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山东省2022年中考数学（五四制）一轮课件：第四章 第5课时 相似三角形
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这是一份山东省2022年中考数学（五四制）一轮课件：第四章 第5课时 相似三角形，共41页。PPT课件主要包含了ad＝bc，成比例，相似比，相似比的平方，对应成比例，2或45，相似三角形的实际应用，相似三角形的综合应用等内容，欢迎下载使用。
相似三角形的性质与判定
【划重点】相似三角形的性质与判定是重要考点，常常用相似三角形的性质求线段之间的比值关系．
2．(2021·威海乳山模拟)如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点M在边AB上，且AM＝3，点N在边AC上．当AN＝ 时，△AMN与原三角形相似．
3．如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40.求证：△ABC∽△AED.
4．(2021·湖北黄冈)如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.(1)求证：△ABC∽△DEC；(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．
(1)证明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE，∴∠DCE＝∠ACB.又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC.(2)解：EC＝9.
5．(2021·上海)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，点O是对角线AC的中点，连接BO并延长交边CD或边AD于点E.(1)当点E在CD上时，①求证：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求 的值；(2)若DE＝2，OE＝3，求CD的长．
《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)？请你计算KC的长为 步．
【思路分析】 证明△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性质即可求出CK的长．
【方法点拨】 在含有比值与相似的问题中，关键是证明三角形相似．判定三角形相似的方法一般有：1．条件中若有平行线，可采用找角相等证两个三角形相似；2．条件中若有一组对应角相等，可再找一组对应角相等或再找此角所在的两边对应成比例；3．条件中若有两组边对应成比例，可找夹角相等；4．条件中若有一组直角，可考虑再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例；5．条件中若有等腰三角形，可找顶角相等或找对应底角相等或找底和腰对应成比例．
(2018·济南)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD，DE，AE.(1)如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，请直接写出∠ADE的度数；(2)如图2，当点D落在线段BC(不含端点)上时，AC与DE交于点F，请问(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由；(3)在(2)的条件下，若AB＝6，求线段CF的最大值．
【规范解答】(1)∠ADE＝30°.(2)(1)中结论仍成立．理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵∠ACB＝∠ACE，∴∠B＝∠ACE.∵AB＝AC，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC＝120°，∴∠ADE＝30°.(3)CF的最大值为 .
【方法点拨】 1．根据相似三角形的性质列比例式解方程是求解未知数的一种重要依据；2．最值问题一般都是通过把未知量用二次函数表示，转化为二次函数的最值的问题来解决.
【问题情境1——示例】1.已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则x的值为( ) A．3 B．4C．5 D．6
【问题情境2——示例】2．(2020·甘肃天水)如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5 m，测得AB＝1.2 m，BC＝12.8 m，则建筑物CD的高是( )A．17.5 m B．17 mC．16.5 m D．18 m
【问题情境3——示例】3．据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，木杆EF的长为2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，则金字塔的高度BO为 m.
【问题情境4——示例】4．(2020·东营改编)在△ABC中，∠ACB＝90°， CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC，BC的延长线相交，交点分别为点E，F, DF与AC交于点M, DE与BC交于点N.如图，在∠EDF绕点D旋转的过程中，试证明CD2＝CE·CF恒成立．
相似三角形的性质与判定
【划重点】相似三角形的性质与判定是重要考点，常常用相似三角形的性质求线段之间的比值关系．
2．(2021·威海乳山模拟)如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点M在边AB上，且AM＝3，点N在边AC上．当AN＝ 时，△AMN与原三角形相似．
3．如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40.求证：△ABC∽△AED.
4．(2021·湖北黄冈)如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.(1)求证：△ABC∽△DEC；(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．
(1)证明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE，∴∠DCE＝∠ACB.又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC.(2)解：EC＝9.
5．(2021·上海)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，点O是对角线AC的中点，连接BO并延长交边CD或边AD于点E.(1)当点E在CD上时，①求证：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求 的值；(2)若DE＝2，OE＝3，求CD的长．
《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)？请你计算KC的长为 步．
【思路分析】 证明△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性质即可求出CK的长．
【方法点拨】 在含有比值与相似的问题中，关键是证明三角形相似．判定三角形相似的方法一般有：1．条件中若有平行线，可采用找角相等证两个三角形相似；2．条件中若有一组对应角相等，可再找一组对应角相等或再找此角所在的两边对应成比例；3．条件中若有两组边对应成比例，可找夹角相等；4．条件中若有一组直角，可考虑再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例；5．条件中若有等腰三角形，可找顶角相等或找对应底角相等或找底和腰对应成比例．
(2018·济南)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD，DE，AE.(1)如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，请直接写出∠ADE的度数；(2)如图2，当点D落在线段BC(不含端点)上时，AC与DE交于点F，请问(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由；(3)在(2)的条件下，若AB＝6，求线段CF的最大值．
【规范解答】(1)∠ADE＝30°.(2)(1)中结论仍成立．理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵∠ACB＝∠ACE，∴∠B＝∠ACE.∵AB＝AC，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC＝120°，∴∠ADE＝30°.(3)CF的最大值为 .
【方法点拨】 1．根据相似三角形的性质列比例式解方程是求解未知数的一种重要依据；2．最值问题一般都是通过把未知量用二次函数表示，转化为二次函数的最值的问题来解决.
【问题情境1——示例】1.已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则x的值为( ) A．3 B．4C．5 D．6
【问题情境2——示例】2．(2020·甘肃天水)如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5 m，测得AB＝1.2 m，BC＝12.8 m，则建筑物CD的高是( )A．17.5 m B．17 mC．16.5 m D．18 m
【问题情境3——示例】3．据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，木杆EF的长为2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，则金字塔的高度BO为 m.
【问题情境4——示例】4．(2020·东营改编)在△ABC中，∠ACB＝90°， CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC，BC的延长线相交，交点分别为点E，F, DF与AC交于点M, DE与BC交于点N.如图，在∠EDF绕点D旋转的过程中，试证明CD2＝CE·CF恒成立．
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