2023年高考数学一轮复习课时规范练45椭圆含解析北师大版文

课时规范练45　椭圆

基础巩固组

1.已知椭圆=1的两个焦点F1,F2,M是椭圆上一点,|MF1|-|MF2|=1,则△MF1F2是(　　)

A.钝角三角形 B.直角三角形

C.锐角三角形 D.等边三角形

答案:B

解析:由题意|MF1|+|MF2|=4,又|MF1|-|MF2|=1,联立后可解得|MF1|=,|MF2|=,又|F1F2|=2c=2=2,∴22+,∴MF2⊥F1F2,∴△MF1F2是直角三角形.故选B.

2.(2020陕西汉中高三模拟)已知椭圆=1(m>0,m≠4)的焦距为2,则m的值等于(　　)

A.5 B.5或3 C.3 D.8

答案:B

解析:因为焦距2c=2,所以c=1.当m>4时,m-4=1,m=5;当0<m<4时,4-m=1,m=3.综上所述,m=5或m=3.故选B.

3.(2021新高考八省模考)椭圆=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=,则m=(　　)

A.1 B C D

答案:C

解析:a2=m2+1,b2=m2,则c2=a2-b2=1,由题意b=c,则b2=3c2=3=m2,又m>0,则m=

4.(2021陕西西安高三模拟预测(理))已知椭圆:=1(9<b≤18),则椭圆的离心率的取值范围为(　　)

A.-∞, B.,1 C.0, D.,1

答案:C

解析:椭圆方程为=1(9<b≤18),则椭圆的长半轴长为(3,3],又短半轴长为3,则离心率为e=,1,则e∈0,.故选C.

5.(2020广东惠州调研)设F1,F2为椭圆=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为(　　)

A B C D

答案:D

解析:如图,设线段PF1的中点为M,因为O为F1F2的中点,所以OM∥PF2,由题意可得PF2垂直于x轴,由|PF1|+|PF2|=6,|PF1|2=|PF2|2+16,解得|PF1|=,|PF2|=,

所以故选D.

6.设e是椭圆=1的离心率,且e∈,1,则实数k的取值范围是(　　)

A.(0,3) B.3,

C.(0,3)∪,+∞ D.(0,2)

答案:C

解析:当k>4时,c=,由条件知<1,解得k>;当0<k<4时,c=,由条件知<1,解得0<k<3.故选C.

7.(2020广西重点中学联考)已知椭圆=1的焦点为F,短轴端点为P,若直线PF与圆O:x2+y2=R2(R>0)相切,则R的值为(　　)

A B.1 C D.2

答案:B

解析:因为椭圆=1,不妨设F(,0),P(0,),所以PF的方程为x+y-=0,

因为直线PF与圆O:x2+y2=R2(R>0)相切,所以圆心到直线的距离等于圆的半径,即R==1.故选B.

8.已知方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是　　　　　　.

答案:(-∞,-1)∪1,

解析:由=1表示焦点在y轴上的椭圆,得2-m>|m|-1>0,解得m<-1或1<m<

9.(2021安徽芜湖高三二模(理))已知方程=1表示椭圆,且该椭圆两焦点间的距离为4,则离心率e=(　　)

A B C D

答案:B

解析:因为方程=1表示椭圆,所以a2=4+n2,b2=4-n2,所以c2=a2-b2=4+n2-(4-n2)=2n2,所以c=|n|,因为焦距为4,所以2c=2|n|=4,解得|n|=,所以a=,c=2,所以e=故选B.

10.(2020山东济南三模)已知F1,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A,B是椭圆上关于x轴对称的两点,AF2的中点P恰好落在y轴上,若=0,则椭圆C的离心率的值为　　　　　. 

答案:

解析:由AF2的中点P恰好落在y轴上,可得AB过左焦点F1且AB⊥F1F2,

则A-c,,B-c,-.

因为P是AF2的中点,则P

又F2(c,0),则

因为=0,则2c2-=0,即2c=

又b2=a2-c2,则2ac=(a2-c2),即e2+2e-=0,解得e=,或e=-(舍去).

所以椭圆C的离心率的值为

综合提升组

11.已知椭圆+x2=1(a>1)的离心率e=,P为椭圆上的一个动点,则P与定点B(-1,0)连线距离的最大值为(　　)

A B.2 C D.3

答案:C

解析:由椭圆+x2=1(a>1)的离心率e=,可得,解得a=,则椭圆方程为+x2=1.设P(cosθ,sinθ),则P与定点B(-1,0)连线距离为,当cosθ=时,取得最大值故选C.

12.(2020甘肃联考)设A,B是椭圆C:=1的两个焦点,点P是椭圆C与圆M:x2+y2=10的一个交点,则||PA|-|PB||=(　　)

A.2 B.4 C.4 D.6

答案:C

解析:由题意知,A,B恰好在圆M上且AB为圆M的直径,

∴|PA|+|PB|=2a=4,|PA|2+|PB|2=(2c)2=40,

∴(|PA|+|PB|)2=|PA|2+|PB|2+2|PA||PB|,解得2|PA||PB|=8,

∴(|PA|-|PB|)2=|PA|2+|PB|2-2|PA||PB|=32,则||PA|-|PB||=4,故选C.

13.椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,弦AB过F1,若△ABF2的内切圆周长为π,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为(　　)

A B C D

答案:A

解析:在椭圆=1中,a=5,b=4,所以c=3.故椭圆左、右焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).由△ABF2的内切圆周长为π,可得内切圆的半径为r=ABF2的面积等于△AF1F2的面积加上△BF1F2的面积,即|y1|·|F1F2|+|y2|·|F1F2|=(|y1|+|y2|)·|F1F2|=3|y1-y2|(A,B在x轴的上下两侧),又△ABF2的面积等于r(|AB|+|BF2|+|F2A|)=(2a+2a)=a=5,所以3|y1-y2|=5,即|y1-y2|=

14.(2021浙江三模)椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),点P,Q在椭圆C上,点M-,0到直线FP的距离为,且△PQF的内心恰好是点M,则椭圆C的离心率e=　　　.

答案:

解析:如图所示,△PQF的内心恰好是点M-,0,由对称性可知|PF|=|QF|,所以P,Q关于x轴对称,

则PQ⊥x轴,设PQ交x轴于点F',则|MF'|=,则F'(-c,0),

∴点F'是椭圆的左焦点,将x=-c代入椭圆方程得y=±,

∴|PF'|=,|PF|=2a-=a+,过点M作ME⊥PF,垂足为E,则|ME|=,

,即,解得e2=,则e=

15.(2021河北衡水中学高三模拟预测)椭圆=1(a>b>0)短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形.若该三角形内切圆的半径为,则该椭圆的离心率为　　　　. 

答案:

解析:由椭圆=1(a>b>0)短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面积S=bc,周长为2a+2c.由题意可得S=bc=(2a+2c),得a+c=5c,所以e=,因此该椭圆的离心率为

创新应用组

16.(2021浙江模拟)已知F为椭圆C:=1的右焦点,点A是直线x=3上的动点,过点A作椭圆C的切线AM,AN,切点分别为M,N,则|MF|+|NF|-|MN|的值为(　　)

A.3 B.2 C.1 D.0

答案:D

解析:由已知可得F(1,0),设M(x1,y1),N(x2,y2),A(3,t),则切线AM,AN的方程分别为=1,=1,因为切线AM,AN过点A(3,t),所以x1+=1,x2+=1,所以直线MN的方程为x+=1.因为F(1,0),所以1+=1,所以点F(1,0)在直线MN上,所以M,N,F三点共线,所以|MF|+|NF|-|MN|=0,故选D.

17.(2020河北邢台模拟)设A(-2,0),B(2,0),若直线y=ax(a>0)上存在一点P满足|PA|+|PB|=6,且△PAB的内心到x轴的距离为,则a=　　　　　　　　. 

答案:

解析:设点P(x,y),点P满足|PA|+|PB|=6,则点P在椭圆=1上.

由题意可得点P为直线y=ax(a>0)与椭圆=1的交点.

联立y=ax与=1,消去y,得x2=,则y2=

因为△APB的内心到x轴的距离为,所以△PAB的内切圆的半径r=

所以△APB的面积为|AB|×|y|=r×(|AB|+|PA|+|PB|),

即|y|=r,y2=r2=,

解得a2=3,又a>0,所以a=

18.(2021山东潍坊三模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A,B在椭圆上,且满足=2=0,则椭圆C的离心率为　　　　. 

答案:

解析:设|AF1|=2m(m>0),因为=2,所以|BF1|=m,

又=0,|F1F2|=2c,

所以|AF2|==2

又|BF2|=,且|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,

所以2m+2=m+,

所以m+2,

所以m2+4c2-4m2+4m=4c2+5m2,

所以c2=5m2,所以c=m.

又因为2a=2m+2=6m,

所以a=3m,所以e=