高考物理二轮复习第2章相互作用微专题2共点力的动态平衡和平衡中的临界极值问题学案

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1．动态平衡：“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力，是动态力，力的大小或方向发生变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫动态平衡。在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。
2．分析动态平衡问题的方法
eq \([典例1]) (多选)如图所示，带有光滑竖直杆的三角形斜劈固定在水平地面上，放置于斜劈上的光滑小球与套在竖直杆上的小滑块用轻绳连接，开始时轻绳与斜劈平行。现给小滑块施加一竖直向上的拉力，使小滑块沿杆缓慢上升，整个过程中小球始终未脱离斜劈，则有( )
A．轻绳对小球的拉力逐渐增大
B．小球对斜劈的压力先减小后增大
C．竖直杆对小滑块的弹力先增大后减小
D．对小滑块施加的竖直向上的拉力逐渐增大
AD [先对小球受力分析，受重力、支持力和轻绳的拉力，其中支持力的方向不变，拉力方向改变，根据平衡条件并结合图示法分析支持力和拉力的变化情况：然后对球和滑块整体分析，根据平衡条件列式分析。
对小球受力分析，受重力、支持力和轻绳的拉力，如图甲所示：
甲 乙
根据平衡条件，轻绳的拉力T增大，支持力N减小，根据牛顿第三定律，球对斜面的压力也减小，A正确，B错误；对球和滑块整体分析，受重力、斜面的支持力N，杆的支持力N′，拉力F，如图乙所示，根据平衡条件，有：水平方向N′＝Nsin θ，竖直方向F＋Ncs θ＝G，由于N减小，故N′减小，F增大，C错误，D正确。]
eq \([跟进训练])
1.(2020·广东中山一中月考)如图所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为N1，木板对球的压力大小为N2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计一切摩擦，在此过程中( )
A．N1先增大后减小，N2始终减小
B．N1先增大后减小，N2先减小后增大
C．N1始终减小，N2始终减小
D．N1始终减小，N2始终增大
C [以小球为研究对象，分析受力情况，受重力G、墙面的支持力N1和木板的支持力N2。
根据平衡条件得N1＝eq \f(G,tan θ)，N2＝eq \f(G,sin θ)，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置的过程中，θ增大，tan θ增大，sin θ增大，则N1和N2都始终减小，选项C正确。]
2. (多选)(2019·全国卷Ⅰ·T19)如图所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°。已知M始终保持静止，则在此过程中( )
A．水平拉力的大小可能保持不变
B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
BD [对N进行受力分析如图所示，因为N的重力与水平拉力F的合力和细绳的拉力T是一对平衡力，从图中可以看出水平拉力的大小逐渐增大，细绳的拉力也一直增大，选项A错误，B正确；M的质量与N的质量的大小关系不确定，设斜面倾角为θ，若mNg≥mMgsin θ，则M所受斜面的摩擦力大小会一直增大，若mNg3.(2020·山西大同开学考试)如图所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重力为G的物体，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮，用力F拉绳，开始时∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°。此过程中，轻杆BC所受的力( )
A．逐渐减小B．逐渐增大
C．大小不变D．先减小后增大
C [以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图所示，
根据平衡条件可知，F、N的合力F合与G大小相等、方向相反。根据相似三角形得eq \f(F合,N)＝eq \f(AC,BC)，且F合＝G，则有N＝eq \f(BC,AC)G，现使∠BCA缓慢变小的过程中，AC、BC不变，即N不变，则轻杆BC所受的力大小不变，C正确，A、B、D错误。]
平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。
2．极值问题
平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3．解决极值问题和临界问题的方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。
(2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用图解法进行动态分析，确定最大值与最小值。
eq \([典例2]) 如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时，物体恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数；
(2)这一临界角θ0的大小。
思路点拨：解此题的关键是理解“不能使物体沿斜面向上滑行”的条件，并正确应用数学分析法求解。
[解析] (1)如图所示，未施加力F时，对物体受力分析，由平衡条件得
mgsin 30°＝μmgcs 30°
解得μ＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)。
(2)设斜面倾角为α时，受力情况如图所示，由平衡条件得：
Fcs α＝mgsin α＋F′f
F′N＝mgcs α＋Fsin α
F′f＝μF′N
解得F＝eq \f(mgsin α＋μmgcs α,cs α－μsin α)
当cs α－μsin α＝0，即tan α＝eq \r(3)时，F→∞，即“不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”，此时，临界角θ0＝α＝60°。
[答案] (1)eq \f(\r(3),3) (2)60°
四步法解决临界、极值问题
eq \([跟进训练])
1.如图所示，三根长度均为l的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2l。现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加的力的最小值为(重力加速度为g)( )
A．mg B．eq \f(\r(3),3)mg C．eq \f(1,2)mg D．eq \f(1,4)mg
C [由题图可知，要想CD水平，各绳均应绷紧，则AC与水平方向的夹角为60°，结点C受力平衡，受力分析如图所示，则CD绳对结点C的拉力FT＝mgtan 30°＝eq \f(\r(3),3)mg，D点受CD绳拉力F′T大小等于FT，方向向左。要使CD水平，D点受两绳的拉力与外界施加的力的合力为零，则CD绳对D点的拉力可分解为沿BD绳的力F1和另一分力F2，由几何关系可知，当力F2与BD垂直时，F2最小，而F2的大小等于施加的力的大小，故最小力F＝FTsin 60°＝eq \f(1,2)mg。]
2.(2020·山东高考)如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,5) D．eq \f(1,6)
C [根据题述，物块A、B刚要滑动，可知A、B之间的摩擦力fAB＝μmgcs 45°，B与木板之间的摩擦力f＝μ·3mgcs 45°。隔离A分析受力，由平衡条件可得轻绳中拉力F＝fAB＋mgsin 45°。对AB整体，由平衡条件：2F＝3mgsin 45°－f，联立解得：μ＝eq \f(1,5)，选项C正确。]
3.如图所示，两个完全相同的球，重力大小均为G，两球与水平地面间的动摩擦因数都为μ，且假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，一根轻绳两端固定在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳间的夹角为α。问当F至少为多大时，两球将会发生滑动？
[解析] 对O点受力分析，如图甲所示，由平衡条件得：
甲 乙
F1＝F2＝eq \f(F,2cs \f(α,2))
对任一球(如右球)受力分析如图乙所示，球发生滑动的临界条件是：F′2sin eq \f(α,2)＝μFN
又F′2cs eq \f(α,2)＋FN＝G，F′2＝F2
联立解得：F＝eq \f(2μG,μ＋tan \f(α,2))。
[答案] eq \f(2μG,μ＋tan \f(α,2))
方法
步骤
示例及特点
解析法
(1)列平衡方程得出未知量与已知量的关系表达式；
(2)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况
画受力分析图，完成平行四边形构建特殊几何关系
图解法
(1)根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化；
(2)确定未知量大小、方向的变化
三力，一力恒定，一力方向不变
相似三
角形法
(1)根据已知条件画出两个不同情况对应的力的三角形和空间几何三角形，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式；
(2)确定未知量大小的变化情况
三力，一力恒定，另外两力大小、方向都变
力三角形和几何三角形相似