2023年新高考数学一轮复习考点过关检测28《复数》（2份打包，解析版+原卷版）

考点过关检测28__复数

一、单项选择题

1．[2021·新高考Ⅱ卷]复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

2．[2022·广东汕头模拟]设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3－i，则z1z2＝(　　)　　 　　　　　　　　　　　

A．－10  B．10  C．－8  D．8

3．已知复数z1＝a－i，z2＝2＋i(i为虚数单位)，若z1z2是纯虚数．则实数a＝(　　)

A．－  B.  C．－2  D．3

4．[2022·辽宁葫芦岛模拟]已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝(　　)

A．1  B.  C.  D.

5．[2022·山东青岛模拟]已知复数z＝1＋i(i为虚数单位)，为z的共轭复数，则＝(　　)

A．1－i  B．1＋i  C．－i  D．i

6．[2022·湖北武汉一中月考]已知复数z满足＝2＋ai，|z|＝5，则正数a＝(　　)

A．1  B．2  C.  D.

7．[2022·福建泉州模拟]若z＝1＋i，则()2020＋()2021的虚部为(　　)

A．i  B．－i  C．1  D．－1

8．[2022·江苏如皋模拟]已知复数z满足|z－1|＝|z－i|，则在复平面上z对应点的轨迹为(　　)

A．直线  B．线段

C．圆    D．等腰三角形

二、多项选择题

9．[2022·辽宁朝阳模拟]下面是关于复数z＝(i为虚数单位)的命题，其中真命题为(　　)

A．|z|＝

B．z－z2＝1＋i

C．z的共轭复数为－1＋i

D．z的虚部为1

10．[2022·湖南师大附中月考]已知实数a满足＝2－i(i为虚数单位)，设复数z＝(a＋1)＋(a－1)i，则下列结论正确的是(　　)

A．z为纯虚数  B．z2为虚数

C．z＋＝0    D．z·＝4

11．[2022·山东德州模拟]已知复数z1＝(i为虚数单位)，下列说法正确的是(　　)

A．z1对应的点在第三象限

B．z1的虚部为－1

C．z＝4

D．满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上

12．[2022·湖南长郡中学月考]下列命题为真命题的是(　　)

A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数

B．若∈R，则z∈R

C．复数的共轭复数为－2－i

D．关于复数z的方程z2＋(2＋i)z＋b＋i＝0(b∈R)有实数根，则b＝1

三、填空题

13．[2022·北师大实验中学月考]若复数(a＋i)(3＋4i)的实部与虚部相等，则实数a＝________.

14．已知i为虚数单位，复数z＝(2＋i3)(1－ai)为实数，则z＝________.

15．已知O是复平面内的坐标原点，Z1，Z2两点对应的复数分别是1＋2i,3＋i，则△OZ1Z2的面积是________．

16．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix＝cos x＋isin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，则eiπ＋1＝________；＝________.

考点过关检测28　复数

1．答案：A

解析：＝＝＝，所以该复数对应的点为，

该点在第一象限．

2．答案：A

解析：∵z1＝3－i，z1，z2所对应的点关于虚轴对称，∴z2＝－3－i，∴z1z2＝－9－1＝－10.

3．答案：A

解析：由已知得z1z2＝(a－i)(2＋i)＝(2a＋1)＋(a－2)i是纯虚数，所以2a＋1＝0且a－2≠0，可得a＝－.

4．答案：B

解析：z＝＝＝＝i－1，∴|z|＝＝.

5．答案：C

解析：因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以＝＝＝＝－i.

6．答案：A

解析：＝2＋ai，∴z＝6－a＋(2＋3a)i，∵|z|＝5，∴＝5，解得正数a＝1.

7．答案：D

解析：因为z＝1＋i，所以＝＝＝i，＝＝＝－i，所以()2020＋()2021＝i2020＋(－i)2021＝1－i，

故其虚部为－1.

8．答案：A

解析：设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，

根据复数的几何意义知：|z－1|表示复平面内点P(x，y)与点A(1,0)的距离，

|z－i|表示复平面内点P(x，y)与点B(0,1)的距离，

因为|z－1|＝|z－i|，即点P(x，y)到A，B两点间的距离相等，

所以点P(x，y)在线段A，B的垂直平分线上，所以在复平面上z对应点的轨迹为直线．

9．答案：AD

解析：由已知z＝＝＝＝1＋i，

∴|z|＝，z－z2＝1＋i－(1＋i)2＝1＋i－2i＝1－i，共轭复数为1－i，z的虚部为1.

其中真命题为AD，BC为假命题．

10．答案：ACD

解析：由已知，3－ai＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，则a＝－1，所以z＝－2i为纯虚数，z2＝－4为实数，因为＝2i，则z＋＝0，z·＝4.

11．答案：AB

解析：由题意，复数z1＝＝＝－1－i，

所以复数z1在复平面内对应的点(－1，－1)位于第三象限，所以A正确；

由z1＝－1－i，可得复数的虚部为－1，所以B正确；

由z＝(－1－i)4＝[(－1－i)2]2＝(2i)2＝－4，所以C不正确；

由|z1|＝＝，所以满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，半径为的圆上，所以D不正确．

12．答案：ABD

解析：设z1＝a＋bi，z2＝a－bi，则z1z2＝a2＋b2为实数，A选项正确．

设＝a∈R，(a≠0)，则z＝∈R，B选项正确．

＝＝－2－i，其共轭复数是－2＋i，C选项错误．

设a∈R是方程的实根，则a2＋2a＋b＋(a＋1)i＝0，∴a＝－1，b＝1，D选项正确．

13．答案：－7

解析：∵(a＋i)(3＋4i)＝(3a－4)＋(3＋4a)i的实部与虚部相等，∴3a－4＝3＋4a，即a＝－7.

14．答案：

解析：∵z＝(2＋i3)(1－ai)＝(2－i)(1－ai)＝2－a－(2a＋1)i且z∈R，∴2a＋1＝0，可得a＝－，因此，z＝.

15．答案：

解析：依题意可得Z1(1,2)、Z2(3,1)

|OZ1|＝＝，|OZ2|＝＝，|Z1Z2|＝＝，

所以|OZ1|2＋|Z1Z2|2＝|OZ2|2，所以OZ1⊥Z1Z2，

所以S△OZ1Z2＝|OZ1|·|Z1Z2|＝××＝.

16．答案：0　－1

解析：eiπ＋1＝cos π＋isin π＋1＝－1＋1＝0，＋i＝cos＋isin＝，

因此，＝＝eπi＝cos π＋isin π＝－1.