湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题(word版含答案)

这是一份湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题(word版含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校
七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列冬奥会的会徽图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，将含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，已知∠A＝30°，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到x轴的距离为（　　）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
4．（3分）下列调查中，最适合普查方法的是（　　）
A．了解一批灯泡的使用寿命
B．了解全国人民对湖南卫视“声入人心”栏目的收视率
C．了解全国中学生体重情况
D．了解某班学生对电影“我和我的祖国”的收视率
5．（3分）一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（　　）

A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱
6．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）
7．（3分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（　　）
A．360° B．540° C．720° D．900°
8．（3分）若不等式组无解，则m的取值范围为（　　）
A．m≤2 B．m＜2 C．m≥2 D．m＞2
9．（3分）方程ax﹣4y＝x﹣1是关于x，y的二元一次方程，则a的取值为（　　）
A．a≠0 B．a≠4 C．a≠1 D．a≠﹣1
10．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE，下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE．其中正确的是（　　）

A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
二.填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）对于我们而言，水是生命之源，但对于在轨驻留的航天员而言，水和氧气都是生命之源．在过去的1年里，3名神舟13号航天员顺利完成长达6个月的在轨驻留，创造了新的纪录．中国空间站有一套非常完善的“再生生保”系统，解决了生活用水和氧气问题．我们来简单地算一笔账，一个成年人一天需要570升氧气，那么3名航天员每天需要约1700升氧气，6个月需要约31万升氧气，则31万这个数用科学记数法表示为 　 　．
12．（3分）若多项式2x2+3x+7的值为10，则多项式6x2+9x﹣7的值为 　 　．
13．（3分）如图，∠ACD＝120°，∠B＝25°，则∠A的度数是　 　°．

14．（3分）在△ABC中，AB＝5，BC＝3，则AC的长m的取值范围是 　 　．
15．（3分）如图，AD是△ABC的中线，G是AD上的一点，且AG＝2GD，连BG，若S△ABC＝8，则图中阴影部分的面积 　 　．

16．（3分）如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝　 　．

三.解答题（共9小题，17、18、19题6分每题，20、21题8分每题，22、23题9分每题，24、25题10分每题）
17．（6分）计算：+|1﹣|．
18．（6分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．

19．（6分）解方程组：
（1）；
（2）．
20．（8分）短视频因其交互性强、地城不受限制、受众可划分等特点而广受欢迎，但也不可避免传播了低俗扭曲的不良信息．某市网监办设计了对短视频的态度问卷，四种态度：非常支持、坚决取缔、无所谓、引导管控（以下分别用A，B，C，D表示），调查者在社区对各年龄段居民进行了随机抽查，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据以上信息解答：

（1）本次参加抽样调查的居民有 　 　人；
（2）将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中A所对圆心角的度数．
（3）若该市某小区有3000人，请根据统计情况，估计该小区非常支持短视频的人数．
21．（8分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度数．

22．（9分）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
23．（9分）如图，在△OBC中，边BC的垂直平分线DP交∠BOC的平分线于点D，连接DB、DC，过点D作DF⊥OC于点F．
（1）若∠BOC＝60°，OB⊥BC，求∠PDF的度数；
（2）若OB＝3，OC＝5，求OF的长．

24．（10分）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，两个不等式的解集相同，则称A与B为同解不等式．
（1）若关于x的不等式A：1﹣3x＞0，不等式B：＜1是同解不等式，求a的值；
（2）若关于x的不等式C：x+1＞mn，不等式D：x﹣3＞m是同解不等式，其中m，n是正整数，求m，n的值；
（3）若关于x的不等式P：（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0，不等式Q：﹣2x是同解不等式，试求关于x的不等式（a﹣4b）x+2a﹣3b＜0的解集．
25．（10分）如图1．在平面直角坐标系中，点A（a，b），连接OA，将OA绕点O逆时针方向旋转90°到OB．

（1）求点B的坐标；（用字母a，b表示）
（2）如图2，延长AB交x轴于点C，过点B作BD⊥AC交y轴于点D，求证：OC＝OD；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点O作OM∥BD，若BC＝4，求OM的长．


2021-2022学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校
七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列冬奥会的会徽图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）如图，将含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，已知∠A＝30°，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】根据平行线的性质求出∠3＝∠1＝40°，根据三角形的外角性质求出∠2＝∠3+∠A，代入求出即可．
【解答】解：
∵EF∥MN，∠1＝40°，
∴∠1＝∠3＝40°，
∵∠A＝30°，
∴∠2＝∠A+∠3＝70°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能求出∠3的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到x轴的距离为（　　）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【分析】纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离．
【解答】解：∵|4|＝4，
∴点P（﹣3，4）到x轴距离为4．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．
4．（3分）下列调查中，最适合普查方法的是（　　）
A．了解一批灯泡的使用寿命
B．了解全国人民对湖南卫视“声入人心”栏目的收视率
C．了解全国中学生体重情况
D．了解某班学生对电影“我和我的祖国”的收视率
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【解答】解：A、了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故A不符合题意；
B、了解全国人民对湖南卫视“声入人心”栏目的收视率，适合抽样调查，故B不符合题意；
C、了解全国中学生体重情况，适合抽样调查，故C不符合题意；
D、了解某班学生对电影“我和我的祖国”的收视率，适合普查，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．（3分）一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（　　）

A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱
【分析】根据四棱锥的侧面展开图得出答案．
【解答】解：如图所示：这个几何体是四棱锥．
故选：A．
【点评】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．
6．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出结论．
【解答】解：根据轴对称的性质，得点P（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查平面直角坐标系点的对称性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
7．（3分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（　　）
A．360° B．540° C．720° D．900°
【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和；根据一个外角得60°，可知对应内角为120°，很明显内角和是外角和的2倍即720．
【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，
该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．
8．（3分）若不等式组无解，则m的取值范围为（　　）
A．m≤2 B．m＜2 C．m≥2 D．m＞2
【分析】根据大大小小无解集得到4m≤8，即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：4m≤8，
∴m≤2．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的解集，不要忘记可以取等号是解题的关键．
9．（3分）方程ax﹣4y＝x﹣1是关于x，y的二元一次方程，则a的取值为（　　）
A．a≠0 B．a≠4 C．a≠1 D．a≠﹣1
【分析】根据二元一次方程的定义来分析，先通过移项合并同类项将等式变形再做判断．
【解答】解：ax﹣4y＝x﹣1
ax﹣x﹣4y+1＝0
（a﹣1）x﹣4y+1＝0
a﹣1≠0
即a≠1
故选：C．
【点评】本题是一道考查二元一次方程的定义的习题，方程中未知数的系数不能为0，掌握这个知识点，是解题的关键．
10．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE，下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE．其中正确的是（　　）

A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝BF，全等三角形对应角相等可得∠F＝∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD面积相等，故①正确；
∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；
∴∠F＝∠DEC，
∴BF∥CE，故④正确；
∵△BDF≌△CDE，
∴CE＝BF，故⑤错误，
正确的结论为：①③④，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
二.填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）对于我们而言，水是生命之源，但对于在轨驻留的航天员而言，水和氧气都是生命之源．在过去的1年里，3名神舟13号航天员顺利完成长达6个月的在轨驻留，创造了新的纪录．中国空间站有一套非常完善的“再生生保”系统，解决了生活用水和氧气问题．我们来简单地算一笔账，一个成年人一天需要570升氧气，那么3名航天员每天需要约1700升氧气，6个月需要约31万升氧气，则31万这个数用科学记数法表示为 　3.1×105　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：31万＝310000＝3.1×105．
故答案为：3.1×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）若多项式2x2+3x+7的值为10，则多项式6x2+9x﹣7的值为 　2　．
【分析】由题意得2x2+3x＝3，将6x2+9x﹣7变形为3（2x2+3x）﹣7可得出其值．
【解答】解：由题意得：2x2+3x＝3
6x2+9x﹣7＝3（2x2+3x）﹣7＝2．
【点评】本题考查整式的加减，整体思想的运用是解决本题的关键．
13．（3分）如图，∠ACD＝120°，∠B＝25°，则∠A的度数是　95　°．

【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∠A＝∠ACD﹣∠B
＝120°﹣25°
＝95°，
故答案为：95．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
14．（3分）在△ABC中，AB＝5，BC＝3，则AC的长m的取值范围是 　2＜m＜8　．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
5﹣3＜m＜5+3，
即2＜m＜8．
故答案为：2＜m＜8．
【点评】考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
15．（3分）如图，AD是△ABC的中线，G是AD上的一点，且AG＝2GD，连BG，若S△ABC＝8，则图中阴影部分的面积 　　．

【分析】根据三角形的中线的性质进行解答即可．
【解答】解：∵S△ABC＝8，AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝4，
∵AG＝2GD，
∴S△ABG＝，
故答案为：．
【点评】本题考查三角形的面积问题．其中根据同高三角形面积的比等于对应底边的比是解决本题的关键．
16．（3分）如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝　2　．

【分析】解法一：由已知条件可得BD＝7，∠A＝90°，∠CED＝90°，可得AB＝＝2，则CE＝2，DE＝＝5，由BE＝BD﹣DE可得出答案．
解法二：根据已知条件可得Rt△ABD≌Rt△ECD，则AD＝DE＝5，而BD＝CD＝7，根据BE＝BD﹣DE可得出答案．
【解答】解法一：∵BD＝CD，CD＝7，
∴BD＝7，
∵AB⊥AD，
∴∠A＝90°，
∵AD＝5，
∴AB＝＝2，
∵AB＝CE，
∴CE＝2，
∵CE⊥BD，
∴∠CED＝90°，
∴DE＝＝5，
∴BE＝BD﹣DE＝2．
故答案为：2．
解法二：∵AB⊥AD，CE⊥BD，
∴∠A＝∠CED＝90°，
∵AB＝CE，BD＝CD，
∴Rt△ABD≌Rt△ECD（HL），
∴AD＝DE＝5，
∵BD＝CD，CD＝7，
∴BD＝7，
∴BE＝BD﹣DE＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理与全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
三.解答题（共9小题，17、18、19题6分每题，20、21题8分每题，22、23题9分每题，24、25题10分每题）
17．（6分）计算：+|1﹣|．
【分析】首先计算乘方、开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：+|1﹣|
＝4+（﹣2）+4+（﹣1）
＝4+（﹣2）+4+﹣1
＝5+．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．（6分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由15﹣9x≤10﹣4x，得：x≥1，
由﹣＞﹣2，得：x＜4，
则不等式组的解集为1≤x＜4，
将解集表示在数轴上如下：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（6分）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】利用加减消元或代入消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：（1），
①×5+②得12x＝6，
x＝，
把x＝代入①得y＝﹣，
∴方程组的解是；
（2），
化简整理方程组得，
①×3+②×2得13x＝26，
x＝2，
把x＝2代入①得y＝3，
∴方程组的解是．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键要掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组．
20．（8分）短视频因其交互性强、地城不受限制、受众可划分等特点而广受欢迎，但也不可避免传播了低俗扭曲的不良信息．某市网监办设计了对短视频的态度问卷，四种态度：非常支持、坚决取缔、无所谓、引导管控（以下分别用A，B，C，D表示），调查者在社区对各年龄段居民进行了随机抽查，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据以上信息解答：

（1）本次参加抽样调查的居民有 　50　人；
（2）将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中A所对圆心角的度数．
（3）若该市某小区有3000人，请根据统计情况，估计该小区非常支持短视频的人数．
【分析】（1）根据B类有5人，占10%，据此即可求得抽查的总人数；
（2）利用总数减去其它各组的人数即可求得C类的人数，进而补全条形统计图；用360°乘A所占比例即可求出扇形统计图中A所对圆心角的度数；
（3）利用总数3000乘以对应的百分比即可求解．
【解答】解：（1）本次参加抽样调查的居民有：5÷10%＝50（人），
故答案为：50；
（2）C类的人数为：50﹣15﹣5﹣20＝10（人），
补全条形统计图如下：

扇形统计图中A所对圆心角的度数为＝108°；
（3）3000×＝900（人），
答：估计该小区非常支持短视频的人数为900人．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．（8分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度数．

【分析】（1）由AB＝CB，∠ABC＝90°，AE＝CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB＝CB，∠ABC＝90°，即可求得∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF＝∠BCF+∠ACB即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝45°，
又∵∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°，
由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°，
∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝45°+15°＝60°．
【点评】此题考查了直角三角形全等的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
22．（9分）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．
【解答】解：（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，
由题意可得：，
解得，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）设采购篮球x个，则采购足球为（50﹣x）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
∴，
解得30≤x≤33，
∵x为整数，
∴x的值可为30，31，32，33，
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
23．（9分）如图，在△OBC中，边BC的垂直平分线DP交∠BOC的平分线于点D，连接DB、DC，过点D作DF⊥OC于点F．
（1）若∠BOC＝60°，OB⊥BC，求∠PDF的度数；
（2）若OB＝3，OC＝5，求OF的长．

【分析】（1）作DE⊥OB交OB的延长线于点E，然后根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可以得到Rt△DEB≌Rt△DFC，再根据∠BOC＝60°和全等三角形的性质即可得到∠PDF的度数；
（2）根据全等三角形的性质可以得到OB，OC，OF之间的数量关系．进而可以解决问题．
【解答】解：（1）如图，作DE⊥OB交OB的延长线于点E，

∵OD平分∠BOC，DF⊥OC，点D在BC的垂直平分线上，
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，DB＝DC，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠BDE＝∠CDF，
∴∠BDE+∠BDF＝∠CDF+∠BDF，
即∠EDF＝∠BDC，
∵∠OED＝∠OFD＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠EDF＝120°，
∴∠BDC＝120°，
∵OB⊥BC，∠BOC＝60°，
∴∠OCB＝30°，
∵DF⊥OC，PD⊥BC，
∴∠PDF＝∠OCB＝30°；
（2）由（1）可知：△DEB≌△DFC，
∴BE＝CF，
∵OB+OC＝OB+OF+FC，
∴OB+OC＝OB+OF+EB＝（OB+EB）+OF＝OE+OF，
∵∠DEO＝∠DFO＝90°，DE＝DF，
在Rt△DEO和Rt△DFO中，
，
∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），
∴OE＝OF，
∴OB+OC＝2OF．
∵OB＝3，OC＝5，
∴OF＝4．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（10分）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，两个不等式的解集相同，则称A与B为同解不等式．
（1）若关于x的不等式A：1﹣3x＞0，不等式B：＜1是同解不等式，求a的值；
（2）若关于x的不等式C：x+1＞mn，不等式D：x﹣3＞m是同解不等式，其中m，n是正整数，求m，n的值；
（3）若关于x的不等式P：（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0，不等式Q：﹣2x是同解不等式，试求关于x的不等式（a﹣4b）x+2a﹣3b＜0的解集．
【分析】（1）利用题干中的同解不等式的定义求解；
（2）利用题干中的同解不等式的定义及整除定义求解；
（3）利用题干中的同解不等式的定义求出字母的取值，再解字母系数的不等式．
【解答】解：（1）解关于x的不等式A：1﹣3x＞0，得x＜，
解不等式B：＜1，得x＜，
由题意得：＝，
解得：a＝1．
（2）解不等式C：x+1＞mn得：x＞mn﹣1，
不等式D：x﹣3＞m得：x＞m+3，
∴mn﹣1＝m+3，
∴m＝，
∵m，n是正整数，
∴n﹣1为1或4，
∴m＝4，n＝2或；m＝1．n＝5．
（3）解不等式P：（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0得：x＞（2a﹣b＜0），
解不等式Q：﹣2x得：x＞，
∴＝，
∴7a＝8b，
∵2a﹣b＜0，
∴4b＝3.5a，且a＜0，
∴a﹣4b＝a﹣3.5a＝﹣2.5a＞0，
∴（a﹣4b）x+2a﹣3b＜0的解为：x＞﹣．
【点评】本题考查了不等式的性质及解不等式，理解新定义时解题的关键．
25．（10分）如图1．在平面直角坐标系中，点A（a，b），连接OA，将OA绕点O逆时针方向旋转90°到OB．

（1）求点B的坐标；（用字母a，b表示）
（2）如图2，延长AB交x轴于点C，过点B作BD⊥AC交y轴于点D，求证：OC＝OD；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点O作OM∥BD，若BC＝4，求OM的长．

【分析】（1）作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，可证得△AOC≌△OBD，进一步得出结果；
（2）可推出∠AOC＝∠BOD，∠ACO＝∠BDO，进而得出△AOC≌△BOD，从而得出结论；
（3）设OM交AB于Q，延长OM知N，使MN＝OM，连接DN，可推出AM＝DM，进而证得△AMO≌△DMN，进而证得△AMO≌△DMN，从而得出∠N＝∠AOM＝∠CBO＝135°，可证得∠DON＝∠BDO＝∠BCO，进而证得△DON≌△OCB，进一步得出结果．
【解答】（1）解：如图1，

作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠AOC+∠A＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠A＝∠BOD，
在△AOC和△OBD中，
，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴OD＝AC＝|b|，BD＝OC＝|a|，
∴B（﹣b，a）；
（2）证明：如图2，

设OC，BD交于点E，
∵BD⊥AC，
∴∠BCD＝∠COD＝90°，
∵∠BEC＝∠DEO，
∴∠ACO＝∠BDO，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即：∠AOC＝∠BOD，
∵OA＝OB，
∴△AOC≌△BOD（ASA），
∴OC＝OD；
（3）如图2，

延长OM至N，使MN＝OM，MO的延长线交AB于Q，连接DN，
∵OM∥BD，BD⊥AB，
∴OQ⊥AB，∠AOQ＝∠＝，∠DON＝∠BDO＝∠BCO，
∵OA＝OB，
∴AQ＝BQ，
∴AM＝DM，
∵∠AMO＝∠DMN，
∴△AMO≌△DMN（SAS），
∴∠N＝∠AOM＝180°﹣∠AOQ＝135°，
∵∠ABO＝45°，
∴∠OCB＝135°，
∴∠N＝∠OCB，
∵OD＝OC，
∴△DON≌△OCB（AAS），
∴ON＝BC＝3，
∴OM＝．
【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．