北师大版高考数学一轮复习第6章第2节二元一次不等式组与简单的线性规划问题课时作业理含解析

第二节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

授课提示：对应学生用书第333页

[A组　基础保分练]

1．（2021·临汾模拟）不等式y（x＋y－2）≥0在平面直角坐标系中表示的区域（用阴影部分表示）是（　　）

解析：由y·（x＋y－2）≥0，得或所以不等式y·（x＋y－2）≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C项．

答案：C

2．设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是（　　）

A．－15　　　　　　　　　 B．－9

C．1  D．9

解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，∵z＝x＋y，∴y＝－x＋z，作出直线y＝－x，平移该直线，当直线过A（0，1）时，z取得最大值，zmax＝1．

答案：C

3．（2021·西安模拟）不等式组的解集记为D，若任意（x，y）∈D，则（　　）

A．x＋2y≥－2  B．x＋2y≥2

C．x－2y≥－2  D．x－2y≥2

解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．设z＝x＋2y，作出直线l0：x＋2y＝0，易知z的最小值为0，无最大值．所以根据题意知，任意（x，y）∈D，x＋2y≥0恒成立，故x＋2y≥－2恒成立．

答案：A

4．（2021·青岛模拟）若点（x，kx－2）满足则k的取值范围为（　　）

A．（－∞，－1]∪[2，＋∞）  B．[2，5]

C．（－∞，－7]∪[2，＋∞）  D．[－7，2]

解析：作出可行域如图中阴影部分所示．联立解得所以点P的坐标为（1，3）．联立解得所以点N的坐标为（2，2）．因为直线y＝kx－2恒过点（0，－2），所以k1＝＝2，k2＝＝5，观察图像可知，当直线y＝kx－2在直线y＝k1x－2和直线y＝k2x－2之间（包括与两条直线重合）时，才会满足题意，因此可得2≤k≤5．

答案：B

5．（2021·重庆一中月考）设点P（x，y）是图中阴影部分表示的平行四边形区域（含边界）内一点，则z＝x－2y的最小值为（　　）

A．－6　　　　　 B．－4

C．－2　　　　　 D．－1

解析：如图，作出直线x＝2y，并平移，易知平移后的直线经过点（2，4）时，z＝x－2y取得最小值，将（2，4）代入z＝x－2y得z＝－6．

答案：A

6．变量x，y满足约束条件则（x－2）2＋y2的最小值为（　　）

A．  B．

C．  D．5

解析：不等式组

表示的平面区域如图中的阴影部分所示．

设P（x，y）是该区域内的任意一点，则（x－2）2＋y2的几何意义是点P（x，y）与点M（2，0）距离的平方．由图可知，当点P的坐标为（0，1）时，|PM|最小，所以|PM|≥＝，所以|PM|2≥5，即（x－2）2＋y2≥5．

答案：D

7．设x，y满足约束条件则目标函数z＝的取值范围是________．

解析：画出约束条件所表示的平面区域，如图阴影部分所示．将目标函数z＝看成是区域内的点（x，y）与定点D（2，0）连线的斜率．由图可知，斜率最大为kBD＝，斜率最小为kAD＝－，所以目标函数z＝的取值范围为．

答案：

8．已知x，y满足条件则的取值范围是________．

解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，＝1＋2×，表示可行域中的点（x，y）与点P（－1，－1）连线的斜率．由图可知，当x＝0，y＝3时，取得最大值，且＝9．因为点P（－1，－1）在直线y＝x上，所以当点（x，y）在线段AO上时，取得最小值，且＝3．所以的取值范围是[3，9]．

答案：[3，9]

9．若x，y满足约束条件

（1）求目标函数z＝x－y＋的最值；

（2）若目标函数z＝ax＋2y仅在点（1，0）处取得最小值，求a的取值范围．

解析：（1）作出可行域如图阴影部分所示，可求得A（3，4），B（0，1），C（1，0）．

平移初始直线x－y＝0，当其过A（3，4）时，z取最小值－2，过C（1，0）时，z取最大值1．

∴z的最大值为1，最小值为－2．

（2）z＝ax＋2y仅在点C（1，0）处取得最小值，由图像可知－1<－<2，解得－4<a<2．

故所求a的取值范围是（－4，2）．

[B组　能力提升练]

1．（2021·漳州模拟）若实数x，y满足约束条件则x＋y（　　）

A．有最小值无最大值

B．有最大值无最小值

C．既有最小值也有最大值

D．既无最小值也无最大值

解析：如图中阴影部分所示即为实数x，y满足的可行域，由得A．

由图易得当x＝，y＝时，

x＋y有最小值，没有最大值．

答案：A

2．若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：作出平面区域如图所示：

∴当直线y＝x＋b分别经过A，B时，平行线间的距离最小．

联立方程组

解得A（2，1），

联立方程组

解得B（1，2）．

两条平行线分别为y＝x－1，y＝x＋1，即x－y－1＝0，x－y＋1＝0，

∴平行线间的距离为d＝＝．

答案：D

3．不等式组表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为（　　）

A．（0，3]  B．[－1，1]

C．（－∞，3]  D．[3，＋∞）

解析：直线y＝kx－1过定点M（0，－1），由图可知，当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1与直线x＋y＝3的交点C（1，2）时，k最小，此时kCM＝＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞）．

答案：D

4．实数x，y满足（a<1），且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分（包括边界）所示，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点B（1，1）时有最大值3，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点A（a，a）时有最小值3a，由3＝4×3a，得a＝．

答案：B

5．已知实数x，y满足则z＝|x－y＋1|的取值范围是________．

解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x－y＋1＝0，因为z＝|x－y＋1|＝×表示点（x，y）到直线x－y＋1＝0的距离的倍，所以结合图像易知0≤z≤3．

答案：[0，3]

6．（2021·南昌高三调研）若关于x，y的不等式组表示的平面区域是一个三角形，则k的取值范围是________．

解析：不等式|x|＋|y|≤2表示的平面区域为如图所示的正方形ABCD及其内部．

直线y＋2＝k（x＋1）过定点P（－1，－2），斜率为k，

要使平面区域表示一个三角形，

则kPD<k≤kPA或k<kPC．

而kPD＝0，kPA＝＝，kPC＝＝－2，故0<k≤或k<－2．

答案：（－∞，－2）∪

7．某共享汽车品牌在某市投放1 500辆宝马轿车，为人们的出行提供了一种新的交通方式．该市的市民小王喜欢自驾游，他在该市通过网络组织了一场“周日租车游”活动，招募了30名自驾游爱好者租车旅游，他们计划租用A，B两种型号的宝马轿车，已知A，B两种型号的宝马轿车每辆的载客量都是5人，每天的租金分别为600元/辆和1 000元/辆，根据要求租车总数不超过12辆且不少于6辆，且A，B两种型号的轿车至少各租用1辆，求租车所需的租金最少为多少元．

解析：设分别租用A，B两种型号的轿车x辆，y辆，所需的总租金为z元，则z＝600x＋1 000y，其中x，y满足不等式组

作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数可化为y＝－x＋，由图可知当直线y＝－x＋过点C时，目标函数z取得最小值．由解得C（5，1）．所以总租金z的最小值为600×5＋1 000×1＝4 000（元）．

[C组　创新应用练]

1．设p：实数x，y满足（x－1）2＋（y－1）2≤2，q：实数x，y满足则p是q的（　　）

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：画出可行域，易知命题q中不等式组表示的平面区域在命题p中不等式表示的圆面内，故是必要不充分条件．

答案：A

2．记不等式组表示的平面区域为Ω，点P的坐标为（x，y），则下面四个命题，p1：任意P∈Ω，y≤0，p2：任意P∈Ω，x－y≥2，p3：任意P∈Ω，－6≤y≤，p4：存在P∈Ω，x－y＝．其中是真命题的是（　　）

A．p1，p2  B．p1，p3

C．p2，p4  D．p3，p4

解析：作出平面区域Ω，如图中阴影部分所示，

其中A（4，0），由图可知，y∈（－∞，0]．作出直线y＝x，并平移，易知当平移后的直线经过点A时，x－y取得最小值2，则x－y≥2，从而p1，p2是真命题．

答案：A