人教版八年级上册11.3.1 多边形说课ppt课件

第十一章  三角形

11.3 多边形及其内角和

11.3.2  多边形的内角和
第1课时  多边形的内角和

一、教学目标

【知识与技能】

了解多边形的内角、外角等概念,能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.

【过程与方法】

经历合作、交流等过程,初步形成推理思维.

【情感、态度与价值观】

经历猜想、探索、归纳等过程,学会多角度、全方位研究问题的方法,体会转化、类比等数学思想.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时

四、教学重难点

【教学重点】 

1.多边形的内角和公式.

2.多边形的外角和公式.

【教学难点】

如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和公式. 

五、课前准备 

教师：课件、三角尺、多边形结构图等。

学生：三角尺、直尺、多边形纸片。

六、教学过程

（一）导入新课

如图所示,小华从A点出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°,…,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走的路程是多少米?你能计算吗?

（二）探索新知

1.探究多边形的内角和定理

教师问1：你知道三角形的内角和是多少度吗？

学生回答：三角形的内角和等于180°.

教师问2：你知道长方形和正方形的内角和是多少度？

学生回答：都是360°.（出示课件4）

教师问3：你能猜想四边形的内角和是多少度吗？

学生回答：四边形的内角和等于360°.

教师问4：你是如何得到这个结论的？你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？

学生讨论回答并得出结论.（出示课件5）

证明：如图，连接AC，
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为：180°×2=360°.

教师问5：同学们想一想，还有其他的证明方法吗？

学生讨论回答并得出结论.（出示课件6-8）

解法二：如图，在BC边上任取一点E，连接AE，DE，
            所以该四边形被分成三个三角形，
            所以四边形ABCD的内角和为
            180°×3–(∠AEB+∠AED+∠CED)
           =180°×3–180°
           =360°.

解法三：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE，BE，CE，DE，
把四边形分成四个三角形：
△ABE，△ADE，△CDE，△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4–(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4–360°=360°.

解法四：如图，在四边形外任取一点P，连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.

所以四边形ABCD内角和为180°×3 –180°= 360°.

结论： 四边形的内角和为360°.
总结点拨：这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.

教师问6：你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五
边形和吗?

学生回答：五边形的内角何为：内角和为180°×3 = 540°.
教师问7：如图，请你利用分割的方法探索六边形的内角和.

学生讨论回答并得出结论.六边形的内角和等于720°.（180°×4 = 720°.）（出示课件11）

教师问8：选择两种不同的将多边形分割成三角形的方法填入下表：

学生讨论回答，并给出不同答案.

教师问9：通过填表，你知道多边形的内角和公式是什么了吗？

学生回答：多边形的内角和等于(n－2)×180

教师问10：还有其他的分割多边形为三角形的方法吗？

学生讨论并回答，教师引导总结.

总结点拨：（出示课件13）

多边形的内角和公式：n边形内角和等于(n–2)×180 °.

注意：①n边形的内角和随边数的增加而增加，每增加一条边其内角和增加180°.②多边形的内角和是180°的整倍数.
教师问11：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？

学生讨论交流回答，并得出结论：正多边形的每个内角的度数是，每个外角的度数是.

例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.（出示课件9）
    师生共同解答如下：

解：如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°.
因为∠A+∠B+∠C+∠D=(4–2) ×180 °= 360 °，

所以∠B＋∠D= 360°–（∠A＋∠C）
= 360°– 180° =180°.

总结点拨：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.

例2：一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？（出示课件14）

师生共同解答如下：

解：设这个多边形边数为n，则
     （n–2）•180=360+720，
        解得n=8，   ∵这个多边形的每个内角都相等，
      （8–2）×180°=1080°，
         ∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．
    例3：已知n边形的内角和θ=（n–2）×180°．
    （1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；（出示课件16）

（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．（出示课件17）
    师生共同解答如下：

（1）解：∵ 360°÷180°=2，   
       630°÷180°=3......90°，   
        ∴甲的说法对，乙的说法不对，      
       360°÷180°+2=4．
       故甲同学说的边数n是4；
    （2）解：依题意有
    （n+x–2）×180°–（n–2）×180°=360°，
      解得x=2．
      故x的值是2．
    2. 合作探索多边形的外角和

如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．

教师问12：看图想一想，五边形任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
学生回答：互补

教师问13：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？

学生回答：5×180°=900°（出示课件21）

教师问14：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？五边形的外角和是多少呢？（出示课件22）

学生回答：五边形的内角和+外角和=五个平角和

五边形外角和=5个平角–五边形内角和=5×180°–(5–2) × 180°

=360 °
结论：五边形的外角和等于360°.
教师问15：小组合作完成下表.

学生讨论给出答案.

教师问16：通过表格，你发现了什么规律？

学生讨论回答：①多边形每增加一条边，内角和就增加180°；②多边形的外角和都是360°.

教师问17：试证明你的结论.

学生交流合作作出证明，教师查看给予引导.

在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形的外角和又是多少呢？（出书课件23）
证明：n边形外角和=n个平角–n边形内角和= n×180 °–(n–2) × 180°=360 °

所以n边形的外角和等于360°（注意与边数无关）

例4：已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.
（出示课件25）

师生共同解答如下：

解： 设多边形的边数为n.
    ∵它的内角和等于 (n–2)•180°，
        多边形外角和等于360°，
    ∴ (n–2)•180°=2× 360º.
            解得 n=6.
    ∴这个多边形的边数为6.
    例5：已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.（出示课件26）

解法一：设这个多边形的内角为7x °，外角为2x°，
根据题意得7x+2x=180，解得x=20.
即每个内角是140 °，每个外角是40 °.
360° ÷40 °=9.
答：这个多边形是九边形.
教师问：还有其他解法吗？
解法二：设这个多边形的边数为n ，根据题意得（出示课件27）

解得   n=9.

答：这个多边形是九边形.

（三）课堂练习（出示课件31-35）

1.判断．
(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.（　　）
(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.（　　）
(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等.             （　　）

2.一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是________.
3. 如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是________米．

4.  一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（        ）
      A. 360°                                            B. 540 °     
     C. 720 °                                            D. 900 °
    5. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.
    6. 如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.

参考答案：

1.（1）√ （2）×（3）√

2.10

3.150

4.B

5.

6. 解：如图，
∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7
＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7
＝五边形的内角和
＝540°.

（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容:

本节主要学习多边形的内角和与外角和公式.

（五）课前预习

预习下节课（12.1）的相关内容。

1.知道全等形、全等三角形、对应顶点、对应边、对应角等概念

2.了解全等三角形的性质

七、课后作业

1、教材24页练习1,2,3

2、如图,小东在足球场的中间位置,从A点出发,每走6 m向左转60°,已知AB=BC=6 m.

(1)小东是否能走回A点,若能回到A点,则需走多少米?走过的路径是一个什么图形?为什么?(路径A到B到C到…)

(2)求出这个图形的内角和.

八、板书设计：

九、教学反思：

本节主要介绍多边形的内角和与外角和公式，是一节自主探究课，所以在教学过程中，教师可以放手让学生探索，利用多种方法进行研究.同时关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力.

在教学设计上，让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力，掌握将复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法，让学生在获得数学活动经验的同时，提高探究、发现和创新的能力.