(新高考)高考数学一轮基础复习讲义5.5复数(2份打包，教师版+原卷版)

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　 　)

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　 　)

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　 　)

(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　 　)

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　 　)

无

题型一　复数的概念

例1　(1)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于(　　)

A．3，－2   B．3,2

C．3，－3   D．－1,4

(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

(3)i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．

引申探究

1．若将本例(1)中方程左边改为(1＋i)(2－3i)，求a，b的值．

2．若将本例(3)中的条件“(1＋i)z＝2”改为“(1＋i)3z＝2”，求z的实部．

　(1)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为(　　)

A．1  B．i  C.  D．0

(2)已知复数z满足z2＝－4，若z的虚部大于0，则z＝________.

题型二　复数的运算

命题点1　复数的乘法运算

例2　(1)设i为虚数单位，则复数(1＋i)2等于(　　)

A．0  B．2  C．2i  D．2＋2i

(2)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|等于(　　)

A．1  B.  C.  D．2

(3)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a等于(　　)

A．－1  B．0  C．1  D．2

命题点2　复数的除法运算

例3　(1)若z＝1＋2i，则等于(　　)

A．1  B．－1  C．i  D．－i

(2)复数等于(　　)

A．i  B．1＋i  C．－i  D．1－i

(3)()6＋＝________.

命题点3　复数的综合运算

例4　(1)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于(　　)

A．1＋2i   B．1－2i

C．－1＋2i   D．－1－2i

(2)若z＝4＋3i，则等于(　　)

A．1   B．－1

C.＋i   D.－i

(3)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　)

A．－4  B．－  C．4  D.

　(1)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z等于(　　)

A．1－i  B．1＋i  C．－1－i  D．－1＋i

(2)2 017＝________.

(3)＋2 017＝________.

题型三　复数的几何意义

例5　(1)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的(　　)

A．内心   B．垂心

C．重心   D．外心

(2) 如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：

①，所表示的复数；

②对角线所表示的复数；

③B点对应的复数．

　已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

1．复数的有关概念

(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．(i为虚数单位)

(2)分类：

(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．

2．复数的几何意义

复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．

3．复数的运算

(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.

典例　已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.

1．设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于(　　)

A．－3  B．－2  C．2  D．3

2．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于(　　)

A．－2－i  B．－2＋i  C．2－i  D．2＋i

3．设i是虚数单位，若z＝cos θ＋isin θ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

4．i2 011＋i2 012＋i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016＋i2 017＝________.

1．已知a>0，b>0，且(1＋ai)(b＋i)＝5i(i是虚数单位)，则a＋b等于(　　)

A.  B．2  C．2  D．4

2．已知i为虚数单位，a∈R，如果复数2i－是实数，则a的值为(　　)

A．－4  B．2  C．－2  D．4

3．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　)

A．E  B．F  C．G  D．H

4．是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z等于(　　)

A．1＋i   B．－1－i

C．－1＋i   D．1－i

5．设f(n)＝n＋n(n∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．无数个

6．集合M＝{4，－3m＋(m－3)i}(其中i为虚数单位)，N＝{－9,3}，若M∩N≠∅，则实数m的值为(　　)

A．－1   B．－3

C．3或－3   D．3

*7.若i为虚数单位，已知a＋bi＝(a，b∈R)，则点(a，b)与圆x2＋y2＝2的位置关系为(　　)

A．在圆外  B．在圆上

C．在圆内  D．不能确定

8．已知i是虚数单位，则满足z－i＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点所在的象限为(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

9．复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是________．

10．已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数m的值为________．

11．已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m(1＋i)＝1＋ni，则()2 017＝________.

12．已知i为虚数单位，则＝________.

13．设a∈R，若复数z＝(i为虚数单位)的实部和虚部相等，则a＝________，||＝________.

14．已知复数z＝1－i(其中i是虚数单位)，满足2＋az＝0，则实数a＝________，|z＋a|＝________.

*15.若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝________，c＝________.