北师大版高考数学一轮复习第2章第8节函数与方程及应用课时作业理含解析

第八节 函数与方程及应用

授课提示：对应学生用书第285页

[A组　基础保分练]

1.下列函数中，在（－1，1）内有零点且单调递增的是（　　）

A.y＝logx　　　　　　　 B.y＝2x－1

C.y＝x2－  D.y＝－x3

解析：函数y＝logx在定义域上单调递减，y＝x2－在（－1，1）上不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，均不符合要求.对于y＝2x－1，当x＝0∈（－1，1）时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增.

答案：B

2.函数f（x）＝2x＋2x的零点所在的区间是（　　）

A.[－2，－1]  B.[－1，0]

C.[0，1]  D.[1，2]

解析：f（－2）＝2－2＋2×（－2）＜0，f（－1）＝2－1＋2×（－1）＜0，f（0）＝20＋0＞0，由零点存在性定理知，函数f（x）的零点在区间[－1，0]上.

答案：B

3.若函数f（x）＝ax＋1在区间（－1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（　　）

A.（1，＋∞）  B.（－∞，1）

C.（－∞，－1）∪（1，＋∞）  D.（－1，1）

解析：由题意知，f（－1）·f（1）＜0，即（1－a）（1＋a）＜0，解得a＜－1或a＞1.

答案：C

4.（2021·遵义模拟）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元.设该设备使用了n（n∈N＋）年后，盈利总额达到最大值（盈利总额等于总收入减去总成本），则n等于（　　）

A.6  B.7

C.8  D.7或8

解析：盈利总额为21n－9－＝－n2＋n－9.因为其对应的函数的图像的对称轴方程为n＝，所以当n＝7时取最大值，即盈利总额达到最大值.

答案：B

5.（2021·福州模拟）已知函数f（x）＝则函数y＝f（x）＋3x的零点个数是（　　）

A.0  B.1

C.2  D.3

解析：令f（x）＋3x＝0，则或解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f（x）＋3x的零点个数是2.

答案：C

6.研究发现，当对某学科知识的学习次数x不超过6次时，对该学科的掌握程度f（x）＝0.1＋15ln.根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133].当学习某学科知识6次时，其掌握程度是85%，则该学科是（参考数据：e0.05≈1.05，e0.85≈2.34）（　　）

A.甲  B.乙

C.丙  D.三者均可能

解析：由题意可知，0.1＋15ln＝0.85，整理得＝e0.05，解得a＝×6≈21×6＝126，因为126∈（121，127]，所以该学科是乙.

答案：B

7.（2020·湘赣十四校联考）已知函数f（x）＝有且只有1个零点，则实数a的取值范围是__________.

解析：当a>0时，函数y＝ax－3（x>0）必有一个零点，又因为－<0，故a＋2＋a>0，解得a>1；当a＝0时，f（x）＝恰有一个零点；当a<0时，若x>0，则f（x）＝ax－3<0，若x≤0，则f（x）＝ax2＋2x＋a，此时，f（x）恒小于0，所以当a<0时，f（x）无零点，故答案为a＝0或a>1.

答案：a＝0或a>1

8.（2021·唐山模拟）某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%（即这辆车每年减少它的价值的10%），试问，大约使用　　　　年后，用在该车上的费用（含折旧费）达到14.4万元.

解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4（1－0.9x）＋2.4x＝14.4，化简得x－6×0.9x＝0.令f（x）＝x－6×0.9x，

易得f（x）为单调递增函数，又f（3）＝－1.374＜0，f（4）＝0.063 4＞0，所以函数f（x）在（3，4）上有一个零点.

故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元.

答案：4

9.已知函数f（x）＝－x2－2x，g（x）＝

（1）求g（f（1））的值；

（2）若方程g（f（x））－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围.

解析：（1）利用解析式直接求解得g（f（1））＝g（－3）＝－3＋1＝－2.

（2）令f（x）＝t，则原方程化为g（t）＝a，易知方程f（x）＝t在（－∞，1）上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g（t）（t＜1）与y＝a的图像有2个不同的交点，作出函数y＝g（t）（t＜1）的图像（如图），由图像可知，当1≤a＜时，函数y＝g（t）（t＜1）与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.

10.声强级Y（单位：分贝）由公式Y＝10lg给出，其中I为声强（单位：W/m2）.

（1）平常人交谈时的声强约为10－6 W/m2，求其声强级；

（2）一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到最低声强为多少？

（3）比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7 W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？

解析：（1）当声强为10－6 W/m2时，

由公式 Y＝10lg

得Y＝10lg＝10lg 106＝60（分贝）.

（2）当Y＝0时，由公式Y＝10lg

得10lg＝0.

所以＝1，即I＝10－12 W/m2，

则常人能听到的最低声强为10－12 W/m2.

（3）当声强为5×10－7 W/m2时，

声强级Y＝10lg＝10lg（5×105）＝50＋10lg 5，

因为50＋10lg 5＞50，

所以这两位同学会影响其他同学休息.

[B组　能力提升练]

1.定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝且f（x＋1）＝f（x－1），若g（x）＝3－log2x，则函数F（x）＝f（x）－g（x）在（0，＋∞）内的零点个数为（　　）

A.3  B.2

C.1  D.0

解析：由f（x＋1）＝f（x－1），知f（x）的周期是2，画出函数f（x）和g（x）的部分图像，如图所示，由图像可知f（x）与g（x）的图像有2个交点，故F（x）有2个零点.

答案：B

2.已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－k仅有一个零点，则k的取值范围是（　　）

A.

B.（－∞，0）∪

C.（－∞，0）

D.（－∞，0）∪

解析：函数f（x）的图像如图所示，由题知该图像与直线y＝k只有一个公共点，故k的取值范围为（－∞，0）∪.

答案：D

3.（2021·衡阳模拟）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.3）（　　）

A.2018年  B.2019年

C.2020年  D.2021年

解析：设开始超过200万元的年份是n，则130×（1＋12%）n－2 016＞200，化简得（n－2 016）lg 1.12＞lg 2－lg 1.3，所以n－2 016＞≈3.8，所以n＝2 020，因此开始超过200万元的年份是2020年.

答案：C

4.（2021·西安模拟）某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x（正常情况0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分）计算当月绩效工资y元.要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低、越高人数要越少.则下列函数最符合要求的是（　　）

A.y＝（x－50）2＋500

B.y＝10＋500

C.y＝（x－50）3＋625

D.y＝50[10＋lg（2x＋1）]

解析：由题意知，函数应满足：①单调递增，且先慢后快，②在x＝50左右增长缓慢，最小值为500，A是先减后增，不符合要求；B由指数函数知是增长越来越快，不符合要求；D由对数函数知增长速度越来越慢，不符合要求；C是由y＝x3经过平移和伸缩变换而得，最符合题目要求.

答案：C

5.已知函数f（x）＝x2＋x＋a（a＜0）在区间（0，1）上有零点，则a的取值范围为__________.

解析：由题意f（1）·f（0）＜0，所以a（2＋a）＜0，所以－2＜a＜0.

答案：（－2，0）

6.已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－m有3个零点，则实数m的取值范围是__________.

解析：作出f（x）＝的图像如图所示.由于函数g（x）＝f（x）－m有3个零点，结合图像得0＜m＜1，即m∈（0，1）.

答案：（0，1）

7.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a（单位：万元）满足P＝80＋4，Q＝a＋120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）.

（1）求f（50）的值；

（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？

解析：（1）由题意知甲大棚投入50万元，

则乙大棚投入150万元，

所以f（50）＝80＋4＋×150＋120＝ 277.5（万元）.

（2）f（x）＝80＋4＋（200－x）＋120＝－x＋4＋250，依题意得⇒20≤x≤180，

故f（x）＝－x＋4＋250（20≤x≤180）.

令t＝，t∈[2，6]，则y＝－t2＋4t＋250＝－（t－8）2＋282，当t＝8，即x＝128时，f（x）取得最大值，f（x）max＝282.

所以当甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元.

[C组　创新应用练]

1.（2021·郑州模拟）已知函数f（x）＝（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）

A.（0，1]  B.[1，＋∞）

C.（0，1）  D.（－∞，1]

解析：画出函数f（x）的大致图像如图所示.因为函数f（x）在R上有两个零点，所以f（x）在（－∞，0]和（0，＋∞）上各有一个零点.当x≤0时，f（x）有一个零点，需0<a≤1；当x>0时，f（x）有一个零点，需－a<0，即a>0.综上，0<a≤1.

答案：A

2.李冶（1192－1279），真定栾城（今河北省石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等.其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）　　　　步、　　　　步.

解析：设圆池的半径为r步，则方田的边长为（2r＋40）步，由题意，得（2r＋40）2－3r2＝13.75×240，解得r＝10或r＝－170（舍），所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步.

答案：20　60

3.一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt（cm3），经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过　　　　 min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.

解析：当t＝0时，y＝a；

当t＝8时，y＝ae－8b＝a.故e－8b＝.

当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝（e－8b）3＝e－24b，则t＝ 24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一.

答案：16