含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）按照我国《生活垃圾管理条例》要求，到2025年底，我国地级及以上城市要基本建成垃圾分类处理系统，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．4，6，8B．7，24，25C．5，12，13D．1，2，
3．（4分）“早发现，早报告，早隔离，早治疗”是我国抗击“新冠肺炎”的宝贵经验，其中“早”字出现的频率是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）在平面直角坐标系中，点A（n，4）在第二象限内，则n的取值可以是（ ）
A．1B．﹣1C．4D．4或﹣4
5．（4分）下列命题是假命题的是（ ）
A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B．任意多边形的外角和等于360°
C．矩形的对角线互相平分且相等
D．四条边都相等的四边形是正方形
6．（4分）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OB，垂足为D，若PD＝3cm，则P到OA的距离d满足（ ）
A．d＜3cmB．d＝3cmC．d＞3cmD．无法确定
7．（4分）已知如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝x+k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝6，BC＝13，CD＝5，则△BCD的面积为（ ）
A．60B．48C．30D．15
9．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连接OE，则下面的结论：①AB＝BO；②AB：BC＝1：2；③∠BOE＝60°；④S△ACE＝2S△AOE；⑤S△ABE：S△ACE＝（+1）：2．其中正确的是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
10．（4分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，4）关于y轴对称的点的坐标为 ．
11．（4分）函数中，自变量x的取值范围是 ．
12．（4分）一个n边形的内角和为1080°，则n＝ ．
13．（4分）如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点（1，0），“炮”位于点（﹣2，1），则“马”位于点 ．
14．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4cm，BD＝8cm，则这个菱形的面积是 cm2．
15．（4分）将直线y＝﹣2x﹣5向上平移5个单位长度，得到直线 ．
16．（4分）如图，孔明在驾校练车，他由点A出发向前行驶200米到B处，向左转45°．继续向前行驶同样的路程到C处，再向左转45°．按这样的行驶方法，回到点A总共行驶了 ．
17．（4分）习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．小张在数学活动课上用正方形纸片制作成图1的“七巧板”，设计拼成了图2的水杉树树冠．如果已知图1中正方形纸片的边长为2cm，则图2中水杉树树冠的高（即点A到线段BC的距离）是 cm．
三、解答题（本大题共8小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．（6分）计算：﹣（π+）0+（﹣1）2022．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．
（1）请画出将△ABC向右平移4个单位得到的△A1B1C1，并写出B1的坐标；
（2）请画出与△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；
（3）求出△A2B2C2的面积．
20．（8分）甲、乙两地相距40km，小明、小红两人沿同一条路从甲地到乙地，l1、l2分别表示小明、小红两人离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的关系．根据图象完成下列问题：
（1）小明先出发 h后，小红才出发．
（2）小明被小红追上时，距甲地 km．
（3）直线l1表达式是 ，直线l2表达式是 ．
21．（10分）某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元．B型电脑每台的利润为500元，该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．若设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）则购进B型电脑 台；（用含有x的代数式表示）
（2）直接写出y关于x的函数关系式 ；
（3）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
22．（10分）今年是中国共产主义青年团建团100周年，为迎接党的二十大胜利召开，进一步传承五四精神．某中学组织了一面向全校的党团知识竞赛，有2000名学生参加的书面测试，阅卷后，校团委随机抽取了100份答卷进行分析统计，发现测试结果（x分）的最低分为51分，最高分为满分100分，且分数都为整数，并绘制了尚不完整的统计图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，并将频数分布直方图补充完整；
（2）校团委打算让全校位于51≤x＜61分数段的同学，统一时间进行的补测，若每个考室需安排30个座位，则估计需要安排多少个补测的考室？（列式说明）
（3）校团委计划对成绩为91≤x＜101的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为1：3：6，请你估算全校获得二等奖的学生人数．
23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．
（1）求证：△AGE≌△BGF；
（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
24．（13分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求出一次函数的表达式；
（2）请直接写出不等式kx+b﹣3x＞0的解集 ；
（3）若点D在坐标轴上，且满足S△DOC＝S△BOC，求出点D的坐标．
25．（13分）【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′．
【问题解决】：
（1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时CB′的长；
（2）若α＝90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交B′E′于点F，
①试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由；
②连接CE，求CE的长；
（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE′长度的取值范围．
湖南省株洲市荷塘区2021-2022学年八年级下学期期末素养检测数学试题参考答案与试题解析
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共9小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）按照我国《生活垃圾管理条例》要求，到2025年底，我国地级及以上城市要基本建成垃圾分类处理系统，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．
2．（4分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．4，6，8B．7，24，25C．5，12，13D．1，2，
【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形．
【解答】解：A、42+62≠82，故不能作为直角三角形的三边长，符合题意；
B、72+242＝252，故能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
C、52+122＝132，故能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
D、12+22＝（）2，故能作为直角三角形的三边长，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．（4分）“早发现，早报告，早隔离，早治疗”是我国抗击“新冠肺炎”的宝贵经验，其中“早”字出现的频率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用频率的计算方法计算即可．
【解答】解：“早”字出现的频率是：＝，
故选：D．
【点评】此题主要考查了频率，关键是掌握频率＝频数÷总数．
4．（4分）在平面直角坐标系中，点A（n，4）在第二象限内，则n的取值可以是（ ）
A．1B．﹣1C．4D．4或﹣4
【分析】根据平面直角坐标系中第二象限内点的坐标特征，即可解答．
【解答】解：∵点A（n，4）在第二象限内，
∴n＜0，
∴n的取值可以是﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限内点的坐标特征是解题的关键．
5．（4分）下列命题是假命题的是（ ）
A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B．任意多边形的外角和等于360°
C．矩形的对角线互相平分且相等
D．四条边都相等的四边形是正方形
【分析】根据假命题的定义，逐个选项进行判断，根据矩形、正方形的性质和判定，多边形，直角三角形的性质即可得出结果．
【解答】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题；
B、任意多边形的外角和等于360°，是真命题；
C、矩形的对角线互相平分且相等，是真命题；
D、四条边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题；
故选：D．
【点评】本题考查了真命题与假命题的概念，真命题：判断正确的命题叫真命题，假命题：判断错误的命题叫假命题，比较简单．
6．（4分）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OB，垂足为D，若PD＝3cm，则P到OA的距离d满足（ ）
A．d＜3cmB．d＝3cmC．d＞3cmD．无法确定
【分析】过点P作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质解答即可．
【解答】解：过点P作PE⊥OA于E，
∵OC平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴d＝PE＝PD＝3cm，
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7．（4分）已知如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝x+k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根据正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∵b＝k＞0，
∴一次函数y＝x+k的图象经过一、二、三象限．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＞0时函数的图象在一、二、三象限．
8．（4分）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝6，BC＝13，CD＝5，则△BCD的面积为（ ）
A．60B．48C．30D．15
【分析】连接BD，根据三角形中位线定理求出BD，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，然后求得面积即可．
【解答】解：连接BD，
∵E、F分别是AB、AD中点，
∴BD＝2EF＝12，
∵CD2+BD2＝25+144＝169，BC2＝169，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴S△DBC＝BD•CD＝×12×5＝30，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
9．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连接OE，则下面的结论：①AB＝BO；②AB：BC＝1：2；③∠BOE＝60°；④S△ACE＝2S△AOE；⑤S△ABE：S△ACE＝（+1）：2．其中正确的是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】由矩形的性质可得∠ABC＝∠BAD＝90°，AO＝BO＝CO＝DO，可证△AOB是等边三角形，可得AB＝BO＝AO，故①正确；在Rt△ABC中，由勾股定理可求BC＝AB，可得AB：BC＝1：，故②错误；可证△BOE是等腰三角形，可求∠BOE＝∠BEO＝75°，故③错误；由AO＝CO，可得S△ACE＝2S△AOE，故④正确；由三角形的面积公式可求S△ABE：S△ACE＝（+1）：2，故⑤正确；即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AO＝BO＝CO＝DO，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∵∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝60°，
又∵AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝BO＝AO，故①正确；
∵BC＝＝AB，
∴AB：BC＝1：，故②错误；
∵△AOB是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，
∴∠OBE＝30°，
∵∠BEA＝90°﹣∠BAE＝45°＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∴BO＝BE，
∴∠BOE＝∠BEO＝75°，故③错误；
∵AO＝CO，
∴S△ACE＝2S△AOE，故④正确；
∵BC＝AB，
∴EC＝BC﹣BE＝（﹣1）AB，
∵S△ABE：S△ACE＝×BE×AB：×EC×AB，
∴S△ABE：S△ACE＝（+1）：2，故⑤正确；
正确的有①④⑤共3个．
故选：B．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明△AOB是等边三角形是解题的关键．
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
10．（4分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，4）关于y轴对称的点的坐标为 （3，4） ．
【分析】此类题要注意对称点与直角坐标系的结合，根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点解答．
【解答】解：点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（﹣m，n），所以点P（﹣3，4）关于y轴对称的点的坐标为（3，4）．
【点评】考查平面直角坐标系点的对称性质：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
11．（4分）函数中，自变量x的取值范围是 x≥3 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件是a≥0，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案是：x≥3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围的求法，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（4分）一个n边形的内角和为1080°，则n＝ 8 ．
【分析】直接根据内角和公式（n﹣2）•180°计算即可求解．
【解答】解：（n﹣2）•180°＝1080°，
解得n＝8．
【点评】主要考查了多边形的内角和公式．多边形内角和公式：（n﹣2）•180°．
13．（4分）如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点（1，0），“炮”位于点（﹣2，1），则“马”位于点 （3，﹣2） ．
【分析】根据炮的坐标建立平面直角坐标系，然后写出马的坐标即可．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，
“马”位于点（3，﹣2）．
故答案为：（3，﹣2）．
【点评】本题考查了坐标确定位置，准确确定出坐标原点的位置是解题的关键．
14．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4cm，BD＝8cm，则这个菱形的面积是 16 cm2．
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．
【解答】解：∵AC＝4cm，BD＝8cm，
∴菱形的面积＝×4×8＝16cm2．
故答案为，16．
【点评】本题主要考查利用对角线求面积的方法，求菱形的面积用得较多，需要熟练掌握．
15．（4分）将直线y＝﹣2x﹣5向上平移5个单位长度，得到直线 y＝﹣2x ．
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝﹣2x﹣5向上平移5个单位所得函数的解析式为y＝﹣2x﹣5+5，即y＝﹣2x．
故答案为：y＝﹣2x．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
16．（4分）如图，孔明在驾校练车，他由点A出发向前行驶200米到B处，向左转45°．继续向前行驶同样的路程到C处，再向左转45°．按这样的行驶方法，回到点A总共行驶了 1600米 ．
【分析】根据题意可知该汽车所走的路程正好是一个外角为45°的多边形的周长，求出多边形的周长即可．
【解答】解：根据题意得：360°÷45°＝8，
则他走回点A时共走的路程是8×200＝1600（米）．
故回到A点共走了1600米．
故答案为：1600米．
【点评】本题主要考查多边形的外角和定理，即任意多边形的外角和都是360°．
17．（4分）习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．小张在数学活动课上用正方形纸片制作成图1的“七巧板”，设计拼成了图2的水杉树树冠．如果已知图1中正方形纸片的边长为2cm，则图2中水杉树树冠的高（即点A到线段BC的距离）是 （） cm．
【分析】过A作AE⊥MN于E，根据等腰直角三角形的性质得到AE＝MN＝1（cm），HF＝BF＝BE＝（cm），于是得到结论．
【解答】解：如图，过A作AE⊥MN于E，
∵MN＝BE＝2cm，
∴AE＝MN＝1（cm），HF＝BF＝BE＝（cm），
∴图2中水杉树树冠的高＝AH+EF＝（+1）cm，
故答案为：（+1）．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．（6分）计算：﹣（π+）0+（﹣1）2022．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣1+1
＝2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．
（1）请画出将△ABC向右平移4个单位得到的△A1B1C1，并写出B1的坐标；
（2）请画出与△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；
（3）求出△A2B2C2的面积．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于x轴对称的点的坐标特征得到得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A2B2C2的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点B1的坐标为（0，5）；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）△A2B2C2的面积＝3×4﹣×3×1﹣×3×1﹣×4×2＝5．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，在画一个图形的轴对称图形时，先从确定一些特殊的对称点开始．也考查了平移变换．
20．（8分）甲、乙两地相距40km，小明、小红两人沿同一条路从甲地到乙地，l1、l2分别表示小明、小红两人离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的关系．根据图象完成下列问题：
（1）小明先出发 2 h后，小红才出发．
（2）小明被小红追上时，距甲地 20 km．
（3）直线l1表达式是 y＝8x ，直线l2表达式是 y＝40x﹣80 ．
【分析】（1）（2）由图象直接得出结论；
（3）用待定系数法求函数解析式即可．
【解答】解：（1）由图象可得，
小明先出发2h后，小红才出发，
故答案为：2；
（2）由图象可得，小明被小红追上时距甲地20km，
故答案为：20；
（3）设直线l1表达式是y＝kx（k≠0），
把（2.5，20）代入解析式得：20＝2.5k，
解得：k＝8，
∴直线l1表达式是y＝8x；
设直线l2表达式是y＝mx+n（m≠0），
把（2，0）、（2.5，20）代入解析式得：
，
解得：，
∴直线l2表达式是y＝40x﹣80．
故答案为：y＝8x；y＝40x﹣80．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
21．（10分）某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元．B型电脑每台的利润为500元，该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．若设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）则购进B型电脑 （100﹣x） 台；（用含有x的代数式表示）
（2）直接写出y关于x的函数关系式 y＝﹣100x+50000 ；
（3）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意直接得出结论；
（2）根据题意，可以写出y与x的函数关系式；
（3）根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，可以求得A型电脑数量的取值范围，再根据（1）中的函数关系式和一次函数的性质，即可得到该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少．
【解答】解：（1）∵商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中A型电脑x台，
∴购进B型电脑（100﹣x）台，
故答案为：100﹣x；
（2）由题意可得，
y＝400x+500（100﹣x）＝﹣100x+50000，
∴y关于x的函数关系式是y＝﹣100x+50000，
故答案为：y＝﹣100x+50000；
（2）∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，
∴100﹣x≤2x，
解得，x≥33，
∵y＝﹣100x+50000，k＝﹣100，
∴y随x的增大而减小，
∵x为整数，x≥33，
∴当x＝34时，y取得最大值，此时y＝46600，100﹣x＝66，
答：该商店购进A型、B型电脑34台、66台时，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
22．（10分）今年是中国共产主义青年团建团100周年，为迎接党的二十大胜利召开，进一步传承五四精神．某中学组织了一面向全校的党团知识竞赛，有2000名学生参加的书面测试，阅卷后，校团委随机抽取了100份答卷进行分析统计，发现测试结果（x分）的最低分为51分，最高分为满分100分，且分数都为整数，并绘制了尚不完整的统计图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 10 ，b＝ 25 ，c＝ 0.25 ，并将频数分布直方图补充完整；
（2）校团委打算让全校位于51≤x＜61分数段的同学，统一时间进行的补测，若每个考室需安排30个座位，则估计需要安排多少个补测的考室？（列式说明）
（3）校团委计划对成绩为91≤x＜101的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为1：3：6，请你估算全校获得二等奖的学生人数．
【分析】（1）根据抽取了100份答卷以及表格数据即可求出 a，b，c；
（2）结合（1）所得数据即可将频数分布直方图补充完整；
（3）根据51≤x＜61这一分数段所占频率即可估计教务处需安排补考的考室；
（4）根据一、二、三等奖的人数比例为1：3：6，即可估算全校获得二等奖的学生人数．
【解答】解：（1）a＝100×0.1＝10；b＝100﹣10﹣18﹣35﹣12＝25，c＝25÷100＝0.25．
故答案为：10，25，0.25；
（2）如图所示，即为补充完整的频数分布直方图；
．
（3）全校位于51≤x＜61分数段的同学有：2000×0.1＝200（个），
∴教务处需安排补考的考室为：200÷30＝≈7（个），
答：估计需要安排7个补测的考室．
（4）2000×0.12×＝72（人），
答：全校获得二等奖的学生人数约为72人．
【点评】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、频率分布表，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．
（1）求证：△AGE≌△BGF；
（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠AEG＝∠BFG，由AAS证明△AGE≌△BGF即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE＝BF，由AD∥BC，证出四边形AFBE是平行四边形，再根据EF⊥AB，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEG＝∠BFG，
∵EF垂直平分AB，
∴AG＝BG，
在△AGE和△BGF中，，
∴△AGE≌△BGF（AAS）；
（2）解：四边形AFBE是菱形，理由如下：
∵△AGE≌△BGF，
∴AE＝BF，
∵AD∥BC，
∴四边形AFBE是平行四边形，
又∵EF⊥AB，
∴四边形AFBE是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
24．（13分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求出一次函数的表达式；
（2）请直接写出不等式kx+b﹣3x＞0的解集 x＜1 ；
（3）若点D在坐标轴上，且满足S△DOC＝S△BOC，求出点D的坐标．
【分析】（1）先确定C点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到k、b的值；
（2）结合函数图象，写出直线y＝kx+b在直线y＝3x上方所对应的自变量的范围即可；
（3）解方程得到B（4，0），分两种情况．根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝3x＝3，
∴点C的坐标为（1，3），
将A（﹣2，6）、C（1，3）代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+4；
（2）根据函数图象知，不等式kx+b＞3x的解集是x＜1；
故答案为：x＜1；
（3）∵当y＝0时，即0＝﹣x+4，
∴x＝4，
∴B（4，0），
∴S△BOC＝＝6，
当点D在x轴上时，
∵S△DOC＝S△BOC，
∴OD•3＝6，
解得OD＝4，
∴D点坐标分别是（4，0），（8，0），
当点D在y 轴上时，
∵S△DOC＝S△BOC，
∴OD•1＝6，
解得OD＝12，
∴D点坐标分别是（0，12），（0，﹣12），
综上，点D的坐标为（4，0）或（8，0）或（0，12）或（0，﹣12）．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
25．（13分）【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′．
【问题解决】：
（1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时CB′的长；
（2）若α＝90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交B′E′于点F，
①试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由；
②连接CE，求CE的长；
（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE′长度的取值范围．
【分析】（1）由勾股定理得AB＝2，再由正方形的性质得AC＝AB＝2，然后由旋转的性质得AB'＝AB＝2，即可求解；
（2）①由旋转的性质得AE'＝AE，∠EAE'＝α＝90°，∠AE'D＝∠AEB＝90°，再证四边形AEFE′是矩形，即可得出结论；
②过点C作CG⊥BE于点G，证△BCG≌△ABE（AAS），得CG＝BE＝4，BG＝AE＝2，则EG＝BE﹣BG＝2，再由勾股定理求解即可；
（3）当α＝0°时，E'与E重合，CE'最短＝2；当E‘落在CA的延长线上时，AE'＝AE＝2，CE'最长＝AC+AE'＝2+2，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∵四边形ABD是正方形，
∴BC＝AB＝2，∠ABC＝90°，
∴AC＝AB＝2，
由旋转的性质得：AB'＝AB＝2，
∴CB′＝AC﹣AB'＝2﹣2；
（2）①四边形AEFE′是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：AE'＝AE，∠EAE'＝α＝90°，∠AE'D＝∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形AEFE′是矩形，
又∵AE'＝AE，
∴四边形AEFE′是正方形；
②过点C作CG⊥BE于点G，如图3所示：
则∠BGC＝90°＝∠AEB，
∴∠CBG+∠BCG＝∠CBG+∠ABE＝90°，
∴∠BCG＝∠ABE，
在△BCG和△ABE中，
，
∴△BCG≌△ABE（AAS），
∴CG＝BE＝4，BG＝AE＝2，
∴EG＝BE﹣BG＝4﹣2＝2，
∴CE＝＝＝2；
（3）∵直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′，
∴当α＝0°时，E'与E重合，CE'最短＝2；
当E‘落在CA的延长线上时，AE'＝AE＝2，CE'最长＝AC+AE'＝2+2，
∴线段CE′长度的取值范围是2≤CE'≤2+2．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明△BCG≌△ABE是解题的关键，属于中考常考题型．分数段（分）
频数
频率
51≤x＜61
a
0.1
61≤x＜71
18
0.18
71≤x＜81
b
c
81≤x＜91
35
0.35
91≤x＜101
12
0.12
分数段（分）
频数
频率
51≤x＜61
a
0.1
61≤x＜71
18
0.18
71≤x＜81
b
c
81≤x＜91
35
0.35
91≤x＜101
12
0.12