北师大版高考数学一轮复习第8章第4节直线与圆圆与圆的位置关系课时作业理含解析

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系

授课提示：对应学生用书第359页

[A组　基础保分练]

1．（2021·江西上饶模拟）直线ax－by＝0与圆x2＋y2－ax＋by＝0的位置关系是（　　）

A．相交　　　　　　　 B．相切

C．相离  D．不能确定

解析：将圆的方程化为标准方程得＋＝，所以圆心坐标为，半径r＝．因为圆心到直线ax－by＝0的距离d＝＝＝r，所以直线与圆相切．

答案：B

2．（2021·长春质检）圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为（　　）

A．1  B．2

C．4  D．8

解析：由（x2＋y2－4）－（x2＋y2－4x＋4y－12）＝0得公共弦所在直线的方程为x－y＋2＝0，它与两坐标轴分别交于（－2，0），（0，2），所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为×2×2＝2．

答案：B

3．（2021·湖南十四校二联）已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点（O为坐标原点），且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为（　　）

A．或－  B．或－

C．  D．

解析：因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点（O为坐标原点），且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得＝1，所以a＝±．

答案：B

4．（2021·洛阳市第一次统考）直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“|AB|＝”的（　　）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：依题意，注意到|AB|＝＝|OA|2＋|OB|2等价于圆心O到直线l的距离等于，即有＝，k＝±1．因此，“k＝1”是“|AB|＝”的充分不必要条件．

答案：A

5．（2021·衡水一中模考）圆C1：（x＋1）2＋（y－2）2＝4与圆C2：（x－3）2＋（y－2）2＝4的公切线的条数是（　　）

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：圆C1：（x＋1）2＋（y－2）2＝4的圆心为（－1，2），半径为2，圆C2：（x－3）2＋（y－2）2＝4的圆心为（3，2），半径为2，两圆的圆心距|C1C2|＝＝4＝2＋2，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆相外切，故公切线的条数为3．

答案：C

6．（2021·武汉调研）已知直线l：x＋y－5＝0与圆C：（x－2）2＋（y－1）2＝r2（r＞0）相交所得的弦长为2，则圆C的半径r＝（　　）

A．  B．2

C．2  D．4

解析：法一：依题意，得圆C的圆心坐标为（2，1），圆心到直线l的距离d＝＝，因为弦长为2，所以2＝2，所以r＝2．

法二：联立得整理得2x2－12x＋20－r2＝0，设直线l与圆C的两交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1＋x2＝6，x1x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|＝＝2，所以r＝2．

答案：B

7．（2021·广东天河模拟）已知圆C的方程为x2－2x＋y2＝0，直线l：kx－y＋2－2k＝0与圆C交于A，B两点，则当△ABC面积最大时，直线l的斜率k＝_________．

解析：由x2－2x＋y2＝0，得（x－1）2＋y2＝1，则圆的半径r＝1，圆心C（1，0），

直线l：kx－y＋2－2k＝0与圆C交于A，B两点，

当CA与CB垂直时，△ABC面积最大，

此时△ABC为等腰直角三角形，圆心C到直线AB的距离d＝，

则有＝，解得k＝1或7．

答案：1或7

8．（2021·珠海六校联考）已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则圆C的面积为_________．

解析：圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0可化为（x－a）2＋（y－1）2＝a2－1，因为直线y＝ax和圆C相交，△ABC为等边三角形，所以圆心C到直线ax－y＝0的距离为·，即d＝＝，解得a2＝7，所以圆C的面积为6π．

答案：6π

9．已知圆M过C（1，－1），D（－1，1）两点，且圆心M在直线x＋y－2＝0上．

（1）求圆M的方程；

（2）设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．

解析：（1）设圆M的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），

根据题意得解得a＝b＝1，r＝2，

故所求圆M的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝4．

（2）由题意知，四边形PAMB的面积为S＝S△PAM＋S△PBM＝（|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|）．

又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，而|PA|2＝|PM|2－|AM|2＝|PM|2－4，

所以S＝2．因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝3，所以四边形PAMB面积的最小值为2＝2．

10．已知圆O：x2＋y2＝r2（r＞0）与直线3x－4y＋15＝0相切．

（1）若直线l：y＝－2x＋5与圆O交于M，N两点，求|MN|；

（2）设圆O与x轴的负半轴的交点为A，过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆O于B，C两点，且k1k2＝－3，试证明直线BC恒过一点，并求出该点的坐标．

解析：（1）由题意知，圆心O到直线3x－4y＋15＝0的距离d＝＝3＝r，所以圆O：x2＋y2＝9．

又圆心O到直线l：y＝－2x＋5的距离d1＝＝，

所以|MN|＝2＝4．

（2）证明：易知A（－3，0），设B（x1，y1），C（x2，y2），则直线AB：y＝k1（x＋3），

由得（k＋1）x2＋6kx＋9k－9＝0，

所以－3x1＝，即x1＝，

所以y1＝k1（x1＋3）＝，

所以B．

同理C．

由k1k2＝－3得k2＝－，将－代替k2，

可得C．

当≠，

即k1≠±时，

kBC＝＝，k1≠±．

从而直线BC：y－＝．

即y＝，

化简得y＝．

所以直线BC恒过一点，该点为．

当k1＝±时，k2＝∓，此时xB＝－＝xC，

所以直线BC的方程为x＝－，过点．

综上，直线BC恒过定点．

[B组　能力提升练]

1．（2021·安徽马鞍山模拟）在平面直角坐标系xOy中，若圆C：（x－3）2＋（y－a）2＝4上存在两点A，B满足：∠AOB＝60°，则实数a的最大值是（　　）

A．5  B．3

C．  D．2

解析：根据题意，圆C的圆心为（3，a），在直线x＝3上，

分析可得：当圆心距离x轴的距离越远，∠AOB越小，

如图，当a>0时，圆心C在x轴上方，若OA，OB为圆的切线且∠AOB＝60°，此时a取得最大值，

此时∠AOC＝30°，

有|OC|＝2|AC|＝4，即（3－0）2＋（a－0）2＝16，

解得a＝，故实数a的最大值是．

答案：C

2．（2021·安徽合肥模拟）在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点（0，1），（0，3），且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx（k>0）关于y轴对称，则k的最小值为（　　）

A．  B．

C．2  D．4

解析：如图，

因为圆C经过点（0，1），（0，3），且与x轴正半轴相切，

所以圆心的纵坐标为2，半径为2，则圆心的横坐标为＝，

所以圆心坐标为（，2），设过原点与圆相切的直线方程为y＝k1x，

由圆心到直线的距离等于半径，得＝2，解得k1＝0（舍去）或k1＝－4．

所以若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx（k>0）关于y轴对称，则k的最小值为4．

答案：D

3．（2020·高考全国卷Ⅰ）已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为（　　）

A．2x－y－1＝0  B．2x＋y－1＝0

C．2x－y＋1＝0  D．2x＋y＋1＝0

解析：⊙M：（x－1）2＋（y－1）2＝4，

则圆心M（1，1），⊙M的半径为2．

如图，由题意可知PM⊥AB，

∴S四边形PAMB＝|PM|·|AB|＝|PA|·|AM|＝2|PA|，

∴|PM|·|AB|＝4|PA|＝4．

当|PM|·|AB|最小时，|PM|最小，此时PM⊥l．

故直线PM的方程为y－1＝（x－1），即x－2y＋1＝0．

由得∴P（－1，0）．

又∵PA与⊙M相切，∴直线PA的方程为x＝－1（∵在⊙M中，－1≤x≤1），

∴PA⊥x轴，PA⊥MA，∴A（－1，1）．

又直线AB与l平行，

设直线AB的方程为2x＋y＋m＝0，

将A（－1，1）的坐标代入2x＋y＋m＝0，得m＝1．

∴直线AB的方程为2x＋y＋1＝0．

答案：D

4．已知圆的方程为x2＋（y－1）2＝4，圆心为C，若过点P的直线l与此圆交于A，B两点，则当∠ACB最小时，直线l的方程为（　　）

A．4x－2y－3＝0  B．x＋2y－2＝0

C．4x＋2y－3＝0  D．x－2y＋2＝0

解析：圆心坐标为（0，1），当弦长|AB|最小时，∠ACB最小，此时直线AB与PC垂直，kl＝＝2，所以直线l的方程为y－＝2（x－1），即4x－2y－3＝0．

答案：A

5．已知直线l：x＋ay－1＝0（a∈R）是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A（－4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝_________．

解析：由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C（2，1）在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A（－4，－1）．所以|AC|2＝36＋4＝40．又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36．所以|AB|＝6．

答案：6

6．（2021·江苏启东中学检测）已知圆C1：（x－1）2＋（y＋1）2＝1，圆C2：（x－4）2＋（y－5）2＝9，点M，N分别是圆C1，圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PN|－|PM|的最大值是_________．

解析：圆C1：（x－1）2＋（y＋1）2＝1的圆心为C1（1，－1），半径为1，圆C2：（x－4）2＋（y－5）2＝9的圆心为C2（4，5），半径为3．要使|PN|－|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，|PN|的最大值为|PC2|＋3，|PM|的最小值为|PC1|－1，故|PN|－|PM|的最大值是（|PC2|＋3）－（|PC1|－1）＝|PC2|－|PC1|＋4，设C2（4，5）关于x轴的对称点为C′2（4，－5），|PC2|－|PC1|＝|PC′2|－|PC1|≤|C1C′2|＝＝5，故|PC2|－|PC1|＋4的最大值为5＋4＝9，即|PN|－|PM|的最大值是9．

答案：9

7．已知圆O：x2＋y2＝9及点C（2，1）．

（1）若线段OC的垂直平分线交圆O于A，B两点，试判断四边形OACB的形状，并给出证明；

（2）过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．

解析：（1）四边形OACB为菱形，证明如下：

易得OC的中点为，设A（x1，y1），B（x2，y2），

易得OC的垂直平分线的方程为y＝－2x＋，代入x2＋y2＝9，得5x2－10x－＝0，

∴＝1，＝－2×1＋＝，∴AB的中点为，则四边形OACB为平行四边形，

又OC⊥AB，∴四边形OACB为菱形．

（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，则P，Q的坐标为（2，），（2，－），

∴S△OPQ＝×2×2＝2．

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k（x－2），

即kx－y＋1－2k＝0，

则圆心O到直线l的距离d＝．

由平面几何知识得|PQ|＝2，

∴S△OPQ＝×|PQ|×d＝×2×d＝≤ ＝．

当且仅当9－d2＝d2，即d2＝时，S△OPQ取得最大值为．

∵2＜，∴S△OPQ的最大值为，此时，令＝，解得k＝－7或k＝－1．

故直线l的方程为x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0．

[C组　创新应用练]

1．已知直线l：x＋y－1＝0截圆Ω：x2＋y2＝r2（r＞0）所得的弦长为，点M，N在圆Ω上，且直线l′：（1＋2m）x＋（m－1）y－3m＝0过定点P，若PM⊥PN，则|MN|的取值范围为（　　）

A．[2－，2＋ ]  B．[2－，2＋ ]

C．[－，＋ ]  D．[－，＋ ]

解析：由题意，2＝，解得r＝2，因为直线l′：（1＋2m）x＋（m－1）y－3m＝0过定点P，故P（1，1），设MN的中点为Q（x，y），则OM2＝OQ2＋MQ2＝OQ2＋PQ2，即4＝x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2，化简可得＋＝，所以点Q的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以|PQ|的取值范围为，|MN|的取值范围为[－，＋]．

答案：D

2．已知从圆C：（x＋1）2＋（y－2）2＝2外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，且有|PM|＝|PO|（O为坐标原点），则当|PM|取得最小值时点P的坐标为_________．

解析：如图所示，圆C的圆心为C（－1，2），半径r＝，因为|PM|＝|PO|，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x＋y＋2＝（x1＋1）2＋（y1－2）2，即2x1－4y1＋3＝0．要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．当直线PO垂直于直线2x－4y＋3＝0，即直线PO的方程为2x＋y＝0时，|PM|最小，此时点P即为两直线的交点，由得故当|PM|取得最小值时，点P的坐标为．

答案：