黑龙江省齐齐哈尔市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试卷+

黑龙江省齐齐哈尔市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合 ， ，则 （　　） 

A． B．

C． D．

2．一个半径为4的扇形，其弧长为1，则该扇形的圆心角的弧度数为（　　）

A． B． C． D．2

3．已知，且为第四象限角，则（　　）

A． B． C． D．

4．函数的图象大致是（　　）

A．B．

C．D．

5．2021年4月13日，日本政府不顾国内外的质疑和反对，单方面决定以排海的方式处置福岛核电站事故的核污水，这种极不负责任的做法将严重损害国际公共健康安全和周边国家人民的切身利益．福岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知3H的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为3H的初始质量）．则当3H的质量衰减为最初的时，所经过的时间为（　　）

（参考数据：，）

A．125年 B．175年 C．255年 D．1050年

6．在（0，）内，使成立的的取值范围为（　　）

A．（，） B．

C． D．

7．享有“数学王子称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一．被称为“高斯函数”，其中，表示不超过的最大整数，例如，，，设为函数的零点，则（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．已知定义在上的奇函数满足，当，时，，则（　　）

A．﹣2 B．2 C． D．

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．已知下列等式的左、右两边都有意义，则能够恒成立的是（　　）

A． B．

C． D．

10．下列命题正确的是（　　）

A．，是的充分不必要条件

B．是的充分条件

C．，

D．，

11．已知函数，则下列说法正确的是（　　）

A．的最小正周期为 B．为偶函数

C．的值域为 D．恒成立

12．已知，则下列不等关系一定正确的是（　　）

A． B．

C． D．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若函数是幂函数，且是偶函数，则m＝　     　.

14．已知角的终边经过点，则　     　．

15．函数，若恒成立，则实数的取值范围是　     　．

16．以下各式的值都等于同一个常数，请你观察，写出这个常数的值　     　；根据你的理解，写出一个符合这些式子规律的等式　                                           　．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．化简求值：

（1）；

（2）已知，求的值．

18．设全集，集合，非空集合，其中．

（1）当时，求．

（2）若“”是“”的__________条件，求的取值范围（请在“①充分；②必要”两个条件中选一个条件填入横线后作答）．

19．已知函数，．

（1）若，求的值；

（2）求的单调递增区间；

（3）当时，求的最大值和最小值．

20．在市场调研的基础上，某工厂今年1月、2月、3月份分别生产了A产品100件、120件、130件．为了估测该产品以后各月所需的生产量，甲、乙两人均以这三个月的生产量为依据进行了模拟试验．甲选择的数学模型是：，乙选择的数学模型是：，（其中为A产品的生产量，为月份数，，，，，，都是常数），现已知4月份和5月份实际需要生产A产品136件和138件．据此，你认为谁选择的模型更符合实际？（请写出选择的结果和理由）

21．设函数，．用表示，中的较大者，记为．已知关于的不等式的解集为．

（1）求实数，的值，并写出的解析式；

（2）若，使得成立，求实数的取值范围．

22．已知函数（，）的图象关于原点对称．

（1）求实数，的值；

（2）①判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；

②若关于的方程在区间上有两个不同的解，求实数的取值范围．

答案解析部分

1．【答案】D

【考点】并集及其运算

【解析】【解答】因为 ， ，所以 .

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，从而求出集合A，再利用并集的运算法则，从而求出集合A和集合B的并集。

2．【答案】C

【考点】扇形的弧长与面积

【解析】【解答】设该扇形的圆心角的弧度数为，因为扇形所在半径为4的扇形，其弧长为1，可得，解得。

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合弧长公式，进而求出该扇形的圆心角的弧度数。

3．【答案】A

【考点】同角三角函数间的基本关系

【解析】【解答】由题意，在第四象限，则。

故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关系式得出角的正切值。

4．【答案】D

【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法

【解析】【解答】由，可知为奇函数，

所以图象关于原点对称，排除A，B；

令，可知，可知图象与x轴只有一个交点，排除C .

故答案为：D．

【分析】利用已知条件结合奇函数的定义，从而判断出函数为奇函数，再利用奇函数图象的对称性，再结合当，可知，从而推出图象与x轴只有一个交点，再利用排除法找出函数的大致图象。

5．【答案】B

【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质；换底公式的应用

【解析】【解答】设所经过的时间为t年，根据题意，

所以。

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合指数与对数的互化公式，再结合换底公式和对数的运算法则，从而求出当3H的质量衰减为最初的时所经过的时间。

6．【答案】B

【考点】正切函数的图象

【解析】【解答】画出和直线的图象，

由图象可得,在上解集为。

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合正切函数的图像，从而求出在（0，）内，使成立的的取值范围。

7．【答案】A

【考点】函数单调性的性质；函数零点的判定定理

【解析】【解答】因为函数在上单调递增，且，则存在唯一零点，使得，由高斯函数的定义可知，。

故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合高斯函数的定义，再利用函数的单调性结合零点存在性定理，从而得出的值。

8．【答案】A

【考点】奇函数；函数的周期性；函数的值

【解析】【解答】依题意，函数的周期为3，

故，

又因为，

。

故答案为：A．

【分析】利用已知条件结合周期函数的定义，从而推出函数的周期，再利用函数的周期性和奇函数的定义，从而求出函数值。

9．【答案】B,C,D

【考点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值

【解析】【解答】对于A，，A不符合题意；

对于B，，B符合题意；

对于C，

，C符合题意；

对于D，

，D符合题意.

故答案为：BCD.

【分析】利用已知条件结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，从而找出恒成立的选项。

10．【答案】A,C,D

【考点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】【解答】对于A中，由，，可得，所以充分性成立，

反之：例如时，满足，但不成立，所以必要性不成立，

所以，是的充分不必要条件，所以A符合题意；

对于B中，当时，可得，所以充分性不成立，所以B不正确；

对于C中，令，

根据指数函数的性质，可得函数在上为单调递减函数，

所以，可得，所以，，所以C符合题意；

对于D中，当时，可得，此时，

所以命题“”为真命题.

故答案为：ACD.

【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，再结合全称命题和特称命题真假性判断方法，从而找出命题正确的选项。

11．【答案】A,B,D

【考点】函数的值域；函数奇偶性的判断；函数恒成立问题；三角函数的周期性及其求法

【解析】【解答】由题意，若，则，若，则，

函数图象如下：

由图可知，函数的最小正周期为且为偶函数，值域为，则A,B符合题意,C不符合题意；

对D，设，所以，因为函数在上单调递减，所以.D符合题意.

故答案为：ABD.

【分析】由题意结合分类讨论的方法和绝对值的定义，得出分段函数f(x)的解析式，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图像，再利用分段函数的图像结合周期函数的定义和偶函数图象的对称性，得出函数的最小正周期为且为偶函数，再利用分段函数的图像求出分段函数的值域；再利用换元法，设，所以，再利用余弦函数的图象判断出余弦函数在上的单调性，再结合余弦函数的单调性，从而得出 恒成立，进而找出说法正确的选项。
 

12．【答案】B,D

【考点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；不等式比较大小；不等式的基本性质

【解析】【解答】对A，取，则，A不符合题意；

对C，取，则，C不符合题意；

对B，由题意，，易知，所以，B符合题意；

对D，问题等价于，易知函数在上是增函数，而，则成立，D符合题意.

故答案为：BD.

【分析】利用已知条件结合赋值法结合对数的运算法则，从而得出选项A、C正确；再利用已知条件结合不等式的基本性质得出不等式成立；再利用已知条件结合对数的运算法则，将问题等价于，再利用增函数定义易知函数在上是增函数，而，再利用函数的单调性，则成立，从而找出不等关系一定正确的选项。

13．【答案】2

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用

【解析】【解答】因为函数是幂函数，所以，解得：或，

当时，函数是偶函数，成立，

当时，函数是奇函数，不成立。

故答案为：2。

【分析】利用已知条件结合幂函数的定义得出m的取值，再结合分类讨论的方法结合偶函数的定义，进而求出满足要求的m的值。

14．【答案】

【考点】任意角三角函数的定义

【解析】【解答】因为角的终边经过点，

所以，，

所以。

故答案为：。

【分析】利用已知条件结合三角函数的定义，从而求出角的正弦值和余弦值，进而求出的值。

15．【答案】

【考点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用；分段函数的应用

【解析】【解答】由题意，函数，

当时，，

当且仅当时，即，即时，等号成立，

因为，所以，

又由恒成立，所以，即；

当时，由恒成立，即恒成立，即恒成立，

因为，所以恒成立，即恒成立，即，

综上可得，实数的取值范围是。

故答案为：。

【分析】由题意，函数，再利用分类讨论的方法，当时结合均值不等式求最值的方法得出分段函数的最小值，再利用，所以，又由恒成立，从而结合不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数a的取值范围，当时，由恒成立，即恒成立，再利用，所以恒成立，即恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数的取值范围。

16．【答案】；

【考点】归纳推理；任意角三角函数的定义

【解析】【解答】

，所以；

根据题中四个等式，猜想，

下面证明猜想：

，

所以。

故答案为：；。

【分析】利用已知条件结合特殊角的三角函数值，从而求出a的值；根据题中四个等式，从而找出规律，进而猜想出，再利用二倍角的正弦公式和余弦公式以及两角和的余弦公式，从而证出猜想出的等式。

17．【答案】（1）解：原式

（2）解：原式

【考点】有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合指数幂的运算法则和对数的运算法则，从而化简求值。
（2）利用已知条件结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，从而求出 的值 。

18．【答案】（1）解：时，，所以，

因为，，所以，

．

（2）解：因为，所以，故

若选①，则，所以，解得．所以，选①时，．

若选②，则，所以，解得．所以，选②时，．

【考点】交、并、补集的混合运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】【分析】（1）利用a的值求出集合B，再利用一元二次不等式求解集的方法，从而求出集合A，再结合交集和补集的运算法则，从而求出集合 。
（2）利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而判断出 “”是“”的充分条件或必要条件，进而求出实数的取值范围。

19．【答案】（1）解：由题意：，即，

∴，，或，，

即，，或，．

（2）解：由题意，，，

∴，，

即的单调递增区间为，

（3）解：当时，设，则，

由三角函数的图象与性质可知：当，即时，，当，即时，.

【考点】函数的值；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法，从而求出 的值。
（2）利用正弦型函数的图像判断出正弦型函数的单调性，从而求出正弦型函数的单调递增区间。
（3)利用正弦型函数的图像判断出正弦型函数的单调性，从而求出正弦型函数在 时的最大值和最小值 。

20．【答案】解：甲选择模型时，

则，解得，故，

所以，当时，件；

当时，件．

乙选择模型时，

则，解得，故，

所以，当时，件；

当时，件．

因为4月份和5月份实际需要生产A产品136件和138件，而甲选择的模型4月份和5月份生产A产品分别为130件、120件；乙选择的模型4月份和5月份生产A产品分别为135件、137.5件．所以，乙选择的数学模型比较符合实际．

【考点】根据实际问题选择函数类型

【解析】【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合代入法，从而解方程组求出函数的模型，进而找出更符合实际的函数模型。

21．【答案】（1）解：∵的解集为，

∴方程的两根分别为和2，

由韦达定理可得：，解得，∴

令，解得或，作出的图象如下图所示：

则

（2）解：由（1）得，当时，有最小值，即，

∵，使得，∴只需即可，

∴，∴，得，故．

【考点】函数解析式的求解及常用方法；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义；对数函数的单调性与特殊点

【解析】【分析】（1）利用 的解集为结合一元二次不等式求解集的方法，再结合韦达定理得出a,b的值，从而求出函数 的解析式， 令，解得方程的解，再利用 作出分段函数 的图象，进而求出分段函数 的解析式。
（2） 由（1）结合分段函数的图像得出当时，有最小值，即，再利用

，使得，所以只需即可，再利用对数的运算法则得出，再利用对数函数的单调性和对数型函数的定义域，从而解不等式组结合交集的运算法则，从而求出实数k的取值范围。

22．【答案】（1）解：因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，

∴，整理得，

即，对于定义域内任意都成立，

∴，解得（或舍去）

（2）解：由（1）得，

①，设，则，

∵与在上均单调递增，

∴在区间上的单调递增．（只要写出结论即可）

②由①知，可得，即

在区间上有两个不同的解，

令，，∴，

∴，，由基本不等式：，当且仅当时等号成立，

∵在上单调递减，在上单调递增，且时．

∴使原方程有两个不等的实数解．

【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性；基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【分析】（1）利用函数 的图象关于原点对称结合奇函数的图像的对称性，所以函数为奇函数，再利用奇函数的定义，整理得，对于定义域内任意都成立，再利用等式恒成立问题求解方法，进而解方程组求出满足要求的a,b的值。

（2） 由（1）得，①，设，则，再利用增函数的定义得出函数与函数在上均单调递增，从而判断出函数在区间上的单调递增。

②由①知，可得在区间上有两个不同的解，令，，所以，，由均值不等式求最值的方法得出，再利用在上单调递减，在上单调递增，且时，，从而得出关于的方程在区间上有两个不同的解时的实数的取值范围 。