专题19 等比数列及其求和（讲义）-2023年高考一轮复习精讲精练必备

第19讲  等比数列及其求和

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一、知识梳理

1.等比数列的概念

(1)定义：如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比.

数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).

(2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，则称G为x与y的等比中项，且G2＝xy.

2.等比数列的通项公式及前n项和公式

(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；

通项公式的推广：an＝amqn－m.

(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.

3.等比数列的性质

已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.

(1)若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as·at＝apaq，特别地，如果2s＝p＋q，则a＝ap·aq.

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.

(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.

二、考点和典型例题

1、等比数列基本量的运算

【典例1-1】（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））在正项等比数列中，，且，则（       ）

A．1024 B．960 C．768 D．512

【典例1-2】（2022·山东日照·三模）在公差不为0的等差数列中，成公比为3的等比数列，则（       ）

A．14 B．34 C．41 D．86

【典例1-3】（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（       ）

A． B． C．3 D．

【典例1-4】（2022·新疆喀什·高三期末（理））70周年国庆阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象，展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心，在阅兵活动的训练工作中，不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备，还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析，有效保证了阅兵活动的顺利进行，假如训练过程中第一天产生的数据量为a，其后每天产生的数据量都是前一天的倍，那么训练n天产生的总数据量为（       ）

A． B． C． D．

【典例1-5】（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（文））已知正项等比数列满足，则的最小值为（       ）

A．16 B．24 C．32 D．8

【典例1-6】（2022·北京·人大附中模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力对应的国际标准视力准确值为，则标准对数视力对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（       ）

（参考数据：）

A． B． C． D．

2、等比数列的判定与证明

【典例2-1】（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）（多选）已知为数列的前项之和，且满足 ，则下列说法正确的是（       ）

A． 为等差数列 B．若 为等差数列，则公差为2

C．可能为等比数列 D．的最小值为0，最大值为20

【典例2-2】（2022·湖南·雅礼中学二模）（多选）著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下､从小到大套着n个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作.设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，则（       ）

A． B．

C． D．

【典例2-3】（2022·江苏泰州·模拟预测）（多选）若正整数m．n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，（k）是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数（k）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么，例如：，则（       ）

A．

B．数列是等比数列

C．数列不是递增数列

D．数列的前n项和小于

【典例2-4】（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知数列的前n项和满足．数列满足，．

(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

(2)求证：．

【典例2-5】（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知各项都为正数的数列满足， .

(1)若，求证：是等比数列；

(2)求数列的前项和.

3、等比数列的性质及应用

【典例3-1】（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【典例3-2】（2022·湖南·长郡中学模拟预测）设等比数列满足，则的最大值为（       ）

A．64 B．128 C．256 D．512

【典例3-3】（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知正项等比数列的前n项和为，且满足，则公比q＝（       ）

A． B．2 C． D．3

【典例3-4】（2022·海南海口·二模）已知数列的各项均为正整数且互不相等，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列是等比数列；②数列是等比数列；③．

注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【典例3-5】（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知数列为等比数列，且

(1)求的通项公式；

(2)若 ，的前项和为 ，求满足的最小正整数