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2025年高考物理大一轮复习 第二章 第4课时 专题强化：动态平衡和临界、极值问题 课件及学案
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专题强化：动态平衡和临界、极值问题
考点一 动态平衡问题
考点二 平衡中的临界、极值问题
动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。1.“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题(1)一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。
(2)一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。
例1 (2023·江苏徐州市三模)如图所示，装有足球的轻网兜系在钉子上，墙壁光滑。将网绳在钉子上多绕几圈后，则A.网绳上的拉力变小B.网绳上的拉力不变C.墙壁对足球的支持力变大D.墙壁对足球的支持力不变
2.“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等。基本矢量图，如图所示
例2 如图，在竖直平面内固定一光滑的半圆环，圆心为O、半径为R，OA为半圆环的竖直半径，AB为与OA在同一直线上的光滑固定杆，半圆环上套有一小球a，杆AB上套有另一小球b。两小球之间连接一轻弹簧，初始时小球a在距圆环A点右侧不远处的P点，小球b固定于杆AB上的Q点，两小球间距离为R。现用外力使小球b沿杆AB缓慢向上移动一段距离，但未到达A点。在移动过程中弹簧始终在弹性限度内且在一条直线上，两小球均可视为质点，则下列说法正确的是
A.初始时弹簧弹力大于半圆环对小球a的弹力B.初始时弹簧弹力大于小球a的重力C.小球b沿杆缓慢向上移动过程中，环对小球 a的支持力先增大后减小D.小球b沿杆缓慢向上移动过程中，弹簧弹力 增大
3.一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。
例3 如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞ )。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中A.MN上的张力逐渐减小B.MN上的张力先增大后减小C.OM上的张力逐渐增大D.OM上的张力先增大后减小
分析动态平衡问题的流程
平衡中的临界、极值问题
1.临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类：(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。
2.极值问题平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。3.解题方法(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
例4 如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为
例5 如图所示，质量m＝5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0 m/s的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g＝10 m/s2。求所需拉力F的最小值。
在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F′代替支持力与摩擦力，Fmin＝mgsin θ，其中FN与Ff的合力F′方向一定，“摩擦角”θ满足tan θ＝
1.(2023·江苏省昆山中学模拟)如图所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻环，系在两环上的等长细绳拴住的书本处于静止状态。若用两段更长的等长细绳重新将书拴住，两环位置不变。环与书本仍处于静止状态，则横杆对A环的作用力与原来相比A.大小不变、方向不变 B.大小减小、方向改变C.大小减小、方向不变 D.大小增大、方向改变
2.(2023·江苏南京市模拟)如图甲所示，笔记本电脑支架一般有多个卡位用来调节角度，某人将电脑放在该支架上，由卡位4缓慢调至卡位1(如图乙)，电脑与支架始终处于相对静止状态，则A.电脑受到的支持力变大B.电脑受到的摩擦力变大C.支架对电脑的作用力减小D.电脑受到的支持力与摩擦 力两力大小之和等于其重力大小
3.抖空竹是我国传统文化中一株灿烂的花朵，既极具观赏性，又可健身。如图甲所示，若抖空竹者保持一只手不动，另一只手沿图乙中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和绳子间的摩擦力，且认为细线不可伸长。下列说法正确的是A.沿虚线a向左移动时，细线的拉力 将增大B.沿虚线b向上移动时，细线的拉力将减小C.沿虚线c斜向上移动时，细线的拉力将增大D.沿虚线d向右移动时，细线的拉力将减小
4.(2024·江苏南通市期中)如图所示，某健身者右手拉着抓把沿水平方向从图示位置B缓慢移动到位置A，不计绳子质量，忽略绳子和重物与所有构件间的摩擦，A、B、重物共面，则重物上升过程中A.绳子的拉力逐渐增大B.该健身者所受合力逐渐减小C.该健身者对地面的压力逐渐减小D.该健身者对地面的摩擦力逐渐增大
5.在水平外力F的作用下，A、B两个圆柱体按如图所示的方式分别放在水平地面、靠在竖直墙面，将A缓慢向右移动一小段距离(B未与地面接触)，不计一切摩擦，则在此过程中，关于水平地面对A的弹力FN1、竖直墙面对B的弹力FN2，下列说法正确的是A.FN1不变，FN2变大 B.FN1变小，FN2变大C.FN1变大，FN2变小 D.FN1不变，FN2变小
6.如图所示，物体甲放置在水平地面上，通过跨过光滑定滑轮的轻绳与小球乙相连，整个系统处于静止状态。现对小球乙施加一个水平力F，使小球乙缓慢上升一小段距离，整个过程中物体甲保持静止，甲受到地面的摩擦力为Ff，则该过程中A.Ff变小，F变大 B.Ff变小，F变小C.Ff变大，F变小 D.Ff变大，F变大
7.如图甲所示，用瓦片做屋顶是我国建筑的特色之一。铺设瓦片时，屋顶结构可简化为图乙所示，建筑工人将瓦片轻放在两根相互平行的檩条正中间，若瓦片能始终静止在檩条上。已知檩条与水平面夹角均为θ，瓦片质量为m，檩条间距离为d，重力加速度为g，下列说法正确的是A.瓦片共受到4个力的作用B.檩条对瓦片作用力方向垂直檩条向上C.缓慢减小檩条的倾斜角度θ时，瓦片与檩条间的摩擦力变大D.缓慢增大檩条间的距离d时，两根檩条对瓦片的弹力都增大
瓦片受重力、两根檩条的支持力和摩擦力，共5个力，A错误；檩条对瓦片作用力应为支持力与摩擦力的合力，方向竖直向上，B错误；摩擦力等于mgsin θ，减小檩条的倾斜角度θ时，摩擦力减小，C错误；檩条对瓦片的两个弹力等大，合力等于mgcs θ，当增大檩条间的距离d时，两弹力与竖直方向的夹角增大，则两弹力增大，D正确。
8.(2023·江苏徐州市调研)如图所示，一晒衣架静置于水平地面上，水平横杆与四根相同的轻质斜杆垂直，两斜杆间的夹角为θ，当θ缓慢增大时，每根斜杆受到地面的A.支持力增大 B.支持力减小C.摩擦力增大 D.摩擦力减小
对衣架、横杆、衣服组成的整体受力分析。整体竖直方向所受重力与地面的支持力平衡。设整体重力为G，
即θ变化不影响支持力大小。
9.如图所示，竖直面内固定一光滑大圆环轨道，O为圆心，在大圆环轨道最高点A固定一个光滑的小滑轮，一轻绳绕过小滑轮，一端连接套在大圆环轨道上的小球，用力F拉轻绳另一端，在小球从B点缓慢上升到C点的过程中，有A.拉力F逐渐增大B.拉力F先减小后增大C.小球对大圆环轨道的压力大小保持不变D.小球对大圆环轨道的压力先增大后减小
对小球进行受力分析如图所示，
在小球从B点缓慢上升到C点的过程中，重力大小、方向均不变，AB变小，OA、OB不变，则拉力F逐渐减小，大圆环轨道对小球的支持力FN大小不变，由牛顿第三定律知小球对大圆环轨道的压力大小保持不变，故选C。
10.(2024·江苏省淮阴中学、姜堰中学等三校联考)如图所示，一不可伸长的细线套在两光滑且大小不计的定滑轮上，穿过质量为m的圆环，现施加一作用力F使圆环保持静止，AC段竖直，BC段水平，AC长度等于BC长度，且细线始终有张力作用，重力加速度为g，则力F的最小值为
滑轮两侧绳上的力相等，且AC段竖直，BC段水平，AC长度等于BC长度，设绳上两个力的合力为T，可知θ＝45°，如图
11.(2024·江苏省泰州中学开学考)如图所示，斜面静止于水平地面。将一可视为质点的质量为m的小球用轻质柔软的细线悬挂于斜面顶端的O点，在外力F、细线拉力FT和重力mg的作用下处于平衡状态。细线与竖直方向的夹角为θ，与F的夹角为α，开始时F水平。保持α角不变，逐渐缓慢增大θ角，直至悬线水平，已知该过程中，斜面一直保持静止，则下列说法正确的是A.外力F先增大后减小B.细线拉力FT逐渐增大C.地面对斜面的摩擦力先增大后减小D.地面对斜面的支持力先减小后增大
专题强化：动态平衡和临界、极值问题
考点一 动态平衡问题
考点二 平衡中的临界、极值问题
动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。1.“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题(1)一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。
(2)一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。
例1 (2023·江苏徐州市三模)如图所示，装有足球的轻网兜系在钉子上，墙壁光滑。将网绳在钉子上多绕几圈后，则A.网绳上的拉力变小B.网绳上的拉力不变C.墙壁对足球的支持力变大D.墙壁对足球的支持力不变
2.“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等。基本矢量图，如图所示
例2 如图，在竖直平面内固定一光滑的半圆环，圆心为O、半径为R，OA为半圆环的竖直半径，AB为与OA在同一直线上的光滑固定杆，半圆环上套有一小球a，杆AB上套有另一小球b。两小球之间连接一轻弹簧，初始时小球a在距圆环A点右侧不远处的P点，小球b固定于杆AB上的Q点，两小球间距离为R。现用外力使小球b沿杆AB缓慢向上移动一段距离，但未到达A点。在移动过程中弹簧始终在弹性限度内且在一条直线上，两小球均可视为质点，则下列说法正确的是
A.初始时弹簧弹力大于半圆环对小球a的弹力B.初始时弹簧弹力大于小球a的重力C.小球b沿杆缓慢向上移动过程中，环对小球 a的支持力先增大后减小D.小球b沿杆缓慢向上移动过程中，弹簧弹力 增大
3.一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。
例3 如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞ )。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中A.MN上的张力逐渐减小B.MN上的张力先增大后减小C.OM上的张力逐渐增大D.OM上的张力先增大后减小
分析动态平衡问题的流程
平衡中的临界、极值问题
1.临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类：(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。
2.极值问题平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。3.解题方法(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
例4 如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为
例5 如图所示，质量m＝5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0 m/s的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g＝10 m/s2。求所需拉力F的最小值。
在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F′代替支持力与摩擦力，Fmin＝mgsin θ，其中FN与Ff的合力F′方向一定，“摩擦角”θ满足tan θ＝
1.(2023·江苏省昆山中学模拟)如图所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻环，系在两环上的等长细绳拴住的书本处于静止状态。若用两段更长的等长细绳重新将书拴住，两环位置不变。环与书本仍处于静止状态，则横杆对A环的作用力与原来相比A.大小不变、方向不变 B.大小减小、方向改变C.大小减小、方向不变 D.大小增大、方向改变
2.(2023·江苏南京市模拟)如图甲所示，笔记本电脑支架一般有多个卡位用来调节角度，某人将电脑放在该支架上，由卡位4缓慢调至卡位1(如图乙)，电脑与支架始终处于相对静止状态，则A.电脑受到的支持力变大B.电脑受到的摩擦力变大C.支架对电脑的作用力减小D.电脑受到的支持力与摩擦 力两力大小之和等于其重力大小
3.抖空竹是我国传统文化中一株灿烂的花朵，既极具观赏性，又可健身。如图甲所示，若抖空竹者保持一只手不动，另一只手沿图乙中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和绳子间的摩擦力，且认为细线不可伸长。下列说法正确的是A.沿虚线a向左移动时，细线的拉力 将增大B.沿虚线b向上移动时，细线的拉力将减小C.沿虚线c斜向上移动时，细线的拉力将增大D.沿虚线d向右移动时，细线的拉力将减小
4.(2024·江苏南通市期中)如图所示，某健身者右手拉着抓把沿水平方向从图示位置B缓慢移动到位置A，不计绳子质量，忽略绳子和重物与所有构件间的摩擦，A、B、重物共面，则重物上升过程中A.绳子的拉力逐渐增大B.该健身者所受合力逐渐减小C.该健身者对地面的压力逐渐减小D.该健身者对地面的摩擦力逐渐增大
5.在水平外力F的作用下，A、B两个圆柱体按如图所示的方式分别放在水平地面、靠在竖直墙面，将A缓慢向右移动一小段距离(B未与地面接触)，不计一切摩擦，则在此过程中，关于水平地面对A的弹力FN1、竖直墙面对B的弹力FN2，下列说法正确的是A.FN1不变，FN2变大 B.FN1变小，FN2变大C.FN1变大，FN2变小 D.FN1不变，FN2变小
6.如图所示，物体甲放置在水平地面上，通过跨过光滑定滑轮的轻绳与小球乙相连，整个系统处于静止状态。现对小球乙施加一个水平力F，使小球乙缓慢上升一小段距离，整个过程中物体甲保持静止，甲受到地面的摩擦力为Ff，则该过程中A.Ff变小，F变大 B.Ff变小，F变小C.Ff变大，F变小 D.Ff变大，F变大
7.如图甲所示，用瓦片做屋顶是我国建筑的特色之一。铺设瓦片时，屋顶结构可简化为图乙所示，建筑工人将瓦片轻放在两根相互平行的檩条正中间，若瓦片能始终静止在檩条上。已知檩条与水平面夹角均为θ，瓦片质量为m，檩条间距离为d，重力加速度为g，下列说法正确的是A.瓦片共受到4个力的作用B.檩条对瓦片作用力方向垂直檩条向上C.缓慢减小檩条的倾斜角度θ时，瓦片与檩条间的摩擦力变大D.缓慢增大檩条间的距离d时，两根檩条对瓦片的弹力都增大
瓦片受重力、两根檩条的支持力和摩擦力，共5个力，A错误；檩条对瓦片作用力应为支持力与摩擦力的合力，方向竖直向上，B错误；摩擦力等于mgsin θ，减小檩条的倾斜角度θ时，摩擦力减小，C错误；檩条对瓦片的两个弹力等大，合力等于mgcs θ，当增大檩条间的距离d时，两弹力与竖直方向的夹角增大，则两弹力增大，D正确。
8.(2023·江苏徐州市调研)如图所示，一晒衣架静置于水平地面上，水平横杆与四根相同的轻质斜杆垂直，两斜杆间的夹角为θ，当θ缓慢增大时，每根斜杆受到地面的A.支持力增大 B.支持力减小C.摩擦力增大 D.摩擦力减小
对衣架、横杆、衣服组成的整体受力分析。整体竖直方向所受重力与地面的支持力平衡。设整体重力为G，
即θ变化不影响支持力大小。
9.如图所示，竖直面内固定一光滑大圆环轨道，O为圆心，在大圆环轨道最高点A固定一个光滑的小滑轮，一轻绳绕过小滑轮，一端连接套在大圆环轨道上的小球，用力F拉轻绳另一端，在小球从B点缓慢上升到C点的过程中，有A.拉力F逐渐增大B.拉力F先减小后增大C.小球对大圆环轨道的压力大小保持不变D.小球对大圆环轨道的压力先增大后减小
对小球进行受力分析如图所示，
在小球从B点缓慢上升到C点的过程中，重力大小、方向均不变，AB变小，OA、OB不变，则拉力F逐渐减小，大圆环轨道对小球的支持力FN大小不变，由牛顿第三定律知小球对大圆环轨道的压力大小保持不变，故选C。
10.(2024·江苏省淮阴中学、姜堰中学等三校联考)如图所示，一不可伸长的细线套在两光滑且大小不计的定滑轮上，穿过质量为m的圆环，现施加一作用力F使圆环保持静止，AC段竖直，BC段水平，AC长度等于BC长度，且细线始终有张力作用，重力加速度为g，则力F的最小值为
滑轮两侧绳上的力相等，且AC段竖直，BC段水平，AC长度等于BC长度，设绳上两个力的合力为T，可知θ＝45°，如图
11.(2024·江苏省泰州中学开学考)如图所示，斜面静止于水平地面。将一可视为质点的质量为m的小球用轻质柔软的细线悬挂于斜面顶端的O点，在外力F、细线拉力FT和重力mg的作用下处于平衡状态。细线与竖直方向的夹角为θ，与F的夹角为α，开始时F水平。保持α角不变，逐渐缓慢增大θ角，直至悬线水平，已知该过程中，斜面一直保持静止，则下列说法正确的是A.外力F先增大后减小B.细线拉力FT逐渐增大C.地面对斜面的摩擦力先增大后减小D.地面对斜面的支持力先减小后增大
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