北师大版高考数学一轮复习第7章第1节空间几何体的结构特征及三视图与直观图课时作业理含解析

第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图

授课提示：对应学生用书第339页

[A组　基础保分练]

1．下列说法中，正确的是（　　）

A．棱柱的侧面可以是三角形

B．若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形

C．正方体的所有棱长都相等

D．棱柱的所有棱长都相等

解析：棱柱的侧面都是平行四边形，选项A错误；其他侧面可能是平行四边形，选项B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项D错误；易知选项C正确．

答案：C

2．某空间几何体的主视图是三角形，则该几何体不可能是（　　）

A．圆柱　　　　　　　　 B．圆锥

C．四面体  D．三棱柱

解析：因为圆锥、四面体、三棱柱的主视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形．

答案：A

3．如图所示，知形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形OABC是（　　）

A．正方形  B．矩形

C．菱形  D．一般的平行四边形

解析：在直观图中，O′C′＝C′D′＝2，所以O′D′＝2．如图所示，在原图形中，有OD⊥CD，OD＝4，CD＝2，所以OC＝＝6，从而得原图形四边相等，但CO与OA不垂直，所以原图形为菱形．

答案：C

4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（　　）

A．2  B．3

C．  D．

解析：根据三视图，利用棱长为2的正方体分析知，该多面体是一个三棱锥，即三棱锥A1－MNP，如图所示，其中M，N，P是棱长为2的正方体相应棱的中点，可得棱A1M最长，A1M＝＝3，故最长的棱的长度为3．

答案：B

5．如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（　　）

解析：由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切．由于两球球心连线AB1与面ACC1A1不平行，故两球球心射影所连线段的长度小于两球半径的和，即两个投影圆相交，即为选项B．

答案：B

6．（2021·彬州质检）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC是边长为1的等边三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的左视图的面积为（　　）

A．  B．

C．1  D．

解析：由三视图可知该几何体为正六棱锥，其直观图如图所示．正六棱锥的底面正六边形的边长为，侧棱长为1，高为．左视图的底面边长为正六边形的高，为，则该几何体的左视图的面积为××＝．

答案：A

7．（2021·昆明模拟）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，左视图是一个面积为的矩形，则该正方体的主视图的面积等于_________．

解析：由题知此正方体的主视图与左视图是一样的，主视图的面积与左视图的面积相等为．

答案：

8．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．

（1）根据下图所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；

（2）求PA．

解析：（1）该四棱锥的俯视图为（内含对角线）边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2．

（2）由左视图可求得PD＝＝＝6．

由主视图可知AD＝6，且AD⊥PD，

所以在Rt△APD中，

PA＝＝＝6 cm．

[B组　能力提升练]

1．已知某空间几何体的俯视图如图所示，则此几何体的主视图不可能为（　　）

解析：选项A，可想象为三个圆柱叠放在一起；选项B，可想象为三个球粘合在一起；选项C，可想象为一个圆台和一个圆柱叠放在一起；选项D，可想象为上面是一个小圆柱，下面是一个空心球，但其俯视图中的中间圆应为虚线，与题不符．

答案：D

2．（2021·孝感模拟）如图，网格纸上的小方格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的左视图和俯视图，则该锥体的主视图可能是（　　）

解析：由俯视图和左视图可知原几何体是四棱锥，底面是长方形，且与长方形的长相交的某一侧面垂直于底面，所以主视图为A．

答案：A

3．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在主视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（　　）

A．2  B．2

C．3  D．2

解析：由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16，画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为＝＝2．

答案：B

4．（2021·济南模拟）一只蚂蚁从正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路径的主视图的是_________．

解析：由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线（对应6种不同的展开方式），若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的主视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的主视图为④．而其他几种展开方式对应的主视图在题中没有出现．

答案：②④

5．如图，点O为正方体ABCD­A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是　　　　（填出所有可能的序号）．

解析：空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′及其对面ABB′A′上的正投影是①；在面BCC′B′及其对面ADD′A′上的正投影是②；在面ABCD及其对面A′B′C′D′上的正投影是③．

答案：①②③

6．如图所示的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图如图所示（单位：cm）．

（1）在主视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；

（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积．

解析：（1）如图．

（2）所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥

＝4×4×6－××2＝（cm3）．

[C组　创新应用练]

1．（2021·河北衡水中学联考）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈、长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知该楔体的主视图和俯视图如图中粗实线所示，则该楔体的左视图的周长为（　　）

A．3丈  B．6丈

C．8丈  D．（5＋）丈

解析：由题意可知该楔体的左视图是等腰三角形，它的底边长为3丈，相应高为2丈，所以腰长为 ＝（丈），所以该楔体左视图的周长为3＋2×＝8（丈）．

答案：C

2．（2021·郑州质量预测）刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载；“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图为一个刍甍的三视图，其中主视图为等腰梯形，左视图为等腰三角形，则该茅草屋顶的面积为_________．

解析：由三视图可知该几何体的直观图如图所示，其中S四边形ABED＝S四边形ACFD，S△ABC＝S△DEF．过点A向平面BCFE作垂线，垂足为A′，作AM⊥CF于点M，作AN⊥BC于点N，连接A′N，易知AA′＝4，A′N＝CM＝＝2，CN＝BC＝2．在Rt△AA′N中，AN＝＝＝2，在Rt△ANC中，AC＝＝＝2，在Rt△AMC中，AM＝＝＝2．所以S四边形ACFD＝×（4＋8）×2＝12，S△ABC＝×BC×AN＝×4×2＝4．所以该茅草屋顶的面积为2×12＋2×4＝32．

答案：32