2023年高考数学一轮复习课时规范练21三角函数的图像与性质含解析北师大版文

课时规范练21　三角函数的图像与性质

基础巩固组

1.(2021内蒙古呼伦贝尔二模)函数f(x)=cos3x+图像的对称中心是(　　)

A.kπ+(k∈Z) B.kπ+,0(k∈Z)

C.(k∈Z) D.,0(k∈Z)

答案:D

解析:令3x+=kπ+(k∈Z),解得x=(k∈Z),则f(x)图像的对称中心为,0(k∈Z).

2.(2021哈尔滨师大附中模拟)是函数f(x)=sin ωx(ω>0)的两个相邻零点,则ω=(　　)

A.3 B.2 

C.1 D

答案:B

解析:由题意知,f(x)=sinωx的周期T==2=π,得ω=2.

3.(2021浙江镇海中学高三月考)已知奇函数f(x)=cos(ωx+απ)(ω>0,0<α<1)的最小正周期为8π,则logωα的值是(　　)

A.2 B.-2 C D.-

答案:C

解析:∵f(x)为R上的奇函数,

∴f(0)=0,即cos(απ)=0,

又0<α<1,∴α=f(x)的最小正周期为8π且ω>0,

=8π,解得ω=

∴logωα=lo=lo2-1=log22=

4.(2021北京昌平二模)下列函数中,最小正周期为π的奇函数是(　　)

A.y=sinx+ B.y=sin|x|

C.y=cos2x-sin2x D.y=sin xcos x

答案:D

解析:A.y=sinx+的最小正周期为T==2π,不符合题意;

B.记f(x)=sin|x|,所以f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x),且f(x)的定义域为R,所以f(x)为偶函数,不符合题意;

C.y=cos2x-sin2x=cos2x,显然为偶函数,不符合题意;

D.y=sinxcosx=sin2x最小正周期为T==π,且为奇函数,符合题意.故选D.

5.(2021安徽六安模拟)已知函数f(x)=cosωx+(ω>0)的最小正周期为π,则该函数图像(　　)

A.关于直线x=对称 B.关于点,0对称

C.关于直线x=对称 D.关于点,0对称

答案:B

解析:f(x)=cosωx+(ω>0)的最小正周期为π,则π=,即ω=2,

所以f(x)=cos2x+.

由2x+=kπ,k∈Z,可得x=kπ-,k∈Z,

所以f(x)的图像的对称轴为直线x=kπ-,k∈Z,故A,C不正确.

由2x+=kπ+,k∈Z,可得x=kπ+,k∈Z,

所以f(x)的图像的对称中心为kπ+,0,k∈Z,

故B正确,D不正确.

6.(2021上海外国语大学附属大境中学高三月考)已知f(x)=cosωx+,ω>0.在x∈[0,2π]内的值域为-1,,则ω的取值范围是(　　)

A. B.0, C.0, D.

答案:D

解析:因为x∈[0,2π],所以ωx+∈,2πω+.

又因为f(x)的值域为-1,,结合余弦函数图像(如图).

可知π≤2πω+,解得ω∈.

7.(2021北京101中学高三月考)函数f(x)=cos22x的最小正周期是　　　　　. 

答案:

解析:由已知得f(x)=cos4x+,其最小正周期为T=

8.(2021广西南宁三中高三月考)已知f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数,则f=　　　　　. 

答案:

解析:f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数,则φ=+kπ(k∈Z),而0<φ<π,

故取k=0时,得φ=,此时f(x)=sin2x+=cos2x,所以f=cos

9.(2021上海松江二模)已知函数y=tanωx+的图像关于点,0对称,且|ω|≤1,则实数ω的值为　　　　　. 

答案:-或1

解析:∵函数y=tanωx+的图像关于点,0对称,∴ω,k∈Z,即ω=,k∈Z.又|ω|≤1,

令k=0,可得ω=-,令k=1,可得ω=1.

∴ω=-或ω=1.

10.(2021浙江温州适应性测试)已知函数f(x)=cos xsin x-sinx+.

(1)求y=f(x)图像的对称轴;

(2)当x∈0,时,求y=f(x)的值域.

解:(1)f(x)=cosxsinx-sinx-cosx=sinxcosx-cos2x

=sin2x-cos2x-sin2x--,

由2x-+kπ(k∈Z),得y=f(x)图像的对称轴为直线x=(k∈Z).

(2)由x∈0,,得2x--,

所以-sin2x-≤1,-sin2x--,故函数y=f(x)的值域为-.

综合提升组

11.(2021云南丽江模拟)已知f(x)=sin2x+在区间[-a,a]上的最小值为-,则a的值为(　　)

A B C D

答案:B

解析:当sin2x+=-时,2x+=2kπ-,k∈Z或2x+=2kπ-,k∈Z,

解得x=kπ-,k∈Z或x=kπ-,k∈Z,离坐标原点最近的x值为-,

因为区间[-a,a]关于原点对称,且a>0,所以a的值为

12.(2021浙江湖州模拟)若函数f(x)=sinωx+在区间-,0内单调,且P,0是f(x)的一个对称中心,则ω的值可以是(　　)

A.6 B.-10 C.9 D.-4

答案:A

解析:sinω=0,解得ω=kπ,ω=8k-2(k∈Z).

若ω>0,则-ω-,解得ω≤9;

若ω<0,则-ω,解得ω≥-3;故ω=-2,或ω=6.

如图所示,经检验符合题意.

13.(2021云南峨山模拟)函数y=sin2x-的图像在(-π,π)上有　　　　　　条对称轴. 

答案:4

解析:由2x-+kπ,k∈Z,求得对称轴为直线x=,k∈Z,

由-π<<π,k∈Z,解得-<k<

再由k∈Z,可得k=-2,-1,0,1,故对称轴有4条.

14.(2021北京海淀模拟)若直线x=为函数f(x)=sin(x+φ)·sin x的一条对称轴,则常数φ的一个取值为　　　　. 

答案:0(kπ,k∈Z均可)

解析:由于f(x)=sin(x+φ)·sinx的一条对称轴为直线x=,所以f(π-x)=sin(π-x+φ)sin(π-x)=sin(x-φ)sinx=f(x),即sin(x+φ)=sin(x-φ),即sinφcosx=0对任意x均成立,所以sinφ=0,故φ的一个取值为0(kπ,k∈Z均可).

15.(2021浙江杭州二中高三月考)已知函数f(x)=cos ωx-sin ωx(ω>0)在-上是单调的,则ω的最大值是　　　　　. 

答案:4

解析:由题可得f(x)=2cosωx+,ω>0,

由kπ≤ωx+≤kπ+π(k∈Z),得≤x≤(k∈Z),

令k=0,得-≤x≤,

故f(x)在-上是单调的,于是-≤-,得0<ω≤4,

所以ω的最大值是4.

创新应用组

16.(2021上海杨浦二模)函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),若有且仅有一个实数m满足:

①0≤m≤;②x=m是函数f(x)图像的对称轴.

则ω的取值范围是　　　　　　. 

答案:

解析:因为f(x)=sinωx+cosωx=2sinωx+,

由于x=m是函数f(x)图像的对称轴,则mω++kπ(k∈Z),

所以m=(k∈Z).

因为0≤m≤,所以0≤.因为ω>0,所以k∈N,

当k增大时,增大,

由于有且只有一个实数m满足:①0≤m≤;②x=m是函数f(x)图像的对称轴,

所以m=,则有解得≤ω<.

因此,实数ω的取值范围是.

17.设定义在R上的函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<,给出以下四个论断:①f(x)的最小正周期为π;②f(x)在区间-,0上是增加的;③f(x)的图像关于点,0对称;④f(x)的图像关于直线x=对称.以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出你认为的一个真命题(写成“p⇒q”的形式)　　　　　.(用到的论断都用序号表示) 

答案:①④⇒②③(或①③⇒②④)

解析:若f(x)的最小正周期为π,则ω=2,函数f(x)=sin(2x+φ).同时若f(x)的图像关于直线x=对称,则sin2×+φ=±1,又-<φ<,∴2×+φ=,∴φ=,此时f(x)=sin2x+,②③成立,故①④⇒②③.若f(x)的最小正周期为π,则ω=2,函数f(x)=sin(2x+φ),同时若f(x)的图像关于点,0对称,则2×+φ=kπ,k∈Z,又-<φ<,∴φ=,此时f(x)=sin2x+,②④成立,故①③⇒②④.