2023年高考数学一轮复习课时规范练22函数y=Asinωx φ的图像及三角函数的应用含解析北师大版文

课时规范练22　函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数的应用

基础巩固组

1.(2021江西九江二模)将函数f(x)图像上所有点的横坐标都伸长到原来的2倍,得到函数g(x)=cos 2x的图像,则f(x)是(　　)

A.周期为2π的偶函数 B.周期为2π的奇函数

C.周期为的偶函数 D.周期为的奇函数

答案:C

解析:将函数f(x)图像上所有点的横坐标都伸长到原来的2倍,得到函数g(x)=cos2x的图像,则f(x)=cos4x,故它是周期为的偶函数.

2.(2021云南德宏模拟)将函数y=2sin2x+的图像向左平移个最小正周期后,所得图像对应的函数为(　　)

A.y=2cos2x+ B.y=-2cos2x+

C.y=-2sin2x+ D.y=2sin2x-

答案:A

解析:由题意知图像向左平移个单位长度,

∴y=2sin2x++=2cos2x+.

3.(2021广西钦州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+θ)ω>0,-的图像上相邻的两条对称轴之间的距离为,若将函数f(x)的图像向左平移个单位长度后得到奇函数g(x)的图像,则f(0)=(　　)

A B.- C D.-

答案:C

解析:由题意可知,函数f(x)的最小正周期为T=2=π,则ω==2,

所以f(x)=sin(2x+θ),

将函数f(x)的图像向左平移个单位长度后得到奇函数g(x)的图像,

则g(x)=sin2x++θ=sin2x+θ+,

由于函数g(x)为奇函数,则θ+=kπ(k∈Z),可得θ=kπ-(k∈Z),

因为-,所以θ=,则f(x)=sin2x+,

因此f(0)=sin

4.(2021山东青岛三模)若将函数f(x)=2sin(2x+φ)|φ|<的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于y轴对称,则函数f(x)在0,上的最大值为(　　)

A.2 B C.1 D

答案:A

解析:函数f(x)=2sin(2x+φ)|φ|<的图像向左平移个单位长度后,

图像所对应函数为g(x)=2sin2x++φ=2sin2x++φ,

由g(x)关于y轴对称,得+φ=kπ+,k∈Z,

可得φ=kπ+,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,即f(x)=2sin2x+.

当x∈0,时,2x+,所以当2x+,即x=时,f(x)max=f=2sin=2.

5.(2021云南昭通模拟)如图,一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周,它的最低点P0离地面2 m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面的距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数关系式是(　　)

A.h(t)=-8sint+10  B.h(t)=-cost+10

C.h(t)=-8sint+8  D.h(t)=-8cost+10

答案:D

解析:设h=Asin(ωt+φ)+B,由题意可得hmax=18,hmin=2,T=12,

∴A==8,B==10,ω=,h=8sin+φ+10,

当t=0时,8sinφ+10=2,得sinφ=-1,可取φ=-,

∴h=8sint-+10=-8cost+10.

6.(2021四川宜宾二模)将函数y=3sin2x+的图像向右平移个单位长度得到函数y=f(x)的图像,若f(α)=,则f2α+=　　　　　　. 

答案:

解析:将函数y=3sin2x+的图像向右平移个单位长度,

得到函数y=f(x)=3sin2x-的图像,

若f(α)=3sin2α-=,则sin2α-=,

f2α+=3sin22α+-=3sin4α+=3cos4α-=3×1-2sin22α-=3×1-2=

7.(2021北京二中高三月考)已知f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|<同时满足下列四个条件中的三个:①f=1;②f(x)=Asin(ωx+φ)|φ|<的图像可以由y=sin x-cos x的图像平移得到;③相邻两条对称轴之间的距离为;④最大值为2.

(1)请指出这三个条件,并说明理由;

(2)若曲线y=f(x)的对称轴只有一条落在区间[0,m]上,求实数m的取值范围.

解:(1)三个条件是:①③④,理由如下:

若满足②:因为y=sinx-cosx=sinx-,所以A=,ω=1;

若满足③:因为,所以T==π,所以ω=2;

若满足④:A=2,

由此可知,若满足②,则③④均不满足,

所以满足的三个条件是①③④.

(2)由③④知:f(x)=2sin(2x+φ),

由①知f=1,

所以2sin+φ=1,所以sin+φ=,

所以+φ=2kπ+,k∈Z或+φ=2kπ+,k∈Z,

所以φ=2kπ-,k∈Z或φ=2kπ+,k∈Z,又因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin2x-.

不妨令2x-=kπ+,k∈Z,所以x=,k∈Z.

当k=-1时,x=-;当k=0时,x=;当k=1时,x=

所以若要y=f(x)的对称轴只有一条落在区间[0,m]上,只需m∈,

所以实数m的取值范围是.

综合提升组

8.(2021安徽合肥八中高三月考)函数f(x)=sinωx+(ω>0)的图像向右平移个单位长度后所得函数图像与函数f(x)的图像关于x轴对称,则ω的最小值为(　　)

A.2 B.3 C.4 D.6

答案:C

解析:由题意知=k+T=,得ω=8k+4,k∈Z,

又ω>0,则ω的最小值为4.

9.(2021四川成都石室中学高三月考)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的零点依次构成一个公差为的等差数列,把函数f(x)的图像沿x轴向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,则函数g(x)(　　)

A.是偶函数

B.其图像关于直线x=对称

C.在上是增加的

D.在区间上的值域为[-,2]

答案:D

解析:因为f(x)=sinωx+cosωx=2sinωx+,

由于函数y=f(x)的零点构成一个公差为的等差数列,则该函数的最小正周期为π,

因为ω>0,则ω==2,所以f(x)=2sin2x+,将函数y=f(x)的图像沿x轴向右平移个单位长度,得到函数g(x)=2sin2x-+=2sin2x的图像.

对于A选项,函数y=g(x)为奇函数,A选项错误;

对于B选项,g=2sinπ=0≠±2,所以函数y=g(x)的图像不关于直线x=对称,B选项错误;

对于C选项,当x∈时,2x≤π,则函数y=g(x)在上是减少的,C选项错误;

对于D选项,当x时,2x,则-sin2x≤1,所以-g(x)≤2.

所以函数y=g(x)在区间上的值域为[-,2],D选项正确.

10.(2021浙江宁波二模)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图像如图所示,则ω=　　　　　,为了得到偶函数y=g(x)的图像,至少要将函数y=f(x)的图像向右平移　　　　　个单位长度. 

答案:　6

解析:由图像可知,函数f(x)的最小正周期为T=2×8=16,

∴ω=,则f(x)=2cos+φ,

∵函数f(x)的图像过点(-2,0),

∴-2×+φ=2kπ-(k∈Z),可得φ=2kπ-(k∈Z),

∵-<φ<,∴φ=-,

∴f(x)=2cos,

假设将函数f(x)的图像向右平移t个单位长度可得到偶函数y=g(x)的图像,

即g(x)=f(x-t)=2cos(x-t)-=2cosx-,

∴-=kπ(k∈Z),解得t=-8k-2(k∈Z),

∵t>0,∴当k=-1时,t取最小值6.

创新应用组

11.(2021山东聊城二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图像如图所示,将f(x)的图像向右平移a(a>0)个单位长度后,得到函数g(x)的图像,若对于任意的x∈R,g(x)≤g,则a的值可以为(　　)

A B C D

答案:C

解析:因为f(0)=2,所以2sinφ=2,所以sinφ=且|φ|<,所以φ=又因为f=0,所以2sin+=0,所以+=kπ,k∈Z,所以ω=,k∈Z,且,所以,所以0<ω<,所以k=1,ω=2.所以g(x)=2sin2(x-a)+=2sin2x+-2a.又因为对于任意的x∈R,g(x)≤g,所以g=±2,所以sin-2a=±1,所以-2a=2k1π±,k1∈Z,所以a=-k1π,k1∈Z或a=--k1π,k1∈Z,结合选项a可取