2024年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学三模试卷（含答案）

这是一份2024年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学三模试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中，是无理数的是( )
A. 13B. 5C. −2D. 0
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 等边三角形B. 菱形C. 平行四边形D. 正五边形
3.下列运算正确的是( )
A. a−2a=aB. (−a2)3=−a6
C. x6÷x3=x2D. (x+y)2=x2+y2
4.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. 1，2，3B. 2，3，7C. 2，6，7D. 3，3，6
5.长沙市2023年1−9月地区生产总值约为10673亿元，比去年同期增长约5.14%.其中数据10673亿用科学记数法表示为( )
A. 1.0673×1012B. 0.10673×1013C. 1.0673×1013D. 10.673×1011
6.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A=40°，则∠B的度数为( )
A. 80°
B. 60°
C. 50°
D. 40°
7.湖南地处云贵高原向江南丘陵和南岭山脉向江汉平原过渡的地带，地势呈三面环山、朝北开口的马蹄形地貌，由平原、盆地、丘陵地、山地、河湖构成，地跨长江、珠江两大水系，属亚热带季风气候，界于北纬24°38′～30°08′，东经108°47′～114°15′之间，气候和地理位置决定了湖南湿冷的气候特性.如表是2012−2023年每年12月长沙平均最低气温统计情况(℃)，则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 3，4B. 4，3C. 4，4D. 4，5
8.不等式组2x−8≤−27x−10>4的解集在数轴上表示为( )
A. B. C. D.
9.若正比例函数y=−2x与反比例函数y=kx的图象交于(1,−2)，则另一个交点坐标为( )
A. (2,1)B. (−1,2)C. (−2,−1)D. (−2,1)
10.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图).此图揭示了(a+b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
(a+b)0=1，
(a+b)1=a+b，
(a+b)2=a2+2ab+b2，
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
….
请你猜想(a+b)8的展开式中所有系数的和是( )
A. 2018B. 512C. 128D. 256
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：2a2−8= ______．
12.已知一组数据5，10，15，x，9的平均数是8，那么这组数据的中位数是 ．
13.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的面积为______．(结果保留π)
14.把抛物线y=−(x+1)2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为______．
15.如图，AD/​/BE/​/CF，ABBC=12，DE=5，则DF的长为______．
16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若AC=6，AB=10，△ABC的面积为24，则BD的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：|− 3|+(2024−π)0−2sin60°−(−13)−1．
18.(本小题8分)
先化简，再求值：(3−a)(3+a)−3a(a+3)+4a2，其中a=13．
19.(本小题8分)
如图，一勘测人员从山脚B点出发，沿坡度为1：3的坡面BD行至D点处时，他的垂直高度上升了15米；然后再从D点处沿坡角为45°的坡面DA，以20米/分钟的速度到达山顶A点时，用了10分钟．
(1)求D点到B点之间的水平距离；
(2)求山顶A点处的垂直高度AC是多少米？( 2≈1.414，结果保留整数)
20.(本小题8分)
我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程.为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查(每人只选一类最喜欢的课程)，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

(1)本次随机调查的学生人数为______人，并补全条形统计图；
(2)若该校七年级共有1200名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
(3)七(1)班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CE于点D．
(1)求证：△ACE≌△CBD；
(2)若AE=5，BD=2，求DE的长度．
22.(本小题8分)
近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A，B两种设备．已知每台B种设备比每台A种设备价格多0.6万元，花5万元购买A种设备和花11万元购买B种设备的数量相同．
(1)求A，B两种设备每台各多少万元．
(2)根据单位实际情况，需购进A，B两种设备共18台，总费用不高于14万元，求A种设备至少要购买多少台？
23.(本小题8分)
如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF．
(1)求证：四边形DBCF是平行四边形．
(2)若△ABC为等边三角形，BC=6，求△CEF的面积．
24.(本小题8分)
如图，△ABC中，AB=AD，AB为⊙O的直径，C在⊙O上且为BD的中点，过点A作AF/​/BD，连接CF，CF⊥AD于点E．
(1)求证：CF为⊙O的切线；
(2)记△AEF，△AEC，△CED的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2S3=3，求(tanB)2的值；
(3)若⊙O的半径为1，设BC=x，AE⋅DE⋅ 1CE⋅CF+1DE⋅AD=y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
25.(本小题8分)
我们约定：若抛物线C1：y=ax2+bx+c(a≠0,b≠0且a≠b)，抛物线C2：y=bx2+cx+a则称C1与C2互为“湘一相依抛物线”.例如：抛物线C1：y=−x2+2x+3与抛物线C2：y=2x2+3x−1就是一组“湘一相依抛物线”.根据该约定，解答下列问题：
(1)已知抛物线C1：y=−2x2+x−5，求其“湘一相依抛物线”C2的解析式；
(2)若抛物线C1：y=ax2−ax+2c的顶点在其“湘一相依抛物线”C2的图象上，试求出抛物线C2的图象经过的定点坐标；
(3)已知抛物线C1：y=mx2+nx+t(m,n,t为实数且m≠0，m≠−1)与y轴交于点A，其“湘一相依抛物线”C2与y轴交于点B(点A在点B的上方).抛物线C1与C2的图象始终有一交点C在与x轴垂直的定直线上运动.当AC⊥BC，AC=BC，且m，n，t满足：m−2n−t≤m2≤4m+2n+t时，抛物线C2与直线y=−x+1交于M，N两点，求线段MN长度的取值范围．
参考答案
1.B
2.B
3.B
4.C
5.A
6.C
7.C
8.B
9.B
10.D
11.2(a+2)(a−2)
12.9
13.π−2
14.y=−(x+2)2+3
15.15
16.5
17.解：|− 3|+(2024−π)0−2sin60°−(−13)−1
= 3+1−2× 32−(−3)
= 3+1− 3+3
=4．
18.解：原式=9−a2−3a2−9a+4a2
=9−9a，
当a=13时，原式=9−9×13=6．
19.解：(1)过D点作DF⊥BC于点F，
∵BD的坡度为1：3，
∴DFBF=13，即15BF=13，
解得，BF=45，即D点到B点之间的水平距离为45米，
答：D点到B点之间的水平距离为45米；
(2)由题意得，AD=20×10=200，
在Rt△ADE中，∠ADE=45°，
∴AE=AD⋅sin∠ADE=200× 22=100 2，
∴AC=AE+EC=100 2+15≈156，
答：山顶A点处的垂直高度约为156米．
20.60
21.(1)证明：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CE于点D，
∴∠AEC=∠D=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACE=90°，
∴∠CAE=∠BCD，
在△ACE和△CBD中，
∠CAE=∠BCD∠AEC=∠DAC=CB，
∴△ACE≌△CBD(AAS)．
(2)解：由(1)得△ACE≌△CBD，
∵AE=5，BD=2，
∴AE=CD=5，CE=BD=2，
∴DE=CD−CE=5−2=3，
∴DE的长度为3．
22.解：(1)设每台A种设备x万元，则每台B种设备(x+0.6)万元，
根据题意得：5x=11x+0.6，
解得：x=0.5．
经检验，x=0.5是原方程的解，
∴x+0.6=1.1．
答：每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.1万元；
(2)设购买A种设备m台，则购买B种设备(18−m)台，
根据题意得：0.5m+1.1(18−m)≤14，
解得：m≥293．
∵m为整数，
∴m≥10．
答：A种设备至少要购买10台．
23.(1)证明：∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE/​/BC，DE=12BC，
∵EF=DE，
∴DF=DE+EF=2×12BC=BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；
(2)解：∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴AE=CE，
在△CEF与△AED中，
AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△CEF≌△AED(SAS)，
∴S△CEF=S△ADE，
∵△ABC为等边三角形，BC=6，
∴S△ABC=12×6×3 3=9 3，
∵DE是△ABC的中位线，
∴S△ADE=14S△ABC=9 34，
∴△CEF的面积=9 34．
24.(1)证明：连接OC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BD，
∵AB=AD，
∴BC=CD，
∵OA=OB，
∴OC为△BAD的中位线，
∴OC/​/AD，
∵CF⊥AD，
∴OC⊥CF，
∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；
(2)解：∵AF/​/BD，
∴△AEF∽△CED，
∴S1S3=(AEDE)2．
∵△AEC，△CED中AE，DE边上的高相同，
∴S2S3=AEDE．
∵S1+S2S3=3，
∴S1S3+S2S3=3，
∴(AEDE)2+AEDE=3，
∴AEDE= 13−12(负数不合题意，舍去)，
设AE=( 13−1)a，则DE=2a．
∴AD=( 13+1)a．
∵∠ACD=90°，CF⊥AD，
∴△ACE∽△ADC，
∴ACAE=ADAC，
∴AC2=AE⋅AD=( 13−1)a⋅( 13+1)a=12a2．
∴CD2= AD2−AC2=(2+2 13)a2，
∵AB=AD，
∴∠B=∠D，
∴(tanB)2=(tanD)2=(ACCD)2=12a2(2+2 13)a2= 13−12．
(3)解：∵⊙O的半径为1，
∴AB=AD=2，
∵BC=BD=x，
∴AC= AB2−BC2= 4−x2．
∵S△ACD=12AC⋅CD=12AD⋅CE，
∴CE=x 4−x22，
∵∠ACD=90°，CF⊥AD，
∴△ACE∽△CDE，
∴AECE=CEDE，
∴CE2=AE⋅DE=x2(4−x2)4．
∵AC⊥BD，AF/​/BD，
∴AF⊥AC，
∵CF⊥AD，
∴△ACE∽△FCA，
∴ACCF=CEAC，
∴CE⋅CF=AC2=4−x2，
∵∠ACD=90°，CF⊥AD，
∴△DCE∽△DAC，
∴CDDE=ADCD，
∴DE⋅AD=CD2=x2，
由题意：0∴y=AE⋅DE⋅ 1CE⋅CF+1DE⋅AD=x2(4−x2)4⋅ 14−x2+1x2=x 4−x22．
∴y关于x的函数解析式为y=x 4−x22，自变量x的取值范围为025.解：(1)由题意得，抛物线C1的“湘一相依抛物线”C2的解析式为y=x2−5x−2；
(2)y=ax2−ax+2c=a(x−12)2+2c−14a，
∴顶点坐标为(12,2c−14a)，
∵抛物线C1的“湘一相依抛物线”C2的解析式为y=−ax2+2cx+a，且抛物线C1的顶点在C2的图象上，
∴2c−14a=−14a+c+a，
∴c=a，
∴y=−ax2+2ax+a，
∴当y=0时，−ax2+2ax+a=0，
解得x1=1+ 2，x2=1− 2，
∴抛物线C2过定点(1+ 2,0)，(1− 2,0)；
(3)抛物线C1：y=mx2+nx+t的“湘一相依抛物线”C2的解析式为y=nx2+tx+m，
联立y=mx2+nx+ty=nx2+tx+m，
解得x1=1，x2=t−mm−n，
∴C(1,m+n+t)，
对于C1：y=mx2+nx+t，
当x=0时，y=t，
∴A(0,t)，
同理B(0,m)，
∵点A在点B的上方，
∴AB=t−m，
∵AC⊥BC，AC=BC，
∴AB=t−m=2，
∴t=2+m，
∵m+t2=m+n+t，
∴m=−n−1，t=−n+1，
∴C1：y=−(n+1)x2+nx−n+1，C2：y=nx2+(−n+1)x−n−1，
∵m−2n−t≤m2≤4m+2n+t，
∴2≤m≤3或−3≤m≤−2，
∴2≤−n−1≤3或−3≤−n−1≤−2，
∴−4≤n≤−3或1≤n≤2，
联立y=nx2+(−n+1)x−n−1y=−x+1，
整理得nx2+(−n+2)x−n−2=0，
设nx2+(−n+2)x−n−2=0的两个根为x1，x2，
则x1+x2=n−2n，x1x2=−n−2n，
∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=(2n)2+4n+5=4(1n+12)2+4，
∵y1=−x1+1，y2=−x2+1，
∴y1−y2=x2−x1，
∴(y1−y2)2=(x2−x1)2=4(1n+12)2+4，
∵MN2=(x1−x2)2+(y1−y2)2=8(1n+12)2+8，
当−4≤n≤−3时，则−13≤1n≤−14，
∴当1n=−12时，MN2有最小值为8，此时MN最小为2 2，
当1n=−14时，MN2有最大值为172，此时MN最大为 342，
当1≤n≤2时，则12≤1n≤1，
∴当1n=12时，MN2有最小值为16，此时MN最小为4，
当1n=1时，MN2有最大值为26，此时MN最大为 26，
综上，2 2≤MN≤ 342或4≤MN≤ 26． 2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
3
4
3
3
5
5
4
4
4
4
2
4