2021-2022学年山东省枣庄市高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山东省枣庄市高二（下）期末数学试卷

一、单选题(本题共9小题，共45分)

1. 可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 从这七个数字中选个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 的展开式的第项的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将水净化到纯净度为时所需费用单位：元为，则净化到纯净度为左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为左右时净化费用变化率的(    )

A.  倍 B.  倍 C.  倍 D.  倍

5. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到依据的独立性检验，结论为(    )

A. 变量与不独立
B. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
C. 变量与独立
D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过

6. 已知件产品中有件次品，件正品，检验员从中随机抽取件进行检测，记取到的正品数为，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 某人在次射击中击中目标的次数为，若，若最大，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数，过点可作条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 对经验回归方程，下列正确的有(    )

1. 决定系数  越小，模型的拟合效果越好
   B. 经验回归方程只适用于所研究的样本的总体
   C. 不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值
   D. 残差平方和越小，模型的拟合效果越好

二、多选题(本题共3小题，共15分)

10. 甲、乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩，乙地学生的成绩如图分别是其正态分布的密度曲线，则(    )
    附：若随机变量，则，，

A. 甲地数学的平均成绩比乙地的低
B. 甲地数学成绩的离散程度比乙地的小
C.
D. 若 ，则 

11. 下列命题正确的有(    )

A. 现有、、、四个数，从中任取两个相加得到个不相等的和；从中任取两个相减得到个不相等的差，则
B. 在的展开式中，含的项的系数为
C. 若为有理数，则
D.

12. 已知函数有两个极值点，，则(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题(本题共4小题，共20分)

13. 已知函数，则曲线在点处的切线的方程为______．
14. 将名博士分配到个不同的实验室，每名博士只分配到一个实验室，每个实验室至少分配一名博士，则不同的分配方案有______种．
15. 某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中单位：是瓶子的半径，已知每出售的饮料，可获利分，且能制作的瓶子的最大半径为，当每瓶饮料的利润最大时，子的半径为______．
16. 已知离散型随机变量的取值为有限个，，，则______．

四、解答题(本题共6小题，共70分)

17. 两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为将两批产品混合，从混合产品中任取一件．
    Ⅰ求这件产品是次品的概率；
    Ⅱ已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率．
18. 若的展开式中只有第项的二项式系数最大，且展开式中的常数项为．
    Ⅰ求，的值；
    Ⅱ若，求．
19. 某校组织数学知识竞赛活动，比赛共道必答题，答对一题得分，答错一题扣分．
    学生甲参加了这次活动，假设每道题甲能答对的概率都是，且各题答对与否互不影响．设甲答对的题数为，甲做完道题后的总得分为．
    Ⅰ试建立关于的函数关系式，并为；
    Ⅱ求的分布列及．
20. 已知函数．
    若在上单调递增，求实数的取值范围；
    求证：时，．
21. 某公司对其产品研发的年投资额单位：百万元与其年销售额单位：千件的数据进行统计，整理后得到如下统计表：

Ⅰ求变量和的样本相关系数精确到，并推断变量和的线性相关程度参考：若，则线性相关程度很强；若，则线性相关程度一般；如果，则线性相关程度较弱；
Ⅱ求年销售量关于年投资额的线性回归方程；
Ⅲ当公司对其产品研发的年投资额为万元时，估计产品的年销售量．
参考公式：对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，，，，其中，，，和，，，的均值分别为和．
称为变量和的样本相关系数．
线性回归方程中，，．
参考数据：．

22. 已知函数在区间内存在极值点．
    求的取值范围；
    判断关于的方程在内实数解的个数，并说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据排列组合公式计算即可．
本题考查排列数公式的应用，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：先从，，中选个排在个位，有种情况，
再从剩下的个数选个排在十位和百位，有种，
则根据分步乘法计数原理可得偶数的个数为个．
故选：．
先从，，中选个排在个位，再从剩下的个数选个排在十位和百位，根据分步乘法计数原理可求．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：展开式的通项，
令，可得，所求的系数为，
故选：．
在展开式的通项中令，可得，进而可求结论．
本题主要考查了二项展开式的通项的应用，要注意第项是而不是，这是解题中容易出现错误的地方．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可知，净化所需费用的瞬时变化率为，
，，
，
即净化到纯净度为左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为左右时净化费用变化率的倍，
故选：．
根据导数的概念可知净化所需费用的瞬时变化率即为函数的一阶导数，所以先求出导函数，然后将和代入进行计算，再求即可得到结果．
本题主要考查导数的实际意义，同时考查了导数的运算，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
由独立性检验的定义可知，变量与独立
故选：．
根据已知条件，结合独立性检验的定义，即可求解．
本题主要考查独立性检验的定义，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：可能取，，，其对应的概率为
，
，
，
．
故选：．
服从超几何分布，求出的分布列，根据数学期望的计算方法计算即可．
本题考查离散型随机变量的期望，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：人在次射击中击中目标的次数为，，
，
当，时，，
令，得，
，当时，概率最大，故C正确．
故选：．
，当，时，，令，能求出结果．
本题考查二项分布、组合数公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，设切点为，则切线方程为，
将点代入切线方程得，，化简得，
设，则，
令，解得，令，解得或，
在，上单调递减，在上单调递增，且，
作出函数的大致图象如下图所示，

由图象可知，要使直线与的图象有三个交点，则，
故选：．
求出切线方程为，代入点的坐标化简可得，设，依题意，直线与的图象有三个交点，利用导数研究函数的性质，进而作出草图，结合图象即可得解．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性及极值，考查转化思想及数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于选项，决定系数小，模型的拟合效果越差，错；
对于选项，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体，对；
对于选项，经验回归方程得到的是响应变量的预报值，不是响应变量的精确值，对；
对于选项，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，对．
故选：．
利用相关系数与模型的拟合效果可判断选项；利用经验回归方程的特点可判断选项；利用残差平方和与模型的拟合效果可判断选项．
本题考查了线性回归方程的有关知识，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：观察图像可以看出，甲的平均分为，小于乙的平均分，A正确；
图像中还可以看出乙地数据更加集中，故乙地方差更小，B错误；
根据对称性，选项错误；
若 时，根据题干数据，，根据对称性，，
另有，根据对称性，，
于是，选项正确．
故选：．
从图像的对称轴可以读出平均分大小关系，从图像的离散程度可分析出方差的关系，选项C利用正态曲线的对称性判断，选项D可以通过计算得出．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于：从、、、四个数中任取两个相交，得到不相等的和共有个，
从中任取两个相减，因为，，
所以得到不相等的差共有个，
所以，故A错误；
对于：的展开式中，含的项的系数为
，故B正确；
对于：
，为有理数，
则，故C正确；
对于：由二项式系数的性质可得，
，故D错误，
故选：．
对于：根据题意可得，，即可判断是否正确；
对于：的展开式中，含的项的系数为，即可判断是否正确；
对于：展开，解得，即可判断是否正确；
对于：由二项式系数的性质可得，，即可判断是否正确．
本题考查二项式定理的应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为有两个极值点，，
所以的两个根为，，
所以的两个根为，，
设，则有且只有两个零点，
所以在上唯一的极值不等于，
，
由上知，
令，得，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，
所以，
所以，，故A错误；
又，
所以，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以，故C错误；
，故D正确；
设，
所以，即关于对称，

，
令，


，
，
当时，，，，
所以在上，，单调递减，
所以在上，，
所以在上，，单调递增，
由于关于对称，则在单调递增，
所以，
所以，
又，
所以，
因为，，
所以，
由上可知在上单调递增，
所以，即，故B错误，
故选：．
根据题意可得的两个根为，，则的两个根为，，设，则有且只有两个零点，且在上唯一的极值不等于，解得的范围，即可判断是否正确；由上得，分析的单调性，即可判断，是否正确；设，则关于对称，求导分析的单调性，可得，又，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题注意转化思想的应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由，得，
，即曲线在点处的切线的斜率为，
则曲线在点处的切线方程为，即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得，将名博士分为组，必有名博士分到一组，
则不同的分配方案有种．
故答案为：．
将名博士分为组，再分配到个实验室，根据排列组合公式计算即可．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设每瓶饮料获得的利润为，则，
，
令得，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，取得最大值，
故答案为：．
写出利润关于的函数，利用导函数求出利润的最大值，以及此时的值．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为，
由，
得．
故答案为：．
根据题意和方差公式，以及方差的线性公式即可求解．
本题考查离散型随机变量的期望，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：设事件“任取一件产品是次品”，事件“产品取自第批，，”，与互斥，
由题意可知，，，，
Ⅰ这件产品是次品的概率为，
Ⅱ故取到的是次品，取自第一批产品的概率． 

【解析】设事件“任取一件产品是次品”，事件“产品取自第批，，”，与互斥，利用条件概率可解．
本题考查了条件概率相关知识，属于中档题．
 

18.【答案】解：Ⅰ二项展开式中只有第项的二项式系数最大，，
则展开式中的通项公式为，
令，求得，
故展开式中的常数项为，．
Ⅱ原式，
，，，，
则，
． 

【解析】Ⅰ先求出的值，可得二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值即可．
Ⅱ先得到原式，再利用二项式系数的性质，求解即可．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数．
 

19.【答案】解：由题意，，
由，得所以，，而．
所以．
由题意，知．
，的对应值表为：

于是，；；
；；
．
的分布列：

． 

【解析】答对的题数和得分列很容易列出一次函数关系，在利用二项分布的概率公式求；
根据中，的关系，及二项分布的概率公式来写出分布列，然后先求，利用数学期望运算性质求出．
本题考查离散型随机变量的期望，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：Ⅰ函数在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立，
令，，，
则在上单调递增，，，
的取值范围为；
Ⅱ要证时，，只须证明，
令，则，
令，，在上增函数，且，，使得，
即当时，，减函数，当时，，增函数，
，而，，，代入得，，
时，． 

【解析】Ⅰ根据导函数大于等于恒成立解之；
Ⅱ根据指数函数的性质若，则，转化要证不等式即可．
本题考查了导数的运用及转化与化归思想方法的运用，是高档题．
 

21.【答案】解：Ⅰ由题意，，
，
，
，
所以，
因为，所以变量和的线性相关程度很强．
Ⅱ，
，
所以年销售量关于年投资额的线性回归方程为．
Ⅲ当时，由Ⅱ，，
所以研发的年投资额为万元时，产品的年销售量约为千件． 

【解析】Ⅰ计算出相关系数所需的数据，根据公式即可求出；
Ⅱ根据公式即可求出和即可得出回归方程；
Ⅲ代入即可求出．
本题考查了线性回归方程的求解计算以及利用线性回归方程作出预测，属于中档题．
 

22.【答案】解：
当时，因为，所以．
所以在上单调递减，所以在上无极值点．
故不符合题意．
当时，因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增．
又，
所以存在唯一的，使得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以在内存在极小值点，满足题意．
综上，的取值范围是．
当时，单调递减．
又，所以存在唯一的，使得．
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
又，所以存在唯一的，使得．
当时，；当时，．
又当时，恒成立，
结合知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
又因为，，，，，
所以在内共有三个零点，方程在内的实数解有三个． 

【解析】求出函数导数，讨论和，讨论导数的正负即可求解；
两次求导，根据零点存在性定理进行判断可以得出．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的综合能力，属于难题．