人教版高考数学一轮复习第8章立体几何第1节空间几何体的结构特征及三视图与直观图学案理含解析

第一节　空间几何体的结构特征及三视图与直观图

‖知识梳理‖

1．空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

(2)旋转体的形成

►常用结论

球的任何截面都是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，大圆的半径等于球的半径；被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆，小圆的半径小于球的半径．

2．空间几何体的三视图

(1)三视图的名称

几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．

(2)三视图的画法

①在画三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，重叠的线只画一条，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．

②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．

3．空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．

►常用结论

1．若相邻两物体的表面相交，则表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实线、虚线的画法．

2．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的倍．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　　)

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　)

(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．(　　)

(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(　　)

(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(　　)

(6)菱形的直观图仍是菱形．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×

二、走进教材

2．(必修2P10B1改编)如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的几何体是(　　)

A．棱台 B．四棱柱

C．五棱柱 D．六棱柱

答案：C

3．(必修2P21A4改编)用斜二测画法画水平放置的矩形的直观图，直观图的面积与原矩形的面积之比为(　　)

A． B．

C． D．

答案：D

三、易错自纠

4．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　)

A．圆柱

B．圆锥

C．球体

D．圆柱，圆锥，球体的组合体

解析：选C　由球的性质可知，用平面截球所得的截面都是圆面．

5．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，该几何体的侧视图为(　　)

A　　 　B　　 　　C　　D

解析：选B　给几何体的各顶点标上字母，如图1.A，E在侧投影面上的投影重合，C，G在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图2所示，故选B．

,

|题组突破|

1．下列命题中正确的是(　　)

A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥

B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C．将一个矩形(包括其内部)沿竖直方向平移一段距离，运动的轨迹是一个长方体

D．棱台各侧棱的延长线交于一点

解析：选D　以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可得到圆锥，故A不正确；如图，平面ABC∥平面A1B1C1，侧面都是平行四边形，但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不都互相平行，故不是棱柱，故B不正确；当矩形(包括其内部)水平放置时，沿竖直方向平移一段距离，运动的轨迹是一个长方体，当矩形(包括其内部)不是水平放置时，沿竖直方向平移一段距离，运动的轨迹不是长方体，故C不正确；棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥得到的，其各侧棱的延长线必交于一点，故D正确．

2．(2019届安徽“江南十校”综合素质检测)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E，F分别为棱BB1，D1C1的中点，直线CD1被四面体CC1EF外接球截得的线段长为________．

解析：由题意可得EC＝，EF＝，CF＝，则EC2＋EF2＝CF2，所以EF⊥EC，则△FEC为直角三角形．又因为CC1⊥FC1，△CGF为直角三角形，所以四面体CC1EF的外接球的球心O是棱CF的中点，即外接球的直径2R＝CF＝.过点O作OM⊥CD1，垂足为点M，过F作FN⊥CD1，垂足为点N，则OM＝FN＝，则直线CD1被四面体CC1EF的外接球截得的线段长为2＝.

答案：

►名师点津

空间几何体概念辨析题的常用方法

|题组突破|

3.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y′轴，BC，AD平行于x′轴．已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为(　　)

A．4 cm2 B．4 cm2

C．8 cm2 D．8 cm2

解析：选C　由直观图的面积与原面积之比为，又直观图的面积为2 cm2，得原平面图形的面积为8 cm2.

4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(　　)

A　　　　　B　　　　　C　　　　　D

解析：选A　由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2.故选A．

5．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为________．

解析：∵正三角形ABC的边长为2，

∴S△ABC＝absin 60°＝.

利用S直＝S原，得S△A′B′C′＝.

答案：

►名师点津

原图形与直观图中的“三变”与“三不变”

(1)“三变”

(2)“三不变”

空间几何体的三视图是考查重点，主要在选择题、填空题中考查．

常见的命题角度有：(1)由空间几何体判定三视图；(2)由三视图还原几何体；(3)空间几何体的三视图的有关计算问题．

●命题角度一　由空间几何体判定三视图

【例1】　如图所示，将图①中的正方体截去两个三棱锥，得到图②中的几何体，则该几何体的侧(左)视图为(　　)

A　　　　　B　　　　　C　　　　　D

[解析]　从几何体的左侧看，对角线AD1在视线范围内，故画为实线，右侧面的棱C1F不在视线范围内，故画为虚线，且上端点位于几何体上底面边的中点．故选B．

[答案]　B

●命题角度二　由三视图还原几何体

【例2】　若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

[解析]　A、B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D．

[答案]　D

●命题角度三　空间几何体的三视图的有关计算问题

【例3】　把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成的三棱锥C－ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为________．

[解析]　由三棱锥C－ABD的正视图、俯视图，得三棱锥C－ABD的侧视图为直角边长为的等腰直角三角形，如图所示，所以三棱锥C－ABD的侧视图的面积为××＝.

[答案]　

►名师点津

由三视图确定几何体的3步骤

|跟踪训练|

1．(2019届福州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是(　　)

A．2 B．3

C．4 D．5

解析：选C　由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥P－ABCD，易知四棱锥P－ABCD的四个侧面都是直角三角形，即此几何体各面中直角三角形的个数是4，故选C．

2．已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中小方格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为(　　)

A．6＋ B．

C．6＋ D．8

解析：选B　由题意可得侧视图(图略)，上面是一个三角形，其底为1＋＝，高为2，三角形的面积S1＝××2＝；下面是一个梯形，上底为2，下底为4，高为2，梯形的面积S2＝×(2＋4)×2＝6，所以组合体的侧视图的面积S＝S1＋S2＝＋6＝.故选B．

【例】　(2018年全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)

A　　 　　B　　 　　C　　 　　D

[解析]　由题意可知，带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A．

[答案]　A

|跟踪训练|

(2019年全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．

解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.

答案：26　－1