专题3 均值不等式及其应用（针对训练）-2023年高考一轮复习精讲精练必备

第3练 均值不等式及其应用

学校____________          姓名____________          班级____________

一、单选题

1．已知正实数a，b满足，则的最小值是（       ）

A． B．4 C． D．

【答案】D

【详解】

设，则，故，其中，

，

由，

当且仅当，时等号成立，

此时，满足，

故的最小值为，

故选：D.

2．函数的最小值为（       ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】D

【详解】

因为，所以，，利用基本不等式可得

，

当且仅当即时等号成立.

故选：D.

3．已知，，，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为，，，则，

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.

故选：D.

4．函数的最小值为（       ）

A．7 B．7 C．6 D．2

【答案】B

【详解】

，

，

当且仅当时等号成立.

故选：B

5．下列命题为真命题的是（        ）

A．若，则

B．函数中最小值为

C．若，则

D．若，则

【答案】A

【详解】

由可得，所以，A对，

当时，函数的函数值为-10，故B错，

当时，，所以，C错，

取，则，D错，

故选：A.

6．下列不等式恒成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

解：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误；

对于B选项，成立的条件为，故错误；

对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误；

对于D选项，由于，故，正确.

故选：D

7．已知中，点D为线段（不包括端点）上任意一点，且实数x，y满足，则的最小值为（       ）

A． B．6 C． D．

【答案】A

【详解】

因为点D为线段（不包括端点）上任意一点，且实数x，y满足，

所以，，

所以

，当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为，

故选：A

8．若，且，则的最小值为（       ）

A．9 B．3 C．1 D．

【答案】C

【详解】

解：因为，所以，

因为

所以，即，

当且仅当，即时等号成立，

所以，即的最小值为.

故选：C

二、多选题

9．已知 则下列结论正确的是（        ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【详解】

由题可知，，又，所以 ，D错误；

因为，有．所以A正确；

由基本不等式得，所以，当且仅当时，取等号；

又因为，，所以，故，B正确；

由于，，所以，C正确.

故选：ABC．

10．已知，是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是（       ）

A．的最小值是1 B．的最大值是1

C．的最小值是 D．的最大值是

【答案】BC

【详解】

因为，所以，

所以，可得，当且仅当时等号成立，

所以的最大值为1，故错误，B正确．

因为，

故的最小值为，无最大值，故C正确，D错误．

故选：BC

11．下列函数最小值为2的是（        ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【详解】

对于A，，最小值为2；

对于B，，当且仅当，时取得最小值2；

对于C，，当且仅当，即时取得最小值2；

对于D，，当时取得最小值1，综上可知：ABC正确.

故选：ABC.

12．设，且，则(       )

A． B． C． D．

【答案】AC

【详解】

对于A：，且，，解得，故A正确；

对于B：，即，，故B错误；

对于C：，且，，当且仅当时，等号成立，，故C正确；

对于D，且，

，

当且仅当，即时等号成立，

∵－3＝，∴，∴D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．若，，且，则的最小值为___________

【答案】##

【详解】

因为，

所以，

因为，当且仅当时取等号，即时取等号，

，当且仅当时取等号，即时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

故答案为：

14．已知正数a，b满足，则的最小值为___________.

【答案】##0.75

【详解】

因为，所以，

当且仅当，即时，等号成立.

故答案为：.

15．某工厂的产值第二年比第一年的增长率是，第三年比第二年的增长率是，而这两年的平均增长率为，在为定值的情况下，的最大值为___________（用､表示）

【答案】

【详解】

设第一年的产值为，则第二年的产值为，第三年的产值为，

又这两年的平均增长率为，所以，

因为为定值，所以，当且仅当时，等号成立，

所以，所以，

所以的最大值为.

故答案为：

16．小明用某款手机性能测试app对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，x，y，93，95，97，99，已知总体的中位数为90，若要使该总体的标准差最小，则_________.

【答案】0

【详解】

因为总体的中位数为90，所以，

平均数为，

要使该总体的标准差最小，即方差最小，即最小，

又，

当且仅当时，即时等号成立，

故.

故答案为：0

四、解答题

17．已知，，，求证：

(1)；

(2).

【解析】(1)

由题意，因为，且，

所以，当且仅当时，取“=”，

所以，所以．

(2)

由，

所以

，

，所以，

所以，所以，

所以．

18．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

【答案】(1)400；(2)不能获利，至少需要补贴35000元.

【解析】(1)

由题意可知：，

每吨二氧化碳的平均处理成本为：

，

当且仅当，即时，等号成立，

∴该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低；

(2)该单位每月的获利：

，

因，函数在区间上单调递减，

从而得当时，函数取得最大值，即，

所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.

18．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？