高考物理二轮复习第4章曲线运动万有引力与航天微专题5天体运动中的三类热点问题学案

这是一份高考物理二轮复习第4章曲线运动万有引力与航天微专题5天体运动中的三类热点问题学案，共10页。

在不同圆周轨道上绕同一天体运动的两个行星，某一时刻会出现三者排成一条直线的“行星冲日”现象。即天体的“追及、相遇”现象。此类问题的两种情形：
(1)相距最近：两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3，…)。
(2)相距最远：当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)。
eq \([典例1]) (多选)(2020·山西太原质检)如图所示，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M(M远大于m1及m2)，在万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有( )
A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
AD [根据开普勒第三定律，周期的平方与半径的三次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，A对，B错；设图示位置夹角为θ，θeq \([跟进训练])
1.(多选)(2020·辽宁鞍山一中等六校联考)如图所示，质量相同的三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动，其中b、c在地球的同步轨道上，a距离地球表面的高度为R，此时a、b恰好相距最近。已知地球质量为M、半径为R、地球自转的角速度为ω，万有引力常量为G，则( )
A．发射卫星b时速度要大于11.2 km/s
B．若要卫星a与b实现对接，可调节卫星a，使其在b的后下方加速
C．若要卫星c与b实现对接，可让卫星c直接在原轨道加速
D．卫星a和b下次相距最近还需经过t＝eq \f(2π,\r(\f(GM,8R3))－ω)
BD [卫星b绕地球做匀速圆周运动，7.9 km/s是指在地球上发射的物体绕地球做圆周运动所需的最小发射速度，11.2 km/s是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，所以发射卫星b时速度大于7.9 km/s，而小于11.2 km/s，故A错误；让卫星加速，所需的向心力增大，由于万有引力小于所需的向心力，卫星会做离心运动，离开原轨道向高轨道运行，所以a通过调节可以与c实现对接，而c不能与b实现对接，故B正确，C错误；b、c在地球的同步轨道上，所以卫星b、c和地球具有相同的周期和角速度，a距离地球表面的高度为R，由万有引力提供向心力，有eq \f(GMm,2R2)＝mωeq \\al(2,a)(2R)，所以卫星a的角速度ωa＝eq \r(\f(GM,8R3))，此时a、b恰好相距最近，到卫星a和b下一次相距最近时，有(ωa－ω)t＝2π，t＝eq \f(2π,\r(\f(GM,8R3))－ω)，故D正确。]
2．当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2019年6月10日出现了一次“木星冲日”。已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍。则下列说法正确的是( )
A．下一次的“木星冲日”时间发生在2021年
B．下一次的“木星冲日”时间发生在2020年
C．木星运行的加速度比地球的大
D．木星运行的周期比地球的小
B [地球公转周期T1＝1年，木星公转周期T2＝eq \r(125)T1≈11.18年。设经时间t再次出现“木星冲日”，则有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝eq \f(2π,T1)，ω2＝eq \f(2π,T2)，解得t≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2020年，故A错误，B正确；设太阳质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，周期为T，加速度为a。对行星由牛顿第二定律可得Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(4π2,T2)r，解得a＝eq \f(GM,r2)，T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C、D错误。]
卫星的变轨问题
1．变轨原理
卫星绕中心天体稳定运行时，万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)。当由于某种原因卫星的速度由v突然增大为v1时，有Geq \f(Mm,r2)meq \f(v\\al(2,2),r)，卫星将做近心运动。
2．变轨的两种情况
3．各物理量的比较
(1)两个不同轨道的“切点”处线速度不相等。图中vⅢB>vⅡB，vⅡA>vⅠA。
(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点的线速度大小不相等。从远地点到近地点万有引力对卫星做正功，卫星的动能增大(引力势能减小)。图中vⅡA>vⅡB，EkⅡA>EkⅡB，EpⅡA(3)两个不同圆轨道上线速度大小不相等。轨道半径越大，线速度越小，图中vⅠ>vⅢ。
(4)卫星在不同轨道上的机械能E不相等，“高轨高能，低轨低能”。卫星变轨过程中机械能不守恒。图中EⅠ(5)卫星运行的加速度与卫星和中心天体间的距离有关，与轨道形状无关，图中aⅢB＝aⅡB，aⅡA＝aⅠA。
eq \([典例2]) (多选)若“嫦娥五号”从距月面高度为100 km的环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨，进入近月点为15 km的椭圆轨道Ⅱ，由近月点Q落月，如图所示。关于“嫦娥五号”，下列说法正确的是( )
A．沿轨道Ⅰ运动至P时，需制动减速才能进入轨道Ⅱ
B．沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期
C．沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度大于在Q点的加速度
D．在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中，机械能不变
AD [要使“嫦娥五号”从环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，需制动减速做近心运动，A正确；由开普勒第三定律知，沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期，B错误；万有引力使物体产生加速度，a＝eq \f(G\f(Mm,r2),m)＝Geq \f(M,r2)，沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度小于在Q点的加速度，C错误；月球对“嫦娥五号”的万有引力指向月球，所以在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中，万有引力对其做正功，它的动能增加，重力势能减小，机械能不变，D正确。]
航天器变轨问题的“三点”注意
(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝eq \r(\f(GM,r))判断。
(2)同一航天器在一个确定的圆(椭圆)轨道上运行时机械能守恒，在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(3)航天器经过不同轨道的相切点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
eq \([跟进训练])
1.(多选)(2020·江苏扬州期末)火星探测项目是我国继载人航天工程、嫦娥工程之后又一个重大的太空探索项目。如图所示，探测器被发射到围绕太阳的椭圆轨道上，A为近日点，远日点B在火星轨道附近，探测器择机变轨绕火星运动，则火星探测器( )
A．发射速度介于第一、第二宇宙速度之间
B．在椭圆轨道上运行周期大于火星公转周期
C．从A点运动到B点的过程中动能逐渐减小
D．在B点受到的太阳引力小于在A点受到的太阳引力
CD [要发射绕太阳运动的探测器，探测器必须脱离地球的束缚，其速度要大于第二宇宙速度，选项A错误；根据开普勒第三定律知，轨道半长轴越长，运行周期越长，所以火星探测器在椭圆轨道上运行周期小于火星公转周期，选项B错误；探测器由A运动到B的过程中太阳的引力对探测器做负功，根据动能定理，可知探测器动能减小，选项C正确；由公式F＝Geq \f(Mm,r2)可知，探测器到太阳距离越大受到的引力越小，选项D正确。]
2．(多选)如图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图，在地月转移段，若不计其他星体的影响，关闭发动机后，下列说法正确的是( )
A．“嫦娥三号”飞行速度一定越来越小
B．“嫦娥三号”的动能可能增大
C．“嫦娥三号”的动能和引力势能之和一定不变
D．“嫦娥三号”的动能和引力势能之和可能增大
AC [在地月转移段“嫦娥三号”所受地球和月球的引力之和指向地球，关闭发动机后，“嫦娥三号”向月球飞行，要克服引力做功，动能一定减小，速度一定减小，选项A正确，B错误；关闭发动机后，只有万有引力做功，“嫦娥三号”的动能和引力势能之和一定不变，选项C正确，D错误。]
双星和多星问题
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq \\al(2,1)r1，
eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq \\al(2,2)r2。
②两颗星的周期及角速度都相同，
即T1＝T2，ω1＝ω2。
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即
eq \f(m1,m2)＝eq \f(r2,r1)。
⑤双星的运动周期T＝2πeq \r(\f(L3,Gm1＋m2))。
⑥双星的总质量m1＋m2＝eq \f(4π2L3,T2G)。
eq \([典例3]) 双星系统中两个星球A、B的质量都是m，A、B相距L，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0，且eq \f(T,T0)＝k(k<1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C位于双星A、B的连线正中间，相对A、B静止，求：
(1)两个星球A、B组成的双星系统周期理论值T0；
(2)星球C的质量。
[解析] (1)两星球的角速度相同，根据万有引力充当向心力知：eq \f(Gmm,L2)＝mr1ωeq \\al(2,1)＝mr2ωeq \\al(2,1)
可得：r1＝r2①
两星绕连线的中点转动，则有：
eq \f(Gmm,L2)＝m×eq \f(L,2)ωeq \\al(2,1)
解得ω1＝eq \r(\f(2Gm,L3))②
所以T0＝eq \f(2π,ω1)＝2πeq \r(\f(L3,2Gm))。③
(2)由于C的存在，双星的向心力由两个力的合力提供，则
eq \f(Gmm,L2)＋Geq \f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L,2)))eq \s\up12(2))＝m·eq \f(1,2)L·ωeq \\al(2,2)④
T＝eq \f(2π,ω2)＝kT0⑤
联立③④⑤式解得M＝eq \f(1－k2m,4k2)。
[答案] (1)2πeq \r(\f(L3,2Gm)) (2)eq \f(1－k2m,4k2)
2．多星模型
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。
(2)三星模型：
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。
甲 乙 丙 丁
(3)四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。
eq \([典例4]) (多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则 ( )
A．每颗星做圆周运动的线速度为eq \r(\f(Gm,R))
B．每颗星做圆周运动的角速度为eq \r(\f(3Gm,R3))
C．每颗星做圆周运动的周期为2πeq \r(\f(R3,3Gm))
D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
ABC [每颗星受到的合力为F＝2Geq \f(m2,R2)sin 60°＝eq \r(3)Geq \f(m2,R2)，轨道半径为r＝eq \f(\r(3),3)R，由向心力公式F＝ma＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2r,T2)，解得a＝eq \f(\r(3)Gm,R2)，v＝eq \r(\f(Gm,R))，ω＝eq \r(\f(3Gm,R3))，T＝2πeq \r(\f(R3,3Gm))，显然加速度a与m有关，选项A、B、C正确，D错误。]
解决双星、多星问题的关键点
(1)双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。
(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。
(3)星体的角速度都相同。
(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。
eq \([跟进训练])
1.如图所示，A、B两颗恒星分别绕它们连线上某一点做匀速圆周运动，我们通常称之为“双星系统”，A的质量为B的2倍，忽略其他星球对二者的引力，下列说法正确的是( )
A．恒星A的向心加速度是B的一半
B．恒星A的线速度是B的2倍
C．恒星A的公转周期是B的一半
D．恒星A的动能是B的2倍
A [A、B之间的引力提供各自的向心力，由牛顿第二定律可知，A、B的向心力相等，角速度和周期相等，则有2Meq \f(4π2,T2)rA＝Meq \f(4π2,T2)rB，解得恒星A与恒星B的轨道半径之比为rA∶rB＝1∶2，由v＝ωr，a＝ω2r，TA＝TB，可得A正确，B、C错误；由动能Ek＝eq \f(1,2)mv2可得eq \f(EkA,EkB)＝eq \f(mA,mB)·eq \f(v\\al(2,A),v\\al(2,B))＝eq \f(2,1)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)，故D错误。]
2．(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每颗星的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于宇宙四星系统，下列说法正确的是( )
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为eq \f(a,2)
C．四颗星表面的重力加速度均为eq \f(Gm,R2)
D．四颗星的周期均为2πaeq \r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))
ACD [其中一颗星在其他三颗星的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为eq \f(\r(2),2)a，故A正确，B错误；在每颗星表面，根据万有引力近似等于重力，可得Geq \f(mm′,R2)＝m′g，解得g＝eq \f(Gm,R2)，故C正确；由万有引力定律和向心力公式得eq \f(Gm2,\r(2)a2)＋eq \f(\r(2)Gm2,a2)＝meq \f(4π2,T2)·eq \f(\r(2)a,2)，解得T＝2πaeq \r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))，故D正确。]