人教版高考物理一轮复习第2章相互作用第3节共点力的平衡学案

第3节　共点力的平衡

一、物体的受力分析

1．定义

把指定物体(研究对象)在特定的物理环境中受到的所有外力都找出来，并画出受力示意图的过程。

2．受力分析的一般顺序

(1)首先分析场力(重力、电场力、磁场力)。

(2)其次分析接触力(弹力、摩擦力)。

(3)最后分析其他力。

(4)画出受力分析示意图(选填“示意图”或“图示”)。

二、共点力的平衡

1．平衡状态

物体处于静止状态或匀速直线运动状态。

2．平衡条件

F合＝0或者

如图甲所示，小球静止不动，如图乙所示，物体匀速运动。

甲　　　　　　　乙

则小球F合＝0；物块Fx＝0，Fy＝0。

3．平衡条件的推论

(1)二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反。

(2)三力平衡：物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与另外两个力的合力大小相等，方向相反，并且这三个力的矢量可以形成一个封闭的矢量三角形。

(3)多力平衡：物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与另外几个力的合力大小相等，方向相反。

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)对物体受力分析时，只能画该物体受到的力，其他物体受到的力不能画在该物体上。 (√)

(2)物体沿光滑斜面下滑时，受到重力、支持力和下滑力的作用。 (×)

(3)加速度等于零的物体一定处于平衡状态。 (√)

(4)速度等于零的物体一定处于平衡状态。 (×)

(5)若物体受三个力F1、F2、F3处于平衡状态，若将F1转动90°时，三个力的合力大小为F1。 (√)

2．(人教版必修2P91T1改编)如图所示，质量为m的光滑圆球，在细线和墙壁的作用下处于静止状态，重力加速度为g，细线与竖直墙壁的夹角为30°，则细线对小球的拉力大小为(　　)

A．  B．  C．mg  D．

[答案]　A

3．(鲁科版必修1P97T2，改编)如图所示，水平地面上的物体A，在斜向上的拉力F的作用下，向右做匀速运动，则下列说法中不正确的是(　　)

A．物体A可能只受到三个力的作用

B．物体A一定受到四个力的作用

C．物体A受到的滑动摩擦力大小为Fcos θ

D．物体A对水平面的压力大小可能为Fsin θ

A　[物体水平向右做匀速运动，合力必为零，所以必受水平向左的摩擦力，且有f＝Fcos θ，因滑动摩擦力存在，地面一定对物体A有竖直向上的支持力，且有N＝mg－Fsin θ，若重力mg＝2Fsin θ，则A对水平面的压力大小为Fsin θ，所以选项B、C、D正确，A错误。]

4．(人教版必修1P84T7改编)如图所示，水平面上A、B两物块的接触面水平，二者叠放在一起，在作用于B上的水平恒定拉力F的作用下沿地面向右做匀速运动，某时刻撤去力F后，二者仍不发生相对滑动，关于撤去F前后，下列说法正确的是(　　)

A．撤去F之前A受3个力作用

B．撤去F之前B受到4个力作用

C．撤去F前后，A的受力情况不变

D．A、B间的动摩擦因数μ1不小于B与地面间的动摩擦因数μ2

[答案]　D

物体的受力分析　

1．(2020·开封检测)如图所示，物体A靠在竖直的墙面C上，在竖直向上的力F作用下，A、B物体保持静止，则物体A受力分析示意图正确的是(　　)

　　　　　　　A　　　 　B　　　　　C　　　 D

A　[以A、B组成的整体为研究对象，水平方向不可能受力，故整体和墙面C间没有弹力，故A与墙面C间无摩擦力，以A物体为研究对象，A受重力，B对A的垂直接触面的弹力和平行接触面的摩擦力，故选项A正确。]

2．(2019·天津南开中学月考)如图所示，固定的斜面上叠放着A、B两木块，木块A与B的接触面水平，水平力F作用于木块A，使木块A、B保持静止，且F≠0。则下列描述正确的是(　　)

A．B可能受到3个或4个力作用

B．斜面对木块B的摩擦力方向可能沿斜面向下

C．A对B的摩擦力可能为零

D．A、B整体不可能受三个力作用

B　[对B受力分析，木块B受重力、A对B的压力、A对B水平向左的静摩擦力、斜面对B垂直于斜面向上的支持力、斜面对B可能有静摩擦力(当A对B向左的静摩擦力平行斜面方向的分力与木块A对B的压力与木块B重力的合力沿斜面方向的分力平衡时，斜面对B没有静摩擦力)作用，故B受4个力或者5个力作用，故A错误；当A对B向左的静摩擦力平行斜面方向的分力大于木块A对B的压力与木块B重力的合力沿斜面方向的分力时，木块B有上滑趋势，此时木块B受到平行斜面向下的静摩擦力，故B正确；对木块A受力分析，受水平力、重力、B对A的支持力和静摩擦力，根据平衡条件，B对A的静摩擦力与水平力F平衡，根据牛顿第三定律，A对B的摩擦力水平向左，大小为F，故C错误；对A、B整体受力分析，受重力、斜面对整体的支持力、水平力，可能有静摩擦力(当推力沿斜面方向的分力与A、B整体重力沿斜面方向的分力平衡时，斜面对A、B整体的静摩擦力为零)，所以A、B整体可能受三个力作用，故D错误。]

受力分析的四个步骤

共点力作用下物体的静态平衡　

1．平衡中的研究对象选取

(1)单个物体；(2)能看成一个物体的系统；(3)一个结点。

2．静态平衡问题的解题“五步骤”

[典例示法]　(一题多解)如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ。重力加速度为g，下列关系式正确的是(　　)

A．F＝  B．F＝mgtan θ  C．FN＝  D．FN＝mgtan θ

思路点拨：解此题的关键是选取小滑块为研究对象，作好受力分析，根据平衡条件求解。

A　[方法一：合成法

滑块受力如图甲，由平衡条件知＝tan θ，

所以F＝，FN＝。

方法二：效果分解法

将重力按产生的效果分解，如图乙所示，

F＝G2＝，FN＝G1＝。

方法三：正交分解法

将滑块受的力沿水平、竖直方向分解，如图丙所示，

mg＝FNsin θ，F＝FNcos θ，

联立解得F＝，FN＝。

方法四：力的三角形定则法

滑块受到的三个力可组成封闭的三角形，如图丁所示，则由几何关系可得F＝，FN＝。]

处理平衡问题的三个技巧

(1)物体受三个力平衡时，利用力的分解法或合成法比较简单。

(2)物体受四个以上的力作用时，一般要采用正交分解法。

(3)正交分解法建立坐标系时应使尽可能多的力与坐标轴重合，需要分解的力尽可能少。

[跟进训练]

1．(一题多法)如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平面的夹角α＝60°，则两小球的质量之比为(　　)

A．  B．  C．  D．

A　[法一：合成法

小球m1受拉力T、支持力N、重力m1g三力作用而处于平衡状态。受力分析如图甲所示，小球m1处于平衡状态，故N与T的合力F＝m1g。根据合力公式可得

甲

F＝＝m1g，

将N＝T＝m2g，θ＝60°代入上式解得＝，

故选项A正确。

法二：力的三角形法

小球m1受到的支持力N和细线的拉力T的合力与小球重力m1g的大小相等，方向相反，故N、T、m1g构成矢量三角形，如图乙所示。

乙

由正弦定理得＝，即

＝，得＝。

法三：正交分解法

如图丙所示，以支持力N的方向为y轴，以垂直N的方向为x轴建立坐标系。

丙

因N与T的夹角为60°，则m1g与y轴成30°角。在x轴方向由物体的平衡条件有m1gsin 30°－T·sin 60°＝0，即m1g＝m2g，所以＝。]

2．(2021·江苏省新高考适应性考试)如图所示，对称晾挂在光滑等腰三角形衣架上的衣服质量为M，衣架顶角为120°，重力加速度为g，则衣架右侧对衣服的作用力大小为(　　)

A．Mg  B．Mg  C．Mg  D．Mg

B　[以衣服为研究对象，受力分析如图所示，由几何关系得F与竖直方向的夹角成30°，由共点力的平衡条件可得2Fcos 30°＝Mg，F＝Mg，故选B。]

3．(2019·全国卷Ⅲ)用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图所示。两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°。重力加速度为g。当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则(　　)

A．F1＝mg，F2＝mg

B．F1＝mg，F2＝mg

C．F1＝mg，F2＝mg

D．F1＝mg，F2＝mg

D　[分析可知工件受力平衡，对工件受到的重力按照压紧斜面Ⅰ和Ⅱ的效果进行分解如图所示，结合几何关系可知工件对斜面Ⅰ的压力大小为F1＝mgcos 30°＝mg、对斜面Ⅱ的压力大小为F2＝mgsin 30°＝mg，选项D正确，A、B、C均错误。]

共点力作用下物体的动态平衡　

1．动态平衡：“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力，是动态力，力的大小或方向发生变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫动态平衡。在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。

2．分析动态平衡问题的方法

[典例示法]　(一题多法)如图所示，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　)

A．MN上的张力逐渐减小

B．MN上的张力先增大后减小

C．OM上的张力逐渐增大

D．OM上的张力先增大后减小

题眼点拨：(1)“缓慢拉起”说明重物处于动态平衡；

(2)“保持夹角α不变”说明OM与MN上的张力大小和方向均变化，但其合力不变。

D　[法一：解析法

设重物的质量为m，绳OM中的张力为TOM，绳MN中的张力为TMN。开始时，TOM＝mg，TMN＝0。由于缓慢拉起，则重物一直处于平衡状态，两绳张力的合力与重物的重力mg等大、反向。

如图所示，已知角α不变，在绳MN缓慢拉起的过程中，角β逐渐增大，则角(α－β)逐渐减小，但角θ不变，在三角形中，利用正弦定理得＝，

(α－β)由钝角变为锐角，sin(α－β)先增大后减小，则TOM先增大后减小，选项D正确；

同理知＝，在β由0变为的过程中，TMN一直增大，选项A错误。

法二：图解法

重物受到重力mg、OM绳的拉力FOM、MN绳的拉力FMN共三个力的作用。缓慢拉起过程中任一时刻可认为是平衡状态，三力的合力恒为0。如图所示，由三角形定则得一首尾相接的闭合三角形，由于α>且不变，则三角形中FMN与FOM的交点在一个优弧上移动，由图可以看出，在OM被拉到水平的过程中，绳MN中拉力一直增大且恰好达到最大值，绳OM中拉力先增大后减小，故D正确，A、B、C错误。]

[跟进训练]

　解析法求解动态平衡问题

1．(2020·江苏海安高三期末)如图所示，跳水运动员在走板时，从跳板的a端缓慢地走到b端，跳板逐渐向下弯曲，在此过程中，该运动员对跳板的(　　)

A．压力不断增大

B．摩擦力不断增大

C．作用力不断增大

D．作用力不断减小

B　[以运动员为研究对象，由平衡条件知，跳板对运动员的支持力N＝mgcos α，摩擦力f＝mgsin α，α是跳板与水平方向的夹角。随着α的增大，N减小，f增大。由牛顿第三定律知，运动员对跳板的压力减小，摩擦力增大，A错误，B正确；跳板对运动员的作用力是支持力和摩擦力的合力，与重力等大反向，则跳板对运动员的作用力保持不变，所以运动员对跳板的作用力保持不变，故C、D均错。]

　图解法求解动态平衡问题

2．(2020·衡水检测)如图所示，有一质量不计的杆AO，长为R，可绕A自由转动。用绳在O点悬挂一个重为G的物体，另一根绳一端系在O点，另一端系在圆弧形墙壁上的C点。当点C由图示位置逐渐向上沿圆弧CB移动过程中(保持OA与墙面夹角θ不变)，OC绳所受拉力的大小变化情况是(　　)

A．逐渐减小   B．逐渐增大

C．先减小后增大   D．先增大后减小

C　[对物体受力分析，物体受力平衡，则拉力等于重力G；故竖直绳的拉力不变；再对O点分析，O受绳的拉力、OA的支持力及OC的拉力而处于平衡；受力分析如图所示；将F和OC绳上的拉力合成，其合力与G大小相等，方向相反，则在OC绳上移的过程中，平行四边形的对角线保持不变，平行四边形发生图中所示变化，则由图可知OC绳的拉力先减小后增大，在图中D点时拉力最小，故C正确。]

　相似三角形法求解动态平衡问题

3．如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙之间用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。现施加一拉力F将重物P缓慢向上拉，在AC杆达到竖直状态前(　　)

A．BC绳中的拉力FT越来越大

B．BC绳中的拉力FT越来越小

C．AC杆中的支持力FN越来越大

D．AC杆中的支持力FN越来越小

B　[对C点进行受力分析，如图(a)所示，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如图(b)所示的闭合三角形。很容易发现，这三个力与△ABC的三边始终平行，则＝＝，其中G、、均不变，逐渐减小，则由上式可知，FN不变，FT变小。]

(a)　　　　　(b)

平衡中的临界、极值问题　

1．临界问题

当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。

2．极值问题

平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。

3．解决极值问题和临界问题的方法

(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。

(2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。

(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用图解法进行动态分析，确定最大值与最小值。

[典例示法]　如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时，物体恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：

(1)物体与斜面间的动摩擦因数；

(2)这一临界角θ0的大小。

思路点拨：解此题的关键是理解“不能使物体沿斜面向上滑行”的条件，并正确应用数学分析法求解。

[解析]　(1)如图所示，未施加力F时，对物体受力分析，由平衡条件得mgsin 30°＝μmgcos 30°

解得μ＝tan 30°＝。

(2)设斜面倾角为α时，受力情况如图所示，由平衡条件得：

Fcos α＝mgsin α＋F′f

F′N＝mgcos α＋Fsin α

F′f＝μF′N

解得F＝

当cos α－μsin α＝0，即tan α＝时，F→∞，即“不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”，此时，临界角θ0＝α＝60°。

[答案]　(1)　(2)60°

四步法解决临界极值问题

[跟进训练]

1．如图所示，质量为m＝5 kg的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝，g取10 m/s2，当物体做匀速直线运动时，下列说法正确的是(　　)

A．牵引力F的最小值为25 N

B．牵引力F的最小值为 N

C．牵引力F与水平面的夹角为45°

D．牵引力F与水平面的夹角为30°

D　[物体受重力G、支持力N、摩擦力f和拉力F的共同作用，将拉力沿水平方向和竖直方向分解，如图所示，由共点力的平衡条件可知，在水平方向上有Fcos θ－μN＝0，在竖直方向上有Fsin θ＋N－G＝0，联立解得F＝，设tan Φ＝μ，则cos Φ＝，所以F＝·，当cos(θ－Φ)＝1，即θ－Φ＝0时，F取到最小值，Fmin＝＝25 N，而tan Φ＝μ＝，所以Φ＝30°，θ＝30°。]

2．如图所示，两个完全相同的球，重力大小均为G，两球与水平地面间的动摩擦因数都为μ，且假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，一根轻绳两端固定在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳间的夹角为α。问当F至少为多大时，两球将会发生滑动？

[解析]　对O点受力分析，如图甲所示，由平衡条件得：

甲　　　　　　乙

F1＝F2＝

对任一球(如右球)受力分析如图乙所示，球发生滑动的临界条件是：

F′2sin ＝μFN

又F′2cos ＋FN＝G，F′2＝F2

联立解得：F＝。

[答案]