初中数学浙教版九年级上册第3章 圆的基本性质综合与测试习题

浙教版初中数学九年级上册第三单元《圆的基本性质》

考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知的面积为(    )

A. 若，则点在内 B. 若，则点在外
C. 若点在内，则 D. 若点在上，则

2. 在直角三角形中，，，，则这个三角形的外接圆直径为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，将平行四边形绕点逆时针旋转到平行四边形的位置，使点落在上，与交于点，若，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 如图，在中，，如图，将图中的边边绕点按逆时针方向旋转一周回到原来的位置，得到线段在整个旋转的过程中，若，则的大小为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

5. 如图，已知的直径弦于点，下列结论中一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图所示是一个圆弧形隧道的截面，若路面宽为米，净高为米，则此隧道所在圆的半径是(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

7. 如图，为的一固定直径，它把分成上、下两个半圆，自上半圆上一点作弦，的平分线交于点，当点在上半圆不包括，两点上移动时，点(    )

A. 到的距离保持不变
B. 位置不变
C. 等分
D. 随点的移动而移动

8. 如图，与轴交于点，，与轴的正半轴交于点若，则点的纵坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，四边形内接于，连接若，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，是的外接圆，且，，在上取点不与点，重合，连接，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，扇形中，，，点在上，连接，点关于的对称点刚好落在上，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，在中，是的弦，的半径为为上一点，，则的长为______．

14. 如图，的直径垂直弦于点，且，，则______．

15. 如图，点、、分别是上的点，，，则的半径为______．

16. 如图，分别以等腰的边，，为直径画半圆，，则阴影部分的面积是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，城市的正北方向千米的处，有一无线电信号发射塔已知，该发射塔发射的无线电信号的有效半径为千米，是一条直达城的公路，从城发往城的班车速度为千米小时．
     

当班车从城出发开往城时，某人立即打开无线电收音机，班车行驶了小时的时候，接收信号最强此时，班车到发射塔的距离是多少千米离发射塔越近，信号越强

班车从城到城共行驶小时，请你判断到城后还能接收到信号吗请说明理由．

18. 如图，菱形的对角线，相交于点，四条边，，，的中点分别为，，，这四个点共圆吗？圆心在哪里？

19. 在一平面内，线段，线段，将这四条线段顺次首尾相接．把固定，让绕点从开始逆时针旋转角到某一位置时，，将会跟随出现到相应的位置．
    如图，当时，设与交于点，______；
    发现：当旋转角时，______；
    尝试与猜测：取线段的中点，点与点的最大距离为______，此时到的距离与到的距离的关系是______．

20. 如图，为的弦，半径，分别交于点，且．
    求证：；
    作半径于点，若，，求的长．

21. 如图，是的内接三角形，点是优弧上一点，设．
    

猜想：关于的函数表达式，并给出证明：

若，，，求的长．

22. 如图，，是的两条弦，延长，交于点，连结，交于点，，，求的度数．

23. 如图，是的直径，是的中点，，垂足为，交于点．
     

求证：；

若，的半径为，求的长．

24. 在学习圆与正多边形时，小昌、小要两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法：

如图，作直径

作半径的垂直平分线，交于，两点

连接、，那么为所求的三角形．

请你按照两位同学设计的画法，画出

请你判断两位同学的作法是否正确如果正确，给出是正三角形的证明过程如果不正确，请说明理由．

25. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，扇面的长为求扇面的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：设的半径为，
根据题意，得：，
解得负值舍去，
A.若，则点在外，此选项不符合题意；
B.若，则则点在内，此选项不符合题意；
C.若点在内，则，此选项不符合题意；
D.若点在上，则，此选项符合题意；
故选：．
设的半径为，由圆的面积求出其半径，再根据点与圆的位置关系判断依据依次判断各选项可得．
本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，解题的关键是记住直角三角形的斜边就是外接圆的直径．
先根据勾股定理，得其斜边是，再根据直角三角形的外接圆的直径等于斜边即可求解．
【解答】
解：，，，
，
其外接圆的直径为．  

3.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

由旋转可知，，，，
∽，
：：：，，
，
又，，
，即点，，在同一条直线上，
，
又，，
∽，
：：：，即：：：，
设，，
：：：，
，
，
故选：．
由相似三角形的性质可求的长，通过证明∽，可求解．
本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，证明∽是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：当与第一次平行时，
；
当与第二次平行时，
，
综上所述：的大小为或．
故选：．
分两种情况：当与第一次平行时，则，当与第二次平行时，则．
本题主要考查了旋转的性质，以及平行线的性质，运用分类讨论思想是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了垂径定理，熟练地应用垂径定理是解决问题的关键．
根据直径弦于点，由垂径定理求出，，即可得出答案．
【解答】
解：根据的直径弦于点
．
故选B．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了垂径定理的应用，勾股定理等知识，先从实物图中得到几何图形----圆，然后利用垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧得到等线段，最后利用勾股定理建立等量关系，解方程求解．根据垂径定理得到，设半径，，在中根据勾股定理得，然后解方程求出即可．
【解答】
解：，
，
在中，设半径，，
，即，解得，
此隧道圆的半径是  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理的推论．
连，由平分，得到，而，所以有，则，即可得到平分半圆．
【解答】
解：连，如图，

平分，
，
而，有，
，
，
又弦，
，
平分半圆，即点是半圆的中点．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：连接，，，过作于，轴于，

，
，
，
，
，，
，
，
，，
，轴，，
四边形是矩形，
，，
，
，
点的纵坐标为，
故选：．
连接，，，过作于，于，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，由垂径定理得到，解直角三角形得到，，根据勾股定理得到，求出，即可求解．
本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，，，
，
，
，
，
，
．

故选：．
连接，，，根据圆周角定理得出，再根据得到，从而得到，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．
本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
故选：．
利用等腰三角形的性质可得，从而利用圆内接四边形的性质可求出，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及圆内接四边形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

是等边三角形，
，
，
是正五边形，
，
．
故选：．
如图，连接利用正多边形的性质求出，，可得结论．
本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是弧长的计算、轴对称的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
根据轴对称的性质得到为等边三角形，进而得到的度数，再利用弧长公式求解即可．
【解答】
解：连接，

点是点关于的对称点，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
的长 ．
故选B．  

13.【答案】 

【解析】解：连接并延长交于点，

是的直径，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：．
连接并延长交于点，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用同弧所对的圆周角相等可求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，过，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
求出半径，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可．
本题考查了勾股定理，垂径定理等知识点，能求出是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，．

，，
，
，
故答案为：．
如图，连接，证明是等腰直角三角形，可得结论．
本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：是直角三角形，
，
以等腰的边、、为直径画半圆，
，，，
，
所得两个月型图案和的面积之和图中阴影部分的面积；
故答案为：．
根据勾股定理得出，进而得出半圆面积解答即可．
此题考查扇形的面积，三角形的面积等知识，关键是根据图中阴影部分的面积解答．
 

17.【答案】解：过点作于点，

设班车行驶了小时的时候到达点．根据此时接受信号最强，则，又千米，千米．
所以千米．
故车到发射塔的距离是千米．

连接，

千米，千米，
千米，
．
故到城能接到信号． 

【解析】

【分析】
本题考查点与圆的位置关系和勾股定理的应用．
根据路程速度时间求得班车行驶了小时的路程，再根据勾股定理就可得到班车到发射塔的距离．
根据勾股定理求得的长，再根据有效半径进行分析．
能够正确理解题意，熟练运用勾股定理进行计算．  

18.【答案】解：，，，四点共圆，圆心为点．
理由：连接，，，图略．
菱形的对角线互相垂直平分，
≌≌≌．
，，，分别是四个直角三角形斜边的中点，
．
，，，四点共圆，圆心为菱形对角线的交点． 

【解析】见答案
 

19.【答案】       

【解析】解：如图，，

，，
在和中，
，
≌，
，
，
；
发现：如图，

当从初始位置绕逆时针旋转时，也从初始位置绕点逆时针旋转，旋转到的位置，此时与重合，
，，
是等边三角形，
，
此时；
如图：

当从绕逆时针旋转时，从的位置开始也旋转，故，和都是等边三角形，
此时；
综上所述，为；
尝试与猜测：如图，取线段的中点，当点与点距离最大时，、、共线，点与点的最大距离为，
过作于，过作于，过点作于，

，
，是的中点，
，，
，，
．
故答案为：，，，．
如图：由≌，得，而，可得；
发现：如图，因为的中点为，当从初始位置绕逆时针旋转时，也从初始位置绕点逆时针旋转，旋转到的位置，即与重合，从而可得；
如图，当从绕逆时针旋转时，可得此时；
尝试：当点与点距离最大时，、、共线，作辅助线，构建和，根据三角形的中位线可解答．
本题考查三角形的中位线定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质、等边三角形判定与性质、等知识，有难度，解题的关键是正确画图，掌握旋转的性质和理解旋转时，将会跟随出现到相应的位置．
 

20.【答案】证明：连接、，如图所示：
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．

解：连接，如图所示：
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
． 

【解析】连接、，证明≌，即可得出结论；
连接，由垂径定理得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：猜想：；
证明：如图，连结，

，
，
，
；
如图所示：延长交于点，过点作的平行线交于点，连接，，．

，，
中边上的高为；
为直径，
，
，，
，
此时点与点重合或与点重合，
或． 

【解析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形的面积，直角三角形的性质以及三角形的内角和定理添加辅助线是解题的关键，注意分类讨论思想的运用．
连接，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求出，根据圆周角定理计算即可；
添加辅助线，利用三角形的面积公式求出边上的高，利用圆周角定理的推论得到，求出长，分两种情况，确定的位置，进而求出的长．
 

22.【答案】解：为的外角

，

由圆周角定理，得，
． 

【解析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，及三角形内角与外角的关系．
由为的外角可知，可求出的度数，由圆周角定理可求知．
 

23.【答案】证明：连接，如图：

是弧的中点，
，
又，
在中，，

，
；
解：作于点，

是弧的中点，
，
即是的角平分线，
，，
在与中，
，，
≌，
，
，
即，
，即，
易证∽，
，
舍去负值． 

【解析】此题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，属于中档题．
连接，根据已知条件利用等角对等边可以得到；
作于点，先利用判定≌，推出，根据边之间的关系可求得的值，再根据相似三角形的判定得到∽，根据相似三角形的对应边成比例，可得到，由此求得的值，注意负值要舍去．
 

24.【答案】解：如图，为所作；

两位同学的作法正确．
证明：交于，连接、，
垂直平分，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
垂直平分，
，
为等腰三角形，
而，
为等边三角形． 

【解析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质．
利用基本作图，作的垂直平分线可得到；
交于，连接、，如图，先根据线段垂直平分线的性质得到，则可判断为等边三角形，所以，根据圆周角定理得到，再利用垂径定理得到垂直平分，则，于是可判断为等边三角形．
 

25.【答案】解：大扇形面积，  小扇形面积， 
扇面的面积 
答：扇面的面积是． 

【解析】见答案