专题18 等差数列及其求和（讲义）-2023年高考一轮复习精讲精练必备

第18讲  等差数列及其求和

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一、知识梳理

1.等差数列的概念

(1)定义：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列.其中d称为等差数列的公差.

数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).

(2)等差中项：①如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，A＝.

②推广：若{an}为等差数列，则2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立.

2.等差数列的通项公式与前n项和公式

(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.

3.等差数列的性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.

(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.

(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.

(6)若等差数列的项数为2n(n∈N＋)时，则S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，＝.

(7)若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)时，则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，＝.

二、考点和典型例题

1、等差数列的基本运算

【典例1-1】（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（       ）

A．31 B． C． D．63

【典例1-2】（2022·北京育才学校模拟预测）设是等差数列，且，，则（       ）

A． B． C． D．

【典例1-3】（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（       ）

A．10 B．14 C．23 D．26

【典例1-4】（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（       ）

A．9 B．8 C．7 D．6

【典例1-5】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）记为等差数列的前项和.若，，则（       ）

A． B． C． D．

【典例1-6】（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））在等差数列中，，，则（       ）

A． B． C． D．

2、等差数列的判定与证明

【典例2-1】（2022·安徽·高二阶段练习）设等差数列的前n项和为，且满足，，则下列结论正确的是（       ）

A．数列为单增数列 B．数列为单减数列

C．对任意正整数n，都有 D．对任意正整数n，都有

【典例2-2】（2022·辽宁实验中学高二期中）已知等差数列，其前n项的和为，则下列结论正确的是（       ）

A．数列是等差数列

B．数列不可能是等差数列

C．

D．若公差，且，则当时，取得最小值

【典例2-3】（2022·湖北·高二阶段练习）已知数列满足，（）.

(1)求证数列为等差数列；

(2)设，求数列的前项和.

【典例2-4】（2021·河北保定·高二期中）已知数列满足，设．

(1)判断数列是否为等差数列，并说明理由；

(2)若是数列的前项和，求的通项公式．

【典例2-5】（2018·河南洛阳·一模（理））已知数列满足，，数列满足.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）求数列的前项和.

3、等差数列的性质及应用

【典例3-1】（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则

A．64 B．96 C．128 D．160

【典例3-2】（2007·辽宁·高考真题（理））设等差数列的前项和为，若，，则（       ）

A．63 B．36 C．45 D．27

【典例3-3】（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）

A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块

【典例3-4】（2022·福建·厦门双十中学模拟预测）等差数列的前项和为，已知，为整数，且.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【典例3-5】（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足．

(1)求{}和{}的通项公式；

(2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围．