山东省2022年中考数学（五四制）一轮课件：小专题(四) 相似三角形的模型

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【模型分析】 “A”字型图形(通常只有一个公共顶点)的两个三角形有一个“公共角”(是对应角)，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．
【思路分析】 首先设运动时间为t秒，则BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC－CQ＝6－2t，△ABC与以点B，P，Q为顶点的三角形相似，分两种情况讨论：△BAC∽△BPQ和△BCA∽△BPQ.
类型2　“8”字型【模型分析】 “8”字型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．
如图，在△ABC中，E是线段AC上一点，AE∶CE＝1∶2，过点C作CD∥AB交BE的延长线于点D.若△ABE的面积等于4，则△BCD的面积等于(　　)A．8 B．16 C．24 D．32【思路分析】 先由CD∥AB，证得△ABE∽△CDE，再根据已知条件及相似三角形的性质得出S△CDE的值，然后根据△BCE中CE边上的高和△ABE中AE边上的高相等及CE＝2AE，得出S△BCE的值，最后利用关系式S△BCD＝S△CDE＋S△BCE，可得出答案．
类型3　“母子”型(“双垂线”型是其特例)
【模型分析】 “母子”型的图形(通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．
如图，已知△ABC∽△ADB，点D是AC的中点，AC＝4，则AB的长为( )A．2 B．4 C．2 D．4【思路分析】 根据相似三角形的性质列出比例式，代入有关数据求解即可．
类型4　“一线三等角”型
【模型分析】 “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，AB＝DC＝2.P为AD上一点，且满足∠BPC＝∠A.(1)求证：△APB∽△DCP；(2)求AP的长．
【思路分析】 (1)根据平行线的性质得出∠APB＝∠PBC，∠DPC＝∠PCB，根据等腰梯形的性质、三角形内角和定理、平角的性质可得∠A＝∠D，∠ABP＝∠DPC，根据相似三角形的判定定理推出即可；(2)根据相似三角形的性质即可得出答案．
【规范解答】(1)证明：∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，∠DPC＝∠PCB.∵AB＝DC，∴∠A＝∠D.∵∠ABP＝180°－∠A－∠APB，∠DPC＝180°－∠BPC－∠APB，∠A＝∠BPC，∴∠ABP＝∠DPC，∴△APB∽△DCP.(2)解：AP＝1或4.
类型5　“一线三直角”型
【模型分析】 “一线三直角”型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多，对它做一专门研究，这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似．
已知：如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，BE⊥EF，求证：△ABE∽△DEF∽△EBF.