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2021届高考物理人教版一轮创新教学案：第8讲 物体的动态平衡与临界极值问题
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第8讲 物体的动态平衡与临界极值问题
能力命题点一 动态平衡问题
共点力的动态平衡问题是高考的重点、热点，主要考查动态平衡条件的应用，可以单独命题，也可与其他相关知识综合考查。物体从一个受力平衡状态到另一个平衡状态，一般题目中会出现“缓缓”“缓慢”“慢慢”等关键词，体现了“动”中有“静”，“静”中有“动”的思想。
(多选)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A的圆半径为球B的半径的3倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态。设墙壁对B的压力为F1，A对B的支持力为F2，则若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则F1、F2的变化情况分别是( )
A．F1减小 B．F1增大
C．F2增大 D．F2减小
解析 解法一：解析法
以球B为研究对象，受力分析如图甲所示，根据合成法，可得出F1＝Gtanθ，F2＝，当A向右移动少许后，θ减小，则F1减小，F2减小，A、D正确。
解法二：图解法
先根据平衡条件和平行四边形定则画出如图乙所示的矢量三角形，在θ角减小的过程中，从图中可直观地看出，F1、F2都会减小，A、D正确。
答案 AD
解决动态平衡问题常见的方法
(1)解析法
对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的一般函数表达式，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
(2)图解法
此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另外一个力方向不变的问题。一般按照以下流程解题。
(3)相似三角形法
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
(4)正弦定理法
三个力平衡时可以将三个力的图示组成一个闭合的三角形，如果知道一个恒力，以及其他力的对角的变化情况，可以根据正弦定理判断其他力的大小变化情况。
1.如图所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设球对墙面的压力大小为FN1，球对木板的压力大小为FN2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中( )
A．FN1始终减小，FN2始终增大
B．FN1始终减小，FN2始终减小
C．FN1先增大后减小，FN2始终减小
D．FN1先增大后减小，FN2先减小后增大
答案 B
解析 解法一：解析法
如图甲所示，因为FN1＝FN1′＝，FN2＝FN2′＝，随θ逐渐增大到90°，tanθ、sinθ都增大，FN1、FN2都逐渐减小，B正确。
解法二：图解法
如图乙所示，把mg按它的两个效果进行分解。在木板缓慢转动时，FN1的方向不变，mg、FN1、FN2构成一个闭合的矢量三角形，重力大小恒定，FN2始终垂直于木板，随木板的转动而转动，由图可知，在木板转动时，FN2变小，FN1也变小，B正确。
2.(2019·云南省大姚一中第二次模拟)(多选)如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆，A端用铰链固定，滑轮在A点正上方(滑轮大小及摩擦均可不计)，B端吊一重物。现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉，在AB杆达到竖直前( )
A．绳子拉力不变 B．绳子拉力减小
C．AB杆受力增大 D．AB杆受力不变
答案 BD
解析 以B点为研究对象，分析受力情况：重物的拉力FT1(等于重物的重力G)、轻杆的支持力FN和绳子的拉力FT2，作出受力图如图所示，由平衡条件得，FN和FT2的合力与FT1大小相等、方向相反，根据力的矢量三角形和△AOB相似可得：＝＝，又F＝FT2，解得：FN＝·G，F＝·G，∠BAO缓慢减小的过程中，AB、AO保持不变，BO减小，则FN保持不变，F减小，故B、D正确。
3．(2017·全国卷Ⅰ)(多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为αα>。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中( )
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
答案 AD
解析 设重物的质量为m，绳OM中的张力为TOM，绳MN中的张力为TMN。开始时，TOM＝mg，TMN＝0。由于缓慢拉起，则重物一直处于平衡状态，两绳张力的合力与重物的重力mg等大、反向。如图所示，已知角α不变，在绳MN缓慢拉起的过程中，角β逐渐增大，则角(α－β)逐渐减小，但角θ不变，在三角形中，利用正弦定理得：＝，(α－β)由钝角变为锐角，则TOM先增大后减小，选项D正确；同理知＝，在β由0变为的过程中，TMN一直增大，选项A正确。
能力命题点二 物体受力平衡中的临界与极值问题
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般是指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3．解题思路
解决共点力平衡中的临界、极值问题的“四字诀”
如图所示，质量为m的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑，对物体施加一大小为F的水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角α0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数；
(2)这一临界角α0的大小。
解析 (1)物体恰沿斜面匀速下滑时，由平衡条件有
FN1＝mgcos30°
mgsin30°＝μFN1
解得μ＝tan30°＝。
(2)设斜面倾角为α，当物体在力F作用下处于静止状态时，对物体受力分析如图所示，
由平衡条件有
Fcosα＝mgsinα＋Ff
FN2＝mgcosα＋Fsinα
静摩擦力Ff≤μFN2
解得F(cosα－μsinα)≤mgsinα＋μmgcosα
要使“不论水平恒力F多大”，上式都成立
则有cosα－μsinα≤0，所以tanα≥＝＝tan60°
即α0＝60°。
答案 (1) (2)60°
解决极值问题和临界问题的方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。
(2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
(3)物理分析法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则或三角形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
1．如图所示，在固定斜面上的一物块受到一外力F的作用，F平行于斜面向上。若要物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定范围，已知其最大值和最小值分别为F1和F2(F2>0)。由此可求出( )
A．物块的质量
B．斜面的倾角
C．物块与斜面间的最大静摩擦力
D．物块对斜面的正压力
答案 C
解析 物块在斜面上处于静止状态，对物块进行受力分析，当F＝F1时物块即将向上滑动，由平衡条件可得F1＝mgsinθ＋Ff；当F＝F2时物块即将向下滑动，由平衡条件可得F2＝mgsinθ－Ff；由两式解得Ff＝，故能求出物块与斜面间的最大静摩擦力，但不能求出物块的质量、斜面的倾角和物块对斜面的正压力，故C正确。
2．如图所示，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，用光滑挡板AO将球挡住，使球处于静止状态，若挡板与斜面间的夹角为β，则( )
A．当β＝30°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mgsinα
B．当β＝60°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mgcosα
C．当β＝60°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mgsinα
D．当β＝90°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mgsinα
答案 D
解析 以球为研究对象，球所受重力产生的效果有两个：对斜面产生压力FN1、对挡板产生压力FN2，根据重力产生的效果将重力分解，如图所示。当挡板与斜面的夹角β由图示位置变化时，FN1大小改变但方向不变，始终与斜面垂直，FN2的大小和方向均改变，由图可看出当挡板AO与斜面垂直，即β＝90°时，挡板AO所受压力最小，最小压力FN2min＝mgsinα，D正确。
课时作业
1.(多选)如图所示，一条细线一端与地板上的物体B相连，另一端绕过质量不计的定滑轮与小球A相连，定滑轮用另一条细线悬挂在天花板上的O′点，细线与竖直方向所成角度为α，开始时系统静止，则( )
A．如果将物体B在地板上向右移动一点，α角将增大
B．无论物体B在地板上左移还是右移，只要距离足够小，α角将不变
C．增大小球A的质量，α角一定减小
D．悬挂定滑轮的细线的弹力不可能等于小球A的重力
答案 AD
解析 对小球A进行受力分析，受重力和拉力，根据平衡条件，有T＝mg，如果将物体B在地板上向右移动稍许，则∠AOB增大，对滑轮分析，受三个拉力，受力分析如图所示，∠AOB＝2α，故α角将增大，A正确，B错误；增大小球A的质量，物体B可能仍保持不动，系统平衡，拉力的方向不变，故α角可能不变，C错误；由于∠AOB＝2α<90°，悬挂定滑轮的细线的弹力F与两个拉力T的合力平衡，F＝2Tcosα，而T＝mg,2α<90°，则F>2mgcos45°＝mg，故悬挂定滑轮的细线的弹力不可能等于小球A的重力，D正确。
2.(多选)如图，半圆柱体Q放在水平地面上，表面光滑的圆柱体P放在Q和墙壁之间，Q的轴线与墙壁之间的距离为L，如果L增大，但P、Q仍处于静止状态，则( )
A．墙壁对P的支持力增大
B．墙壁对P的支持力减小
C．Q受到地面的摩擦力减小
D．Q受到地面的摩擦力增大
答案 AD
解析 对P受力分析如图所示，由几何知识可得墙壁对P的支持力N1＝mPgtanα，当L增大时，α增大，tanα也增大，所以N1增大，A正确，B错误；将P、Q作为整体，整体受力平衡，所以Q受到的静摩擦力大小等于N1，N1增大，则Q受到地面的摩擦力增大，C错误，D正确。
3.如图所示，两个小球a、b的质量均为m，用细线相连并悬挂于O点。现用一轻质弹簧给小球a施加一个拉力F，使整个装置处于静止状态，且Oa与竖直方向夹角为30°，已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，则弹簧的最短伸长量为( )
A. B．
C． D．
答案 B
解析 以两个小球组成的整体为研究对象，分析受力如图。根据平衡条件得知：F与细线拉力FT的合力与重力总是大小相等、方向相反，由力的合成图可知，当F与细线Oa垂直时，F有最小值，即图中2位置，F的最小值为2mgsin30°＝mg，则弹簧的最短伸长量为x＝，故B正确。
4．有甲、乙两根完全相同的轻绳，甲绳A、B两端按图甲的方式固定，然后将一挂有质量为M的重物的光滑轻质动滑轮挂于甲轻绳上，当滑轮静止后，设甲绳子的张力大小为FT1；乙绳D、E两端按图乙的方式固定，然后将同样的定滑轮且挂有质量为M的重物挂于乙轻绳上，当滑轮静止后，设乙绳子的张力大小为FT2。现将甲绳的B端缓慢向下移动至C点，乙绳的E端缓慢向右移动至F点，在两绳的移动过程中，下列说法正确的是( )
A．FT1、FT2都变大 B．FT1变大、FT2变小
C．FT1、FT2都不变 D．FT1不变、FT2变大
答案 D
解析 设绳子总长为L，两堵竖直墙之间的距离为s，左侧绳长为L1，右侧绳长为L2。由于同一根绳子上的拉力处处相等，所以两绳与竖直方向的夹角相等，设为θ，则由几何知识，得：s＝L1sinθ＋L2sinθ＝(L1＋L2)sinθ，又L1＋L2＝L，得sinθ＝；设绳子上的拉力大小为FT，重物的重力为G。以滑轮和重物整体为研究对象，根据平衡条件得2FTcosθ＝G，解得：FT＝；可见，对题图甲，在绳子右端缓慢向下移时，s、L没有变化，则θ不变，绳子拉力FT1不变；对题图乙，在绳子的右端从E向F缓慢移动的过程中，由于绳子的长度不变，所以两个绳子之间的夹角2θ增大，cosθ减小，则绳子上的拉力FT2增大，故A、B、C错误，D正确。
5.如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔，质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中手对线的拉力F和圆环对小球的弹力N的大小变化情况是( )
A．F不变，N增大 B．F不变，N减小
C．F增大，N减小 D．F减小，N不变
答案 D
解析 小球沿圆环缓慢上移可看做小球一直处于平衡状态，对小球进行受力分析，小球受重力G、F、N三个力，作出受力分析图如图，由图知△OAB与△GFA相似，则＝＝，当A点上移时，半径不变，AB长度减小，则F减小，N不变。故D正确，A、B、C错误。
6.如图所示，在倾角为θ的粗糙斜面上，有一个质量为m的物体被水平力F推着静止于斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ＞tanθ，求：
(1)力F多大时，物体不受摩擦力；
(2)为使物体静止在斜面上，力F的取值范围。
答案 (1)mgtanθ
(2)≤F≤
解析 (1)物体不受摩擦力时受力如图1所示，
由平衡条件得：Fcosθ＝mgsinθ，
解得：F＝mgtanθ。
(2)当物体恰不沿斜面向下滑动时，F最小，物体受力如图2所示，
由平衡条件得：
沿斜面方向：Fmincosθ＋f1＝mgsinθ
垂直斜面方向：Fminsinθ＋mgcosθ＝N1
又f1＝μN1。
解得：Fmin＝，
当物体恰不沿斜面向上滑动时，F最大，物体受力如图3所示，
由平衡条件得：
沿斜面方向：Fmaxcosθ＝f1＋mgsinθ
垂直斜面方向：Fmaxsinθ＋mgcosθ＝N2
又f2＝μN2
解得：Fmax＝
为使物体静止在斜面上，力F的取值范围是：
≤F≤。
7．(2016·全国卷Ⅱ)质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示。用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中( )
A．F逐渐变大，T逐渐变大
B．F逐渐变大，T逐渐变小
C．F逐渐变小，T逐渐变大
D．F逐渐变小，T逐渐变小
答案 A
解析 以O点为研究对象，设绳OA与竖直方向的夹角为θ，物体的重力为G，根据力的平衡可知，F＝Gtanθ，T＝，随着O点向左移，θ变大，则F逐渐变大，T逐渐变大，A项正确。
8.(2016·全国卷Ⅰ)(多选)如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态。若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则( )
A．绳OO′的张力也在一定范围内变化
B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
答案 BD
解析 系统处于静止状态，连接a和b的绳的张力大小T1等于物块a的重力Ga，C项错误；以O′点为研究对象，受力分析如图甲所示，T1恒定，夹角θ不变，由平衡条件知，绳OO′的张力T2恒定不变，A项错误；以b为研究对象，受力分析如图乙所示，则
FN＋T1cosθ＋Fsinα－Gb＝0
f＋T1sinθ－Fcosα＝0
FN、f均随F的变化而变化，故B、D两项正确。
9．(2019·全国卷Ⅱ)物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动，轻绳与斜面平行。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为，重力加速度取10 m/s2。若轻绳能承受的最大张力为1500 N，则物块的质量最大为( )
A．150 kg B．100 kg
C．200 kg D．200 kg
答案 A
解析 物块沿斜面向上匀速运动，受力如图，根据平衡条件有
F＝Ff＋mgsinθ①
Ff＝μFN②
FN＝mgcosθ③
由①②③式得
F＝mgsinθ＋μmgcosθ
所以m＝
故当Fmax＝1500 N时，有mmax＝150 kg，A正确。
10．(2019·全国卷Ⅰ)(多选)如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°。已知M始终保持静止，则在此过程中( )
A．水平拉力的大小可能保持不变
B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
答案 BD
解析 选N为研究对象，受力情况如图甲所示，用水平拉力F缓慢拉动N的过程中，水平拉力F逐渐增大，细绳的拉力T逐渐增大，A错误，B正确。对于M，受重力GM、支持力FN、绳的拉力T以及斜面对它的摩擦力f；如图乙所示，若开始时斜面对M的摩擦力f沿斜面向上，则T＋f＝GMsinθ，T逐渐增大，f逐渐减小，可能会出现f减小到零后，再反向增大；若开始时斜面对M的摩擦力沿斜面向下，则T＝GMsinθ＋f，当T逐渐增大时，f逐渐增大，C错误，D正确。
11．(2017·天津高考)(多选)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是( )
A．绳的右端上移到b′，绳子拉力不变
B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
答案 AB
解析 设绳长为l，两杆间距离为d，选O点为研究对象，因aOb为同一根绳，故aO、bO对O点的拉力大小相等，因此平衡时aO、bO与水平方向的夹角相等，设为θ。对于O点受力情况如图所示，根据平衡条件，得2Tsinθ＝mg，而sinθ＝，所以T＝·。由以上各式可知，当l、d不变时，θ不变，故换挂质量更大的衣服时，悬挂点不变，选项D错误。若衣服质量不变，改变b的位置或绳两端的高度差，绳子拉力不变，选项A正确，选项C错误。当N杆向右移一些时，d变大，则T变大，选项B正确。
12.(2020·辽宁省大连市高三上学期模拟)(多选)如图所示，处于竖直平面内的正六边形ABCDEF，可绕过C点且与平面垂直的水平轴自由转动，该金属框架的边长为L，中心记为O，用两根不可伸长、长度均为L的轻质细线将质量为m的金属小球悬挂于A、E两个顶点并处于静止状态。现顺时针缓慢转动框架，转过90°角，重力加速度为g，在整个转动过程中，下列说法中正确的是( )
A．细线OA中拉力的最大值为mg
B．细线OE中拉力的最大值为mg
C．细线OA中拉力逐渐增大
D．细线OE中拉力逐渐减小
答案 BD
解析 对小球进行受力分析，如图所示，mg的对角始终为120°，设FTA的对角为α，FTE的对角为β，缓慢转动过程中，小球始终受力平衡，由正弦定理得＝＝，α角由150°减小到60°，FTA先增大后减小，当α＝90°时，FTA最大，最大值为，故A、C错误；β角由90°增加到180°，FTE一直减小到0，当β＝90°时，FTE最大，最大值为，故B、D正确。
13.(2020·武汉市部分学校高三质量监测)筷子是我国常用的饮食工具，也是中华饮食文化的标志之一。如图所示，用筷子夹质量为m的小球。筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为θ，为使小球静止，求每根筷子对小球的压力N的取值范围。已知小球与筷子之间的动摩擦因数为μ(μ
答案 ≤N≤
解析 筷子对小球的压力恰好最小时，小球有下滑的趋势且刚好不下滑，最大静摩擦力沿筷子向上，如图a所示。
小球受力平衡，根据平衡条件有
2Nminsinθ＋2fmaxcosθ＝mg
fmax＝μNmin
联立解得Nmin＝
筷子对小球的压力恰好最大时，小球有上滑的趋势且刚好不上滑，最大静摩擦力沿筷子向下，如图b所示。
小球受力平衡，根据平衡条件有
2Nmaxsinθ＝mg＋2fmax′cosθ
fmax′＝μNmax
联立解得Nmax＝
综上所述，筷子对小球的压力的取值范围为
≤N≤。
第8讲 物体的动态平衡与临界极值问题
能力命题点一 动态平衡问题
共点力的动态平衡问题是高考的重点、热点，主要考查动态平衡条件的应用，可以单独命题，也可与其他相关知识综合考查。物体从一个受力平衡状态到另一个平衡状态，一般题目中会出现“缓缓”“缓慢”“慢慢”等关键词，体现了“动”中有“静”，“静”中有“动”的思想。
(多选)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A的圆半径为球B的半径的3倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态。设墙壁对B的压力为F1，A对B的支持力为F2，则若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则F1、F2的变化情况分别是( )
A．F1减小 B．F1增大
C．F2增大 D．F2减小
解析 解法一：解析法
以球B为研究对象，受力分析如图甲所示，根据合成法，可得出F1＝Gtanθ，F2＝，当A向右移动少许后，θ减小，则F1减小，F2减小，A、D正确。
解法二：图解法
先根据平衡条件和平行四边形定则画出如图乙所示的矢量三角形，在θ角减小的过程中，从图中可直观地看出，F1、F2都会减小，A、D正确。
答案 AD
解决动态平衡问题常见的方法
(1)解析法
对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的一般函数表达式，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
(2)图解法
此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另外一个力方向不变的问题。一般按照以下流程解题。
(3)相似三角形法
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
(4)正弦定理法
三个力平衡时可以将三个力的图示组成一个闭合的三角形，如果知道一个恒力，以及其他力的对角的变化情况，可以根据正弦定理判断其他力的大小变化情况。
1.如图所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设球对墙面的压力大小为FN1，球对木板的压力大小为FN2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中( )
A．FN1始终减小，FN2始终增大
B．FN1始终减小，FN2始终减小
C．FN1先增大后减小，FN2始终减小
D．FN1先增大后减小，FN2先减小后增大
答案 B
解析 解法一：解析法
如图甲所示，因为FN1＝FN1′＝，FN2＝FN2′＝，随θ逐渐增大到90°，tanθ、sinθ都增大，FN1、FN2都逐渐减小，B正确。
解法二：图解法
如图乙所示，把mg按它的两个效果进行分解。在木板缓慢转动时，FN1的方向不变，mg、FN1、FN2构成一个闭合的矢量三角形，重力大小恒定，FN2始终垂直于木板，随木板的转动而转动，由图可知，在木板转动时，FN2变小，FN1也变小，B正确。
2.(2019·云南省大姚一中第二次模拟)(多选)如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆，A端用铰链固定，滑轮在A点正上方(滑轮大小及摩擦均可不计)，B端吊一重物。现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉，在AB杆达到竖直前( )
A．绳子拉力不变 B．绳子拉力减小
C．AB杆受力增大 D．AB杆受力不变
答案 BD
解析 以B点为研究对象，分析受力情况：重物的拉力FT1(等于重物的重力G)、轻杆的支持力FN和绳子的拉力FT2，作出受力图如图所示，由平衡条件得，FN和FT2的合力与FT1大小相等、方向相反，根据力的矢量三角形和△AOB相似可得：＝＝，又F＝FT2，解得：FN＝·G，F＝·G，∠BAO缓慢减小的过程中，AB、AO保持不变，BO减小，则FN保持不变，F减小，故B、D正确。
3．(2017·全国卷Ⅰ)(多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为αα>。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中( )
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
答案 AD
解析 设重物的质量为m，绳OM中的张力为TOM，绳MN中的张力为TMN。开始时，TOM＝mg，TMN＝0。由于缓慢拉起，则重物一直处于平衡状态，两绳张力的合力与重物的重力mg等大、反向。如图所示，已知角α不变，在绳MN缓慢拉起的过程中，角β逐渐增大，则角(α－β)逐渐减小，但角θ不变，在三角形中，利用正弦定理得：＝，(α－β)由钝角变为锐角，则TOM先增大后减小，选项D正确；同理知＝，在β由0变为的过程中，TMN一直增大，选项A正确。
能力命题点二 物体受力平衡中的临界与极值问题
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般是指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3．解题思路
解决共点力平衡中的临界、极值问题的“四字诀”
如图所示，质量为m的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑，对物体施加一大小为F的水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角α0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数；
(2)这一临界角α0的大小。
解析 (1)物体恰沿斜面匀速下滑时，由平衡条件有
FN1＝mgcos30°
mgsin30°＝μFN1
解得μ＝tan30°＝。
(2)设斜面倾角为α，当物体在力F作用下处于静止状态时，对物体受力分析如图所示，
由平衡条件有
Fcosα＝mgsinα＋Ff
FN2＝mgcosα＋Fsinα
静摩擦力Ff≤μFN2
解得F(cosα－μsinα)≤mgsinα＋μmgcosα
要使“不论水平恒力F多大”，上式都成立
则有cosα－μsinα≤0，所以tanα≥＝＝tan60°
即α0＝60°。
答案 (1) (2)60°
解决极值问题和临界问题的方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。
(2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
(3)物理分析法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则或三角形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
1．如图所示，在固定斜面上的一物块受到一外力F的作用，F平行于斜面向上。若要物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定范围，已知其最大值和最小值分别为F1和F2(F2>0)。由此可求出( )
A．物块的质量
B．斜面的倾角
C．物块与斜面间的最大静摩擦力
D．物块对斜面的正压力
答案 C
解析 物块在斜面上处于静止状态，对物块进行受力分析，当F＝F1时物块即将向上滑动，由平衡条件可得F1＝mgsinθ＋Ff；当F＝F2时物块即将向下滑动，由平衡条件可得F2＝mgsinθ－Ff；由两式解得Ff＝，故能求出物块与斜面间的最大静摩擦力，但不能求出物块的质量、斜面的倾角和物块对斜面的正压力，故C正确。
2．如图所示，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，用光滑挡板AO将球挡住，使球处于静止状态，若挡板与斜面间的夹角为β，则( )
A．当β＝30°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mgsinα
B．当β＝60°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mgcosα
C．当β＝60°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mgsinα
D．当β＝90°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mgsinα
答案 D
解析 以球为研究对象，球所受重力产生的效果有两个：对斜面产生压力FN1、对挡板产生压力FN2，根据重力产生的效果将重力分解，如图所示。当挡板与斜面的夹角β由图示位置变化时，FN1大小改变但方向不变，始终与斜面垂直，FN2的大小和方向均改变，由图可看出当挡板AO与斜面垂直，即β＝90°时，挡板AO所受压力最小，最小压力FN2min＝mgsinα，D正确。
课时作业
1.(多选)如图所示，一条细线一端与地板上的物体B相连，另一端绕过质量不计的定滑轮与小球A相连，定滑轮用另一条细线悬挂在天花板上的O′点，细线与竖直方向所成角度为α，开始时系统静止，则( )
A．如果将物体B在地板上向右移动一点，α角将增大
B．无论物体B在地板上左移还是右移，只要距离足够小，α角将不变
C．增大小球A的质量，α角一定减小
D．悬挂定滑轮的细线的弹力不可能等于小球A的重力
答案 AD
解析 对小球A进行受力分析，受重力和拉力，根据平衡条件，有T＝mg，如果将物体B在地板上向右移动稍许，则∠AOB增大，对滑轮分析，受三个拉力，受力分析如图所示，∠AOB＝2α，故α角将增大，A正确，B错误；增大小球A的质量，物体B可能仍保持不动，系统平衡，拉力的方向不变，故α角可能不变，C错误；由于∠AOB＝2α<90°，悬挂定滑轮的细线的弹力F与两个拉力T的合力平衡，F＝2Tcosα，而T＝mg,2α<90°，则F>2mgcos45°＝mg，故悬挂定滑轮的细线的弹力不可能等于小球A的重力，D正确。
2.(多选)如图，半圆柱体Q放在水平地面上，表面光滑的圆柱体P放在Q和墙壁之间，Q的轴线与墙壁之间的距离为L，如果L增大，但P、Q仍处于静止状态，则( )
A．墙壁对P的支持力增大
B．墙壁对P的支持力减小
C．Q受到地面的摩擦力减小
D．Q受到地面的摩擦力增大
答案 AD
解析 对P受力分析如图所示，由几何知识可得墙壁对P的支持力N1＝mPgtanα，当L增大时，α增大，tanα也增大，所以N1增大，A正确，B错误；将P、Q作为整体，整体受力平衡，所以Q受到的静摩擦力大小等于N1，N1增大，则Q受到地面的摩擦力增大，C错误，D正确。
3.如图所示，两个小球a、b的质量均为m，用细线相连并悬挂于O点。现用一轻质弹簧给小球a施加一个拉力F，使整个装置处于静止状态，且Oa与竖直方向夹角为30°，已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，则弹簧的最短伸长量为( )
A. B．
C． D．
答案 B
解析 以两个小球组成的整体为研究对象，分析受力如图。根据平衡条件得知：F与细线拉力FT的合力与重力总是大小相等、方向相反，由力的合成图可知，当F与细线Oa垂直时，F有最小值，即图中2位置，F的最小值为2mgsin30°＝mg，则弹簧的最短伸长量为x＝，故B正确。
4．有甲、乙两根完全相同的轻绳，甲绳A、B两端按图甲的方式固定，然后将一挂有质量为M的重物的光滑轻质动滑轮挂于甲轻绳上，当滑轮静止后，设甲绳子的张力大小为FT1；乙绳D、E两端按图乙的方式固定，然后将同样的定滑轮且挂有质量为M的重物挂于乙轻绳上，当滑轮静止后，设乙绳子的张力大小为FT2。现将甲绳的B端缓慢向下移动至C点，乙绳的E端缓慢向右移动至F点，在两绳的移动过程中，下列说法正确的是( )
A．FT1、FT2都变大 B．FT1变大、FT2变小
C．FT1、FT2都不变 D．FT1不变、FT2变大
答案 D
解析 设绳子总长为L，两堵竖直墙之间的距离为s，左侧绳长为L1，右侧绳长为L2。由于同一根绳子上的拉力处处相等，所以两绳与竖直方向的夹角相等，设为θ，则由几何知识，得：s＝L1sinθ＋L2sinθ＝(L1＋L2)sinθ，又L1＋L2＝L，得sinθ＝；设绳子上的拉力大小为FT，重物的重力为G。以滑轮和重物整体为研究对象，根据平衡条件得2FTcosθ＝G，解得：FT＝；可见，对题图甲，在绳子右端缓慢向下移时，s、L没有变化，则θ不变，绳子拉力FT1不变；对题图乙，在绳子的右端从E向F缓慢移动的过程中，由于绳子的长度不变，所以两个绳子之间的夹角2θ增大，cosθ减小，则绳子上的拉力FT2增大，故A、B、C错误，D正确。
5.如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔，质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中手对线的拉力F和圆环对小球的弹力N的大小变化情况是( )
A．F不变，N增大 B．F不变，N减小
C．F增大，N减小 D．F减小，N不变
答案 D
解析 小球沿圆环缓慢上移可看做小球一直处于平衡状态，对小球进行受力分析，小球受重力G、F、N三个力，作出受力分析图如图，由图知△OAB与△GFA相似，则＝＝，当A点上移时，半径不变，AB长度减小，则F减小，N不变。故D正确，A、B、C错误。
6.如图所示，在倾角为θ的粗糙斜面上，有一个质量为m的物体被水平力F推着静止于斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ＞tanθ，求：
(1)力F多大时，物体不受摩擦力；
(2)为使物体静止在斜面上，力F的取值范围。
答案 (1)mgtanθ
(2)≤F≤
解析 (1)物体不受摩擦力时受力如图1所示，
由平衡条件得：Fcosθ＝mgsinθ，
解得：F＝mgtanθ。
(2)当物体恰不沿斜面向下滑动时，F最小，物体受力如图2所示，
由平衡条件得：
沿斜面方向：Fmincosθ＋f1＝mgsinθ
垂直斜面方向：Fminsinθ＋mgcosθ＝N1
又f1＝μN1。
解得：Fmin＝，
当物体恰不沿斜面向上滑动时，F最大，物体受力如图3所示，
由平衡条件得：
沿斜面方向：Fmaxcosθ＝f1＋mgsinθ
垂直斜面方向：Fmaxsinθ＋mgcosθ＝N2
又f2＝μN2
解得：Fmax＝
为使物体静止在斜面上，力F的取值范围是：
≤F≤。
7．(2016·全国卷Ⅱ)质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示。用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中( )
A．F逐渐变大，T逐渐变大
B．F逐渐变大，T逐渐变小
C．F逐渐变小，T逐渐变大
D．F逐渐变小，T逐渐变小
答案 A
解析 以O点为研究对象，设绳OA与竖直方向的夹角为θ，物体的重力为G，根据力的平衡可知，F＝Gtanθ，T＝，随着O点向左移，θ变大，则F逐渐变大，T逐渐变大，A项正确。
8.(2016·全国卷Ⅰ)(多选)如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态。若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则( )
A．绳OO′的张力也在一定范围内变化
B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
答案 BD
解析 系统处于静止状态，连接a和b的绳的张力大小T1等于物块a的重力Ga，C项错误；以O′点为研究对象，受力分析如图甲所示，T1恒定，夹角θ不变，由平衡条件知，绳OO′的张力T2恒定不变，A项错误；以b为研究对象，受力分析如图乙所示，则
FN＋T1cosθ＋Fsinα－Gb＝0
f＋T1sinθ－Fcosα＝0
FN、f均随F的变化而变化，故B、D两项正确。
9．(2019·全国卷Ⅱ)物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动，轻绳与斜面平行。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为，重力加速度取10 m/s2。若轻绳能承受的最大张力为1500 N，则物块的质量最大为( )
A．150 kg B．100 kg
C．200 kg D．200 kg
答案 A
解析 物块沿斜面向上匀速运动，受力如图，根据平衡条件有
F＝Ff＋mgsinθ①
Ff＝μFN②
FN＝mgcosθ③
由①②③式得
F＝mgsinθ＋μmgcosθ
所以m＝
故当Fmax＝1500 N时，有mmax＝150 kg，A正确。
10．(2019·全国卷Ⅰ)(多选)如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°。已知M始终保持静止，则在此过程中( )
A．水平拉力的大小可能保持不变
B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
答案 BD
解析 选N为研究对象，受力情况如图甲所示，用水平拉力F缓慢拉动N的过程中，水平拉力F逐渐增大，细绳的拉力T逐渐增大，A错误，B正确。对于M，受重力GM、支持力FN、绳的拉力T以及斜面对它的摩擦力f；如图乙所示，若开始时斜面对M的摩擦力f沿斜面向上，则T＋f＝GMsinθ，T逐渐增大，f逐渐减小，可能会出现f减小到零后，再反向增大；若开始时斜面对M的摩擦力沿斜面向下，则T＝GMsinθ＋f，当T逐渐增大时，f逐渐增大，C错误，D正确。
11．(2017·天津高考)(多选)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是( )
A．绳的右端上移到b′，绳子拉力不变
B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
答案 AB
解析 设绳长为l，两杆间距离为d，选O点为研究对象，因aOb为同一根绳，故aO、bO对O点的拉力大小相等，因此平衡时aO、bO与水平方向的夹角相等，设为θ。对于O点受力情况如图所示，根据平衡条件，得2Tsinθ＝mg，而sinθ＝，所以T＝·。由以上各式可知，当l、d不变时，θ不变，故换挂质量更大的衣服时，悬挂点不变，选项D错误。若衣服质量不变，改变b的位置或绳两端的高度差，绳子拉力不变，选项A正确，选项C错误。当N杆向右移一些时，d变大，则T变大，选项B正确。
12.(2020·辽宁省大连市高三上学期模拟)(多选)如图所示，处于竖直平面内的正六边形ABCDEF，可绕过C点且与平面垂直的水平轴自由转动，该金属框架的边长为L，中心记为O，用两根不可伸长、长度均为L的轻质细线将质量为m的金属小球悬挂于A、E两个顶点并处于静止状态。现顺时针缓慢转动框架，转过90°角，重力加速度为g，在整个转动过程中，下列说法中正确的是( )
A．细线OA中拉力的最大值为mg
B．细线OE中拉力的最大值为mg
C．细线OA中拉力逐渐增大
D．细线OE中拉力逐渐减小
答案 BD
解析 对小球进行受力分析，如图所示，mg的对角始终为120°，设FTA的对角为α，FTE的对角为β，缓慢转动过程中，小球始终受力平衡，由正弦定理得＝＝，α角由150°减小到60°，FTA先增大后减小，当α＝90°时，FTA最大，最大值为，故A、C错误；β角由90°增加到180°，FTE一直减小到0，当β＝90°时，FTE最大，最大值为，故B、D正确。
13.(2020·武汉市部分学校高三质量监测)筷子是我国常用的饮食工具，也是中华饮食文化的标志之一。如图所示，用筷子夹质量为m的小球。筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为θ，为使小球静止，求每根筷子对小球的压力N的取值范围。已知小球与筷子之间的动摩擦因数为μ(μ
答案 ≤N≤
解析 筷子对小球的压力恰好最小时，小球有下滑的趋势且刚好不下滑，最大静摩擦力沿筷子向上，如图a所示。
小球受力平衡，根据平衡条件有
2Nminsinθ＋2fmaxcosθ＝mg
fmax＝μNmin
联立解得Nmin＝
筷子对小球的压力恰好最大时，小球有上滑的趋势且刚好不上滑，最大静摩擦力沿筷子向下，如图b所示。
小球受力平衡，根据平衡条件有
2Nmaxsinθ＝mg＋2fmax′cosθ
fmax′＝μNmax
联立解得Nmax＝
综上所述，筷子对小球的压力的取值范围为
≤N≤。
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