2021-2022学年河南省商丘市名校高二（下）期末数学试卷（文科）-普通用卷

2021-2022学年河南省商丘市名校高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数满足其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 已知命题：，使得，命题：，，则下列命题为真命题的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为(    )

A.  B.  C.  D.

5. “”是“函数在区间上单调递减”的(    )

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 有一段演绎推理：“正弦函数是奇函数，是正弦函数，故是奇函数”，对以上推理说法正确的是(    )

A. 大前提错误，导致结论错误 B. 小前提错误，导致结论错误
C. 推理形式错误，导致结论错误 D. 结论正确

7. 为了解某地区居民体育锻炼是否达标与性别之间的关系，用简单随机抽样的方法从该地区调查了位居民，根据调查结果得到列联表如下：

根据表格数据，下列结论正确的是(    )
参考公式及数据：，其中．

A. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为该地区居民体育锻炼是否达标与性别无关
B. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为该地区居民体育锻炼是否达标与性别无关
C. 有的把握认为该地区居民体育锻炼是否达标与性别有关
D. 有的把握认为该地区居民体育锻炼是否达标与性别有关

8. 函数的图象不可能是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 已知，，，则实数，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知偶函数的定义域为，且当时，，则使不等式成立的实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 若对任意的实数，不等恒成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数若方程有个不同的实数解，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知函数则______．
14. 某同学收集了具有线性相关关系的两个变量，的一组样本数据，经计算得到回归直线方程为，且，，则______．
15. 已知复数满足，则的取值范围是______．
16. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______．

三、解答题（本大题共7小题，共82分）

17. 已知命题：，命题：．
    当时，和均是真命题，求实数的取值范围；
    若是的充分条件，求实数的取值范围．
18. 已知函数．
    求与，与的值；
    由中求得的结果，猜想与的关系并证明你的猜想；
    求的值．
19. 已知函数．
    判断的奇偶性；
    当时，用单调性的定义证明在上是增函数．
20. 网络是指第五代移动网络通讯技术，它的主要特点是传输速度快，峰值传输速度可达每秒钟数十作为新一代移动通讯技术，它将要支持的设备远不止智能手机，而是会扩展到未来的智能家居，智能穿戴等设备．某科技创新公司基于领先技术的支持，经济收入在短期内逐月攀升，该公司月份至月份的经济收入单位：万元关于月份的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图．

根据散点图判断，与均为常数哪一个更适合作为经济收入关于月份的回归方程类型给出判断即可，不必说明理由？
根据的结果及表中数据，求出关于的回归方程结果保留两位小数；
根据所求得的回归方程，预测该公司月份的经济收入结果保留两位小数．
参考公式及参考数据：
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式为：，．

其中，．

21. 已知定义在上的函数满足，且，．
    求的解析式；
    若不等式恒成立，求实数的取值范围；
    设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
    求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
    若，直线与曲线交于，，求的值．
23. 已知函数．
    当时，解不等式；
    若存在，使得方程有解，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，，
由题意知，，
则．
故选：．
求出集合和，利用交集定义能求出．
本题考查集合运算，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：复数，
所以，
则在复平面内对应点的坐标为，位于第一象限．
故选A．
利用复数运算公式可求，进而求其共轭复数可解．
本题考查了复数的运算以及共轭复数的求法，属于简单题．
 

3.【答案】 

【解析】解：设，则，
当时，当时，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，即恒成立，
命题是假命题，
当时，故命题是假命题，
所以，，均为假命题，为真命题．
故选：．
判断出命题，命题的真假，即可解出．
本题考查了简易逻辑，命题的真假，学生的逻辑推理能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为，即，
，即的定义域为．
又，，取交集可得函数的定义域为．
故选：．
由已知求得的定义域，结合分式的分母不为，可得函数的定义域．
本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：若函数在区间上单调递减，
当时，在上单调递减，
当时，若要使得在上单调递减，
则且，解得，
综上，的求值范围为，
故“”是“函数在区间上单调递减“的充分不必要条件，
故选：．
利用二次函数的单调性求出，再利用充要条件的定义判定即可．
本题考查了二次函数的单调性，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，演绎推理中，大前提为：正弦函数是奇函数，正确；
小前提为：是正弦函数，错误；
结论：是奇函数，也是错误的，
故选：．
根据题意，分析该演绎推理中大前提、小前提和结论是否正确，即可得答案．
本题考查演绎推理，涉及函数奇偶性的性质与判断方法，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：随机变量的观测值，
所以有的把握认为该地区居民体育锻炼是否达标与性别有关．
故选：．
计算，对照题目中的表格，得出统计结论．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
当时，，是反比例函数，符合选项B；当时，可知函数只有一个对应的的值，显然选项D错误．
本题考查函数的图象，一般从函数的单调性、奇偶性和特殊点处的函数值等方面考虑，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
【解答】
解：当时，是反比例函数，对应着选项B的函数图象；
当时，令，则，即函数只有一个对应的的值，
而选项D中有个的值对应的，不符合．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：，，
，所以；，，所以，则．
所以，
故选C．
利用对数的运算公式得，都大于，在利用作商法可比较，，再与特殊值进行比较可解．
本题考查了对数的运算公式，以及比较大小的相关知识，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，，所以在上单调递增，且，不等式等价为．
又因为是偶函数，所以不等式等价于，则，
所以得，得，
解得．
综上可知，实数的取值范围为．
故选：．
判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．
本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质将不断进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：当时，要使得不等式有意义，
需要在恒成立，
可得，
此时不等式恒成立等价于恒成立，
即，
令，则，且，
所以，
因为在上单调递减，
所以，当时，取得最大值为，
所以实数的取值范围是，
故选：．
当时，要使得不等式有意义，即得，不等式恒成立等价于恒成立，
即，即可得出答案．
本题考查恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：函数的大致图象如图所示，

对于方程有个不同的实数解，
令，
则在，上各有一个实数解或的一个解为，另一个解在内，
或的一个解为，另一个解在内，
当在，上各有一个实数解时，
设，则解得，
当的一个解为时，，
此时方程的另一个解为，不在内，不满足题意，
当的一个解为时，，
此时方程的另一个解为，在内，满足题意，
综上可知，实数的取值范围为
故选：．
作出函数的大致图象，对于方程有个不同的实数解，令，则在，上各有一个实数解或的一个解为，另一个解在内，或的一个解为，另一个解在内，分别讨论，求出的值．
本题考查函数与方程的关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：函数，
，
，
故答案为：．
由题意，根据分段函数的解析式，先求出的值，可得要求式子的值．
本题主要考查分段函数的应用，根据函数的解析式求函数的值，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意知，，，
因为样本中心点满足回归直线方程，
所以．
故答案为：．
根据题意，求解，的值，代入回归直线方程即可求解．
本题考查了回归直线方程的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设复数，因为，即，
所以在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上及圆内，
所以表示到的距离，则，
，
故答案为：．
利用复数代数形式表示出来，再利用圆的性质，即可解出．
本题考查了复数的几何意义，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意，因为，则有，
又因为是定义在上的奇函数，所以，
联立可得：，即，
所以，即函数是周期为的周期函数．
又，，，则有，
当时，，则，
则；
故答案为：．
根据题意，先分析函数的周期，由函数的对称性可得，，，即，由函数的解析式求出的值，由此计算可得答案．
本题考查函数的周期性和函数值的计算，涉及函数奇偶性的性质以及应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：当时，
对于，即为，，
对于，，，，
当和均是真命题时，，
故实数的取值范围是．
对于：，解得，
若是的充分条件，则，
，解得，
故实数的取值范围是． 

【解析】先解一元二次不等式，对数不等式求出和，再利用和均是真命题，求解即可．
先解一元二次不等式求出，再利用充要条件的定义列出不等式，求解即可．
本题考查了一元二次不等式，对数不等式的解法，充要条件的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：函数，，，，．
由知，，，
猜想．
证明：函数，，
故猜想成立．
由知，，，
． 

【解析】由题意，根据函数的解析式求函数的值．
利用不完全归纳法猜出结论，再证明．
由题意，利用结论，计算得出结论．
本题主要考查根据函数的解析式求函数的值，函数值的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：根据题意，，其定义域为．
当时，，有，是偶函数．
当时，，则，
且，则既不是奇函数也不是偶函数．
综上可知，当时，是偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数．
根据题意，当时，，
任取，，且，
则．
因为，所以，，，
所以，即
所以在上是增函数． 

【解析】根据题意，分与两种情况讨论，分析函数的奇偶性，即可得结论；
根据题意，利用作差法分析可得结论．
本题考查函数的奇偶性和单调性的证明，判断奇偶性注意讨论的取值，属于基础题．
 

20.【答案】解：由散点图可知，更适合作为经济收入关于月份的回归方程类型；
的两边取自然对数，得，
因为，，，，
所以，，所以，
所以经济收入关于月份的回归方程为；
当时，，
预测该公司月份的经济收入约为万元． 

【解析】由散点图可知，更适合作为经济收入关于月份的回归方程类型；
的两边取自然对数，得，把已知数据代入即可求解；
把代入的结果即可求解．
本题考查了回归方程的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意知，，
即，
所以，
故．
由知，，
所以在上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
即恒成立，
设，则，，当且仅当，即时取等号，
所以，
所以实数的取值范围是．
因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
的对称轴为，，
当时，在上单调递增，
所以，解得，
所以，
 当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，
所以，
当时，在上单调递减，
所以，解得，
所以，
综上可知，实数的取值范围是． 

【解析】由得，解得，即可得出答案．
由知，，求导分析单调性，则不等式恒成立等价于，即恒成立，即可得出答案．
因为对任意的，存在，使得，只需在上的最小值不小于在上的最小值，即可得出答案．
本题考查恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：直线的参数方程为为参数，转换为普通方程为，
利用互化公式，，，
得到曲线的直角坐标方程为，
即．
把代入，
化简整理得，
，
设，对应的参数分别为，，
则，；
． 

【解析】直接利用转换关系，把直线的参数方程为转换为普通方程为，进一步把圆的极坐标方程转换为．
利用直线和圆的关系式整理得，进一步利用根和系数的关系式求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

23.【答案】解：当时，，
不等式等价于或或，解得或，
故不等式的解集为．
．
记，
可知在上单调递增，所以的值域为，
即，，所以实数的取值范围为． 

【解析】将代入，分类讨论解不等式即可；
由绝对值不等式的性质可得，记，求出的值域即可得解．
本题主要考查绝对值不等式的性质及其解法，考查运算求解能力，属于中档题．