2021-2022学年山东省聊城市高二（下）期末数学试卷-普通用卷

2021-2022学年山东省聊城市高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 设集合，，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 第二届消博会暨中国国际消费品博览会于年月在海南举办．某展馆将件相同的纪念品分别赠送给前来参观的位游客，每人至少件，则不同的赠送方案数共有(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知的图像如图所示，则的解析式可能为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 某公司有甲，乙两家餐厅，小张第天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第天去甲餐厅，那么第天去甲餐厅的概率为；如果第天去乙餐厅，那么第天去甲餐厅的概率为，则小张第天去乙餐厅的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 的展开式的常数项为，则展开式中含项的系数为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

6. 甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次，已知甲和乙都不是冠军，且乙不是最后一名，则这人的名次排列所有可能的情况共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

7. 已知随机变量，，，，且，又，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 已知，若，则实数的值可以为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 对具有相关关系的两个变量和进行回归分析时，经过随机抽样获得成对的样本数据，则下列说法正确的是(    )

A. 若两变量，具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点
B. 变量，的线性相关系数的绝对值越接近，则两个变量与的线性相关程度越强
C. 用残差平方和来比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
D. 用来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零的直线上，则的值为

11. 已知实数，满足，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

12. 一个盒子内装有大小形状完全相同的个红球，个白球，则(    )

A. 若从盒中随机有放回任取个球，颜色相同的概率为
B. 若从盒中随机不放回任取个球，颜色不相同的概率为
C. 若从盒中随机有放回任取个球，其中有白球的概率为
D. 若从盒中随机不放回任取个球，其中一个球是白球，另一个也是白球的概率为

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 某商场进行抽奖促销活动，抽奖规则中规定，抛掷一枚硬币次，若正面向上的次数为或，则获得一等奖．为使顾客获得一等奖的概率不超过，则的最小值为______．
14. 同时满足性质：；；当时，的函数的一个解析式为______．
15. 数字具有这样的性质：它是的倍数并且各位数字之和为，称这种正整数为“吉祥数”在所有的三位正整数中，“吉祥数”的个数为______．
16. 已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 对于函数．
    若函数为奇函数，求的值；
    若的展开式的各二项式系数的和为，试解不等式．
18. 网民的智慧与活力催生新业态，网络购物，直播带货，买菜等进入我们的生活，改变了我们的生活方式，随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻．自“国家反诈中心”推出后，某地区采取多措并举的推广方式，努力为人民群众构筑一道防诈反诈的“防火墙”经统计，该地区网络诈骗月报案数与推广时间有关，并记录了经推广个月后月报案件数的数据．

根据以上数据，判断与哪一个适宜作为回归方程模型？根据判断结果，求出关于的回归方程；
分析该地区一直推广下去，两年后能否将网络诈骗月报案数降至件以下．
参考数据其中，，，，．
参考公式：对于一组数据，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．

19. 已知函数，在处切线的斜率为．
    求的值及的极小值；
    讨论方程的实数解的个数．
20. 某农发企业计划开展“认领一分地，邀你来当农场主”活动．该企业把农场以微田园形式对外租赁，让人们认领．认领的田地由企业的专业人员打理，认领者可以随时前往体验农耕文化，所有收获归认领者所有．某咨询公司做了关于活动意愿情况的调查，随机抽取了份有效问卷，部分统计数据如表：

请将上述列联表补充完整，试依据小概率值的独立性检验，分析男性是否比女性更愿意参与活动；
为了更详细的了解情况，在份有效问卷中抽取不愿意参与活动的人员若干人组成观摩小组，观摩小组恰有男性名，女性名．从观摩小组中选取人为免费体验者，设免费体验者中男性人数为，求的分布列及数学期望．
附：，．
下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．

21. 某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢毽子，广场舞，投篮，射门等体育活动．在一次“定点投球”的游戏中，规则如下：每小组两位选手，每位选手投球两次，投中一次得分，否则得分，得分累加，得分之和不低于分则称两人为“黄金搭档”甲，乙两人一组，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，假设甲，乙两人是否投中互不影响．
    若，，求甲，乙两人累计得分之和为的概率；
    若，求甲，乙在一轮游戏中为“黄金搭档”的概率的最大值．
22. 设函数为自然常数．
    当时，求的单调区间；
    若在区间上单调递增，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，，，
，
的值为．
故选：．
利用交集定义、不等式的性质直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为纪念品的相同的，而游客不同，所以以游客为对象分类：
第一种情况，一位游客得一个纪念品，其余两位游客每人二个纪念品，共有种．
第二种情况，一位游客得三个纪念品，其余两位游客各一个纪念品，共有种．
共计种赠送方案．
故选：．
因为纪念品的相同的，而游客不同，所以以游客为对象分两种情况抽取即可．
本题考查了组合数的问题，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：利用排除法：根据函数的图象，该函数为奇函数；
故排查；
当函数在，时，，当时，，故排除，
故选：．
直接利用函数的奇偶性排除，进一步利用函数的值的应用排除，最后确定结果．
本题考查的知识要点：函数的性质，奇偶性和函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意知，小张第一天去甲餐厅的概率为，去乙餐厅的概率为，
则小张第天去乙餐厅的概率为．
故选：．
根据相互独立事件乘法公式列式计算即可．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 

5.【答案】 

【解析】解：展开式的通项公式为，，，，，
令，则，所以展开式的常数项为，解得，
令，解得，
所以展开式中含的系数为或，即或，
故选：．
求出展开式的通项公式，令的指数为，由此建立方程求出的值，再令的指数为，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为已知甲和乙都不是冠军，且乙不是最后一名，所以乙同学的名次共有种情况，甲同学的名次共有种情况，其他同学则有种情况，故这人的名次排列所有可能的情况共有种情况，
故选：．
根据甲和乙都不是冠军，且乙不是最后一名，可先判断乙，在判断甲，最后判断其他同学．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意，，则，
又，则，解得，
故选：．
利用二项分布的方差计算公式得出，即的值，根据正态分布的对称性，可得实数．
本题考查离散型随机变量的期望，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意，，，
设，则，
当时，，在上单调递增，
，即，又，，．
设，则
，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，，
在上单调递减，，
，，．
综上，．
故选：．
设，，利用导数可得和在的单调性，由单调性得，，由此能判断，，的大小关系．
本题考查三个数的大小的判断，考查对数性质、运算法则、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，若，
令，
当时，，可得，即，可得或，解得或；
当时，，可得，即，可得或，解得或舍；
实数的值可以为：，，，
故选：．
令，分以及分别求，进而求解结论．
本题实质上考查分段函数求函数值．要确定好自变量的取值或范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值．分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于选项，若两变量、具有线性相关关系，则回归直线过样本中心点，但不一定过样本点，错；
对于选项，若变量、的线性相关系数的绝对值越接近，则两个变量与的线性相关程度越强，对；
对于选项，用残差平方和来比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，对；
对于选项，用来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零的直线上，则的值为，对．
故选：．
利用回归直线的相关知识可判断选项；利用相关系数与线性相关程度的关系可判断选项；利用残差平方和与模型的拟合效果的关系可判断选项；利用相关指数与回归模型的拟合效果的关系可判断选项．
本题考查了线性回归方程的性质、相关系数、相关指数的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，因为，所以，即，所以，选项A正确；
对于，当，时，满足，但，所以不成立，即选项B错误；
对于，时，幂函数在上单调递增，且，所以，
又因为指数函数在定义域上是单调减函数，且，所以，
所以，即，选项C正确；
对于，令，，满足，则，所以不成立，选项D错误．
故选：．
根据不等式的基本性质判断选项A正确；利用特殊值代入法判断选项B、D错误；根据函数的单调性判断选项C正确．
本题考查了不等式的性质与函数的单调性应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：从盒中随机有放回的取球，取到白球、红球的概率分别为，
取到球颜色相同的概率为，故A正确；
从盒中随机不放回任取个球，则有种取法，
取到的球颜色不同有种，
颜色不同的概率为，故B正确；
从盒中随机有放回任取个球，取到白球、红球的概率分别为，
其中有白球的概率为，故C错误；
从盒中随机不放回任取个球，其中一个球是白球为事件，
另一个也是白球为事件，
则，故D正确．
故选：．
从盒中随机有放回的取球，取到白球、红球的概率分别为，分别求出其概率可判断；由古典概型可判断；由条件概率可判断．
本题考查命题真假的判断，考查古典概型、条件概率、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可得，抛掷一枚硬币次，获得一等奖的概率为，
令，则，
故的最小值为．
故答案为：．
由题意可得，抛掷一枚硬币次，获得一等奖的概率为，令，即可求解．
本题主要考查次独立重复试验的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数满足，即，则函数为偶函数，
若，则可以为幂函数，
若当时，，则函数在上为减函数，
故的一个解析式可以为，
故答案为：，答案不唯一．
根据题意，分析可得要求函数为偶函数且在上为减函数，由幂函数的性质分析可得答案．
本题考查函数的性质，注意常见函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：当百位为，符合要求的“吉祥数”有；
当百位为，符合要求的“吉祥数”有；
当百位为，符合要求的“吉祥数”有、；
当百位为，符合要求的“吉祥数”有、；
当百位为，符合要求的“吉祥数”有、、；
当百位为，符合要求的“吉祥数”有、、；
综上，共有个“吉祥数”．
故答案为：．
讨论百位数为、、、、、分别列举出符合要求的“吉祥数”，即可得结果．
本题考查排列组合的应用，列举法是解决本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为函数有四个零点，
所以函数与的图像有四个交点，
在同一直角坐标系中，分别画出与的图像，

所以当时，两个函数有个交点，且四个交点的横坐标为，，，，
当时，的对称轴为，
所以，
由，即，
所以，
当，解得或，则，，
所以，
令，，
，
令，得，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以，
，，
所以的值域为，
故答案为：
函数有四个零点，转化为函数与的图像有四个交点，再结合两个函数图像解决问题．
本题考查函数的零点，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为函数为奇函数，所以．
则，即，所以；
由的展开式的各二项式项系数和为，得，
所以．
由，得，则，所以．
故的解集为． 

【解析】直接根据奇函数的定义求解即可，
根据二项式系数的和为求出，再求解不等式即可．
本题主要考查二项式定理的应用以及函数的奇偶性，考查计算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：由表中数据可得更适宜．
，
令，设关于的线性回归方程为，
则，
则，
故关于的回归方程为．
由回归方程可知，随的增大，逐渐减少，
当时，，
故两年后网络诈骗月报案数能降至件以下． 

【解析】对于非线性回归方程先通过换元法将变化为线性回归方程，再代入参考数据得到．
将代入回归方程得到，故两年后网络诙骗月报案数能降至件以下．
本题考查了线性回归方程的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：，
因为在处切线的斜率为，所以，
则，，
令，解得或，
当变化时，，变化情况如下：

故的极小值为．
由知，在上单调递增，上单调递减，上单调递增．
当时，；当时，，
当或时，方程有个实数解；
当或时，方程有个实数解
当时，方程有个实数解． 

【解析】由函数在处切线的斜率为，可得，解方程得出的值；对函数求导，列表格判断出单调性，进而可得函数的极小值；
由的单调性以及极限趋势，分类讨论的范围，可得实数解的个数．
本题考查了利用导数研究函数的极值问题以及导数的几何意义，属于中档题．
 

20.【答案】解：列联表补充完整如下：

零假设为：参与意愿与性别无关联，
根据列联表的数据可得，，
对照附表，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以认为参与意愿与性别有关联，此推断犯错的概率不大于，
根据数据计算，男性和女性愿意参与活动的频率分别为，，
可得，可见在被调查者中，男性愿意参与活动的频率是女性愿意参与活动频率的倍，据频率稳定于概率原理，我们可以认为男性比女性更愿意参与活动．
由题意可得，的可能取值为，，，，
，
，
，
，
故的分布列为：

故． 

【解析】根据已知条件，结合列联表之间的数据关系，即可补充列联表，再结合独立性检验公式，即可求解．
由题意可得，的可能取值为，，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
 

21.【答案】解：甲，乙两人累计得分之和为的概率为，
他们在一轮游戏中获得“黄金搭档”的概率为，
因为，所以，
令，由，及，得，，
当时，的最大值为．
故甲，乙在一轮游戏中为“黄金搭档”的概率的最大值． 

【解析】利用甲乙两人得分之和为分有种情况，甲中次乙中次，甲中次乙中次，甲中次乙中次，再利用互斥事件概率求解，再利用二次函数可解．
本题考查了分类思想，以及互斥事件概率计算公式，属于中档题．
 

22.【答案】解：当时，，定义域为，
，令，解得，令，解得，
故此时的单调递增区间为，单调递减区间为．
在区间上有意义，故在上恒成立，可得，
依题意可得在上恒成立，
设，
，易知在上单调递增，故，
故在上单调递减，最小值为，
故只需，设，其中，
由可得在上为减函数，
，故．
综上所述：的取值范围为． 

【解析】求定义域，求导，解不等式，求出单调区间；
先根据定义域得到，二次求导，结合极值，最值，列出不等式，求出实数的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，已知函数单调性，求解参数取值范围，转化为导函数与的大小比较，本题中难点在于要进行二次求导，求解参数的取值范围时，也要结合单调性及特殊值，对逻辑性要求较高，属于中档题．