新高考数学一轮复习过关训练第28课 正弦定理和余弦定理（2份打包，原卷版+解析版）

第28课　正弦定理和余弦定理

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

【基础巩固】

1．（2022·浙江·镇海中学高三开学考试）在中，，，则外接圆的半径为（       ）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】A

【解析】设R为外接圆的半径，故，解得．

故选：A．

2．（2021·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（       ）

A．1 B． C． D．3

【答案】D

【解析】设，

结合余弦定理：可得：，

即：，解得：（舍去），

故.

故选：D.

3．（2022·全国·高三专题练习）在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】对于A选项，，，

，又，

由正弦定理得：，，

三角形三边确定，此时三角形只有一解，不合题意；

对于B选项，，，，

由余弦定理得：，

三角形三边唯一确定，此时三角形有一解，不合题意；

对于C选项，，三边均为定值，三角形唯一确定，

故选项C不合题意；

对于D选项，，，，

由正弦定理得：，

，，，

有两解，符合题意，

故选：D.

4．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C所对的分别为a，b，c，下列结论错误的是（       ）

A．若a＝2，b＝2021，c＝2022，则为钝角三角形

B．若sin2A＝sin2B，则是等腰三角形

C．若a：b：c＝2：3：4，则中最小的内角为A，且

D．若a＝2，，，则

【答案】B

【解析】在中，最大的内角为C，，故为钝角三角形，A正确．

因为sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或，故是等腰三角形或直角三角形，B错误．

设a＝2x，b＝3x，c＝4x（x>0），中最小的内角为A，由余弦定理知．因为，所以，故中最小的内角为A，且，C正确．

．因为0<A<π，所以或．又因为c>a，所以C>A．则不符合题意，舍去，故，D正确．

故选：B.

5．（2022·江苏南通·模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，，，则（     ）

A．能制作一个锐角三角形 B．能制作一个直角三角形

C．能制作一个钝角三角形 D．不能制作这样的三角形

【答案】C

【解析】设三角形的三条边为a，b，c，设中点为D，

，则

，∴

同理，

∴，∴，，∴可以构成三角形

，∴，

∴为钝角三角形，

故选：C

6．（2022·山东临沂·二模）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积．根据此公式，若，且，则△ABC的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由正弦定理边角互化可知化简为

，

即

，,

，解得：，

根据面积公式可知.

故选：A

7．（2022·全国·高三专题练习）在锐角中，若，且，则的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，得，，

，．由题，由正弦定理有，故，即，故，即，由正弦定理有，故，，又锐角，且，，，解得，，，

，，，，，，

的取值范围为．

故选：A．

8．（2022·全国·高三专题练习）在中，三边长满足，则的值为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】方法一：，由正弦定理得：，

，，；

，

，

，又，

，

，，，

，即，

整理可得：，

，，，，；

方法二：令，，，则满足；

则可知：，；

由得：，解得：或，

，，，.

故选：C.

9．（多选）（2022·广东·汕头市第一中学高三阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且（       ）

A．若，，则

B．若，，则的面积为

C．若，则的最大值为

D．若，则周长的取值范围为

【答案】ACD

【解析】因为，所以.

对于A，B，若，则，

，解得，

的面积，A正确，B错误.

对于C，若，则，

，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，C正确.

对于D，若，则根据三边关系可得即解得，则，的周长为，故周长的取值范围为，D正确.

故选：ACD

10．（多选）（2022·山东·高三开学考试）在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．若，则

C．

D．若，且，则△为等边三角形

【答案】ACD

【解析】A：由，根据等比的性质有，正确；

B：当时，有，错误；

C：，而，即，由正弦定理易得，正确；

D：如下图，是单位向量，则，即、，则且平分，的夹角为， 易知△为等边三角形，正确.

故选：ACD

11．（2021·全国·高考真题（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．

【答案】

【解析】由题意，，

所以，

所以，解得（负值舍去）.

故答案为：.

12．（2022·海南中学高三阶段练习）已知四边形ABCD为圆内接四边形，若，，.则四边形ABCD的面积为______.

【答案】

【解析】解：设，在与中，由余弦定理得

，

，

又由于，即，解得，即得.

故，

∴.

故答案为：.

13．（2022·北京·二模）已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则能使成立的一组A，B的值是________．

【答案】（答案不唯一）

【解析】由正弦定理得：，

 ，，

，

，

（答案不唯一）.

故答案为：（答案不唯一）.

14．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）在中，P是边上靠近B点得四等分点，，则_______，则__________．

【答案】     2    

【解析】由余弦定理，得，

又，得，

所以，联立，得，

所以，

所以.

故答案为：2；.

15．（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

(1)求的值；

(2)若，求的面积．

【解】(1)由于， ，则．因为，

由正弦定理知，则．

(2)因为，由余弦定理，得，

即，解得，而，，

所以的面积．

16．（2022·全国·高考真题（理））记的内角的对边分别为，已知．

(1)证明：；

(2)若，求的周长．

【解】(1)证明：因为，

所以，

所以，

即，

所以；

(2)解：因为，

由（1）得，

由余弦定理可得，

则，

所以，

故，

所以，

所以的周长为.

17．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)若，求B；

(2)求的最小值．

【解】(1)因为，即，

而，所以；

(2)由（1）知，，所以，

而，

所以，即有．

所以

．

当且仅当时取等号，所以的最小值为．

【素养提升】

1．（2022·广东深圳·高三阶段练习）在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（       ）

A．16 B．24 C．25 D．36

【答案】A

【解析】因为的内切圆的面积为，所以的内切圆半径为4．设内角，，所对的边分别为，，．因为，所以，所以．因为，所以．设内切圆与边切于点，由可求得，则．又因为，所以．所以．又因为，所以，即，整理得．因为，所以，当且仅当时，取得最小值．

故选：A．

2．（2022·全国·模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：∵，∴，

∴，∴，

∴，∴

，∴，∴或（不符合题意舍去），

∴，

∴

，

设，

∵是锐角三角形，∴，∴，

∴，

∴，

令，则，

∴函数在上单调递增，

故，

∴.

故选：C．

3．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：在中，由余弦定理得，

且的面积，

由，得，化简得，

又，，联立得，

解得或（舍去），

所以，

因为为锐角三角形，所以，，所以，

所以，所以，所以，

设，其中，所以，

由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，

当时，；当时，；当时，；

所以，即的取值范围是．

故选：C.

4．（2022·重庆·三模）在矩形中，，，E，F分别在边AD，DC上（不包含端点）运动，且满足，则的面积可以是（       ）

A．2 B． C．3 D．4

【答案】BC

【解析】

如图，以为原点，所在的直线为轴的正方向建立平面直角坐标系，

设，

因为，，，

所以，，，

由余弦定理得得

，可得

，当且仅当等号成立，

即，解得，或，

因为，所以，所以，

因为，

所以

，

因为，所以，

所以，，

而，，，，

故选：BC.

5．（2022·北京·测试学校四高三）在中，，其外接圆半径，且，则___________.

【答案】1

【解析】因为，

所以

因为，

所以,

进而有，

于是

因为，

所以.

故答案为：1

6．（2021·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.

（1）证明：；

（2）若，求.

【解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，

得，

因为，所以，即．

又因为，所以．

（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理

因为，如图，在中，，①

在中，．②

由①②得，整理得．

又因为，所以，解得或，

当时，（舍去）．

当时，．

所以．

[方法二]：等面积法和三角形相似

如图，已知，则，

即，

而，即，

故有，从而．

由，即，即，即，

故，即，

又，所以，

则．

[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合

由（1）知，再由得．

在中，由正弦定理得．

又，所以，化简得．

在中，由正弦定理知，又由，所以．

在中，由余弦定理，得．

故．

[方法四]：构造辅助线利用相似的性质

如图，作，交于点E，则．

由，得．

在中，．

在中．

因为，

所以，

整理得．

又因为，所以，

即或．

下同解法1．

[方法五]：平面向量基本定理

因为，所以．

以向量为基底，有．

所以，

即，

又因为，所以．③

由余弦定理得，

所以④

联立③④，得．

所以或．

下同解法1．

[方法六]：建系求解

以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，

长为单位长度建立直角坐标系，

如图所示，则．

由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．

设，则．⑤

由知，，

即．⑥

联立⑤⑥解得或（舍去），，

代入⑥式得，

由余弦定理得．