山东省2022年中考数学（五四制）一轮课件：小专题(三) 全等三角形的模型

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【模型分析】 模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等或利用平行线的性质找到对应角相等．
如图，点A，B，C，D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD.(1)求证：∠E＝∠F；(2)若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．
【思路分析】 (1)欲证明∠E＝∠F，只要证明△ACE≌△BDF即可；(2)由△EAC≌△FBD 得，∠ACE＝∠D＝80°，从而可求出∠E的度数．
类型2　轴对称模型【基本图形】
【模型分析】 模型特征是所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等．
如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°.(1)求证：AC＝BD；(2)若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数．
【思路分析】 (1)由“HL”可证Rt△ACB≌Rt△BDA，再根据全等三角形的性质即可得解；(2)由全等三角形的性质可得∠BAD＝∠ABC＝35°，再根据角的和差即可求解．
类型3　半角模型【基本图形】
【模型分析】 1．“半角模型”特征(1)共端点的等线段；(2)共顶点的倍半角；2．“半角模型”主要分为等腰直角三角形内的半角和正方形内的半角．
如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，点M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为 ．
【思路分析】 将△ACN绕点A顺时针旋转，得到△ABE，由旋转得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根据SAS推出△AEM≌△ANM，根据全等得出MN＝ME，求出MN＝CN＋BM，解直角三角形求出DC的值，即可求出△DMN的周长为BD＋DC，代入求出答案即可．
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB上，且∠FDE＝45°，连接DE，DF，EF，试探究EF，AF，CE之间的数量关系．
【思路分析】 利用旋转将△DAF与△DCE拼接起来，构造全等三角形，借助全等三角形的判定与性质解答即可．
解：EF＝AF＋CE.
类型4　旋转模型【基本图形】
【模型分析】 模型可看成是将三角形绕着某个点旋转一定角度所构成的，旋转后的图形与原图之间一般存在一对隐含的等角，通过对顶角相等或平行线性质得到或运用角的和差可得到．
如图，△ACD和△ABE均为等腰直角三角形，其中AC＝AD＝2，AB＝AE＝2，∠BAE＝∠DAC＝90°，点B在CD的延长线上，连接CE.(1)求△ABC的面积；(2)求tan∠CBE的值．
【思路分析】 (1)过点A作AF⊥BC于点F，根据勾股定理得出BF的长，进而利用三角形面积公式解答即可；(2)根据等腰直角三角形的性质得出AB＝AE，AD＝AC，利用SAS证明△BAD和△EAC全等，进而利用全等三角形的性质和三角函数解答即可．
类型5　一线三垂直型【基本图形】【模型分析】 一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，作过直角两边的直线互相垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角．
如图，四边形ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G.求证：BF－DG＝FG.
【思路分析】 根据正方形的性质可得AB＝AD，再利用同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADG，证明△BAF和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝AG，再利用线段的和与差可得结论．
【规范解答】 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°.∵BF⊥AE，DG⊥AE，∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG＋∠DAG＝90°.