2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业44《空间几何体的结构特征及三视图与直观图（学生版）

课时作业44　立体几何中的向量方法

第一次作业　基础巩固练

1．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.

(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；

(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

2．如图，在四棱锥E­ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中CD∥AB，BC⊥AB，侧面ABE⊥平面ABCD，且AB＝AE＝BE＝2BC＝2CD＝2，动点F在棱AE上，且EF＝λFA.

(1)试探究λ的值，使CE∥平面BDF，并给予证明；

(2)当λ＝1时，求直线CE与平面BDF所成角的正弦值．

3．如图，在四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．

(1)求证：平面CMN∥平面PAB；

(2)求二面角N­PC­A的平面角的余弦值．

4．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AB∥CD，AB＝2CD.平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，点E在PC上，DE⊥平面PAC.

(1)证明：PA⊥平面PCD；

(2)设AD＝2，若平面PBC与平面PAD所成的二面角为45°，求DE的长．

5.如图，在三棱锥P­ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝2，AC＝2，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD＝2DB，CE＝2EB，PD⊥AC.

(1)求证：PD⊥平面ABC；

(2)若直线PA与平面ABC所成的角为，求平面PAC与平面PDE所成的锐二面角．

第二次作业　高考·模拟解答题体验

1．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．

(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；

(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．

2.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2.

(1)求证：AC⊥平面BEF；

(2)求二面角B­CD­C1的余弦值；

(3)证明：直线FG与平面BCD相交．

3．如图所示，四棱锥P­ABCD的底面为矩形，已知PA＝PB＝PC＝BC＝1，AB＝，过底面对角线AC作与PB平行的平面交PD于E.

(1)试判定点E的位置，并加以证明；

(2)求二面角E­AC­D的余弦值．

4．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝AA1＝2，D为棱CC1的中点，AB1∩A1B＝O.

(1)证明：C1O∥平面ABD；

(2)设二面角D­AB­C的正切值为，AC⊥BC，E为线段A1B上一点，且CE与平面ABD所成角的正弦值为，求的值．

5．如图，底面ABCD是边长为3的正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，AF∥DE，AD⊥DE，AF＝2，DE＝3.

(1)求证：平面ACE⊥平面BED；

(2)求直线CA与平面BEF所成角的正弦值；

(3)在线段AF上是否存在点M，使得二面角M­BE­D的大小为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．