2021-2022学年广东省佛山市禅城区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省佛山市禅城区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

4. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，直线，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6. 下列事件中是不可能事件的是(    )

A. 从一副扑克牌中任抽一张牌恰好是“红桃”
B. 在装有白球和黑球的袋中摸球，摸出了红球
C. 年大年初一早晨艳阳高照
D. 从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级

7. 我国西部干旱缺水，在全国开展献爱心、建母亲水窖的活动，如图是某母亲水窖的横断面示意图，如果这个母亲水窖以固定的流量注水，下面能大致表示水的深度和时间之间的关系的图象是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 已知，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 甲、乙两车沿同一条路从地出发匀速行驶至相距的地，甲出发小时后乙再出发，如图表示甲、乙两车离开地的距离与乙出发的时间之间的关系，下列结论错误的是(    )

A. 甲车的速度是  B. 乙车的速度是 
C. 的值为，的值为 D. 甲车出发后被乙车追上

11. 如图，某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是(    )

A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B. 掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上的点数是
C. 掷一枚质地均匀的硬币，硬币正面朝上
D. 用，，三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数

12. 如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：；；；连接，平分其中正确的是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 已知，，则的值是______．
14. 三角形的三条______线交于一点，这点称为三角形的重心．
15. 在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的倍，则这两个锐角分别为______．
16. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为______．
17. 一个底面是正方形的长方体，高为，底面正方形边长为如果它的高不变，底面正方形边长增加，那么它的体积增加______．
18. 如图，将一个长方形纸片，沿着折叠，使、点分别落在点，处．且边经过点，若，则______．

三、解答题（本大题共6小题，共60分）

19. 计算：
    ；
    先化简，再求值：其中，．
20. 一个不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共个，它们除颜色外其他均相同，其中红色球有个、黄色球的数量是蓝色球数量的倍．
    求摸出个球是蓝色球的概率；
    再往箱子中放入多少个蓝色球，可以使摸出个蓝色球的概率为？
21. 周末，小明坐公交车到文华公园游玩，他从家出发小时后到达书城，停留一段时间后继续坐公交车到文华公园，在小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往文华公园，如图是他们离家的路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题：
    图中自变量是______，因变量是______；小明家到文华公园的路程为______；
    小明书城停留的时间为______，小明从家出发到达文化公园的平均速度为______；
    图中的点表示______；
    爸爸驾车经过多久追上小明？此时距离文华公园多远？

22. 如图，在中，．
    利用尺规，作边的垂直平分线交于点，交开点不写作法，保留作图痕迹
    在中，连接，若，试求出的度数．

23. 阅读材料“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：如图．
    利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
    
    方法应用根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
    由图可得等式：______；由图可得等式：______；
    利用图得到的结论，解决问题：若，，则______；
    如图，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形无空隙、无重叠地拼接，则______；
    如图，若有张边长为的正方形纸片，张边长分别为的长方形纸片，张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形无空隙、无重叠地拼接，则拼成的正方形的边长最长可以为______．
    方法拓展
    已知正数，，和，，满足试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明．
24. 如图，在中，，，为射线上一动点不与点、重合，在的右侧作，使得，，连接．
    
    若，则______．
    当点在线段上时，求证：≌．
    若点运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由．
    在点的运动过程中，当垂直于的某边时，则______用含的代数式表示．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：数据用科学记数法表示为．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角形的三边关系。根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断。
【解答】

解：，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；
B.，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
C.，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
D.，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意。
故选D。

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】
解：、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
要求的度数，只需根据平行线的性质求得其邻补角的度数即可．
本题考查了平行线的性质以及邻补角的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：从一副扑克牌中任抽一张牌恰好是“红桃”，这是随机事件，故A不符合题意；
B.在装有白球和黑球的袋中摸球，摸出了红球，这是不可能事件，故B符合题意；
C.年大年初一早晨艳阳高照，这是随机事件，故C不符合题意；
D.从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，这是必然事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度与时间之间的关系分为两段，先快后慢．
故选：．
首先看图可知，母亲水窖的下部分比上部分的体积小，故与的关系变为先快后慢．
考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作，
直线，
，
，
，
，
．
故选：．
首先过点作，由直线，可得，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案的度数，又由是含有角的三角板，即可求得的度数，继而求得的度数．
此题考查了平行线的性质．此题难度不大，注意辅助线的作法，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．
本题考查了完全平方公式，能熟记公式是解此题的关键，注意：．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据图象可知，，解得：，
甲车的速度： ，乙车的速度：，
故A，，C正确，不符合题意；
，
乙车出发小时后追上甲车，
故D错误，符合题意，
故选：．
根据函数图象，列出关于，的方程，求出，的值，从而即可逐一判断各个选项．
本题考查了一次函数的应用，理解函数图象以及分别求出甲、乙两人的速度是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故此选项不符合要求；
B.掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上的点数是的概率，故此选项符合要求；
C.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率，故此选项不符合要求；
D.用，，三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数的概率为，故此选项不符合要求；
故选：．
根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

12.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
又、分别平分、，
，
，故正确．
，
又，
，
，
又，
在和中，
，
≌，
，，，故正确．
，，，
在和中，
，
≌，
，故正确．
如图，连接，

的角平分线、相交于点，
点到、的距离相等，点到、的距离相等，
点到、的距离相等，
点在的平分线上，
平分，故正确．
其中正确的是，共个．
故选：．
根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断；根据全等三角形的判定和性质判断；根据角平分线的判定与性质判断．
本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
原式，
故答案为：
原式逆用同底数幂的乘法法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

14.【答案】中 

【解析】解：三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心，
故答案为：中．
根据三角形的重心的定义，即可解答．
本题考查了三角形的重心，熟练掌握三角形的重心的定义是解题的关键．
 

15.【答案】和 

【解析】解：设一个锐角为，则另一个锐角为，
三角形是直角三角形，
，
解得：，
则，
所以这两个锐角分别为和，
故答案为：和．
根据直角三角形的两锐角互余列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的两边长分别为和，
当腰长是时，则三角形的三边是，，，不满足三角形的三边关系；
当腰长是时，三角形的三边是，，，三角形的周长是．
故填．
根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为或是腰长为两种情况．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：高为，底面正方形边长为长方体的体积为，，
高不变，底面正方形边长增加后长方体的体积为，，
则它的体积增加．
故答案为：．
根据完全平方公式的几何背景计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：设，
，
，
由折叠得：
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先设，则，根据折叠的性质可得，然后利用矩形的性质可得，，从而利用平行线的性质可得，最后根据直角三角形的两个锐角互余可得，进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：

；
  


，
当，时，原式

． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先利用平方差公式，完全平方公式计算括号里，再算括号外，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：蓝色球有个，
所以摸出一个球是蓝色球；

设再往箱子里放入个蓝色球，可以使摸出个蓝色球的概率为，
则，
解得，．
答：再往箱子里放入个蓝色球，可以使摸出的个蓝色球的概率为． 

【解析】首先求得蓝色球的个数，然后利用概率公式求解即可；
设再往箱子里放入个蓝色球，可以使摸出个蓝色球的概率为，根据题意得，求得值即可．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

21.【答案】小明离家的时间  他们离家的路程        爸爸出发小时后到达文华公园 

【解析】解：由图象可得，自变量是小明离家的时间，因变量是他们离家的路程，小明家到文华公园的路程为，
故答案为：小明离家的时间，他们离家的路程，；
由图象可得，小明在中心书城逗留的时间为，小明从家出发到达文化公园的平均速度为：，
故答案为：，；
由图象可得，点坐标为，表示爸爸出发小时后到达文华公园，或小明离家小时时，爸爸到达文华公园，或爸爸离家的路程为；
由图象可得，小明从书城到公园的平均速度为，
小明爸爸驾车的平均速度为，
爸爸驾车经过追上小明，
；
方法二：设爸爸出发后追上小明，根据题意得：
，
解得：，
，
即爸爸驾车经过小时追上小明，此时距离文华公园．
根据图象进行判断，即可得出自变量与因变量、路程；
根据图象中数据进行计算，即可得到时间、速度；
根据自变量、因变量表示的意义以及点坐标即可得到点坐标表示的意义；
根据相应的路程除以时间，即可得出两人速度，再根据追击问题关系式即可解答．
本题考查了函数的图象，以及行程问题的数量关系的运用，解题关键是正确理解清楚函数图象的意义．
 

22.【答案】解：如图所示，直线为所求作的图形；

设，
垂直平分，
，
，
，
又，
，
在三角形中：，
即：，
解得，
． 

【解析】根据要求作出图形即可；
设，利用三角形内角和定理构建方程，可得结论．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，学会利用参数构建方程解决问题．
 

23.【答案】         

【解析】解：由图知，大长方形的面积，
大长方形的面积个小正方形的面积个小长方形的面积，
；
由图知，大正方形的面积，
大正方形的面积个正方形的面积个小长方形的面积个小长方形的面积个小长方形的面积，
；
故答案为：，．
由图得，
，
，
把，代入，
．
故答案为：．
，
可以看成张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼成的大长方形的面积，
，，，
．
故答案为：．
张边长为的正方形纸片的面积为，张边长分别为的长方形纸片的面积为，张边长为的正方形纸片的面积为，要想从中取出若干张纸片拼成一个正方形无空隙、无重叠地拼接，则选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，
可以选取张边长为的正方形纸片、张边长分别为的长方形纸片、张边长为的正方形纸片，此时围成的正方形面积为，此时正方形的边长，
也可以选取张边长为的正方形纸片、张边长分别为的长方形纸片、张边长为的正方形纸片，此时围成的正方形面积为，此时正方形的边长，
拼成的正方形的边长最长为．
故答案为：．


如图，构造了一个边长为的正方形，，
在正方形的个边上分别截取，，和，
，
，，，，如图构造长方形，
个长方形的面积和为，大正方形的面积为，
．
大长方形的面积长宽，也等于个小正方形和个小长方形面积的和，两种方法求得的大长方形的面积相等，即“等积法”得到等式．
用的结论变形后代入求值．
观察长方形找到、对应的值，代入求值．
通过分析，找到可以拼成正方形的可能的情况，然后找到正方形的最大边长．
通过构造边长为的正方形，用个长方形的面积表示，用面积直观地说明．
本题用“等积法”解决多项式乘积的代数问题，渗透数形结合的思想，用代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
 

24.【答案】 或 

【解析】解：，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：；

证明：如图，

，
，
，
在和中，
，
≌；

解：，理由如下：
由知≌，
，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
；

解：如图，当时，

，，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
；
如图，当时，

，
，
由知，，
，
，
≌，
，，
，
，
．
综上所述，当垂直于的某边时，则或．
故答案为：或．
根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可求解；
由得，利用即可得出结论；
由知≌，根据全等三角形的性质得，，则，可得为等边三角形，则，可得，得出，根据平行线的判定可得；
分两种情形：当时，当时，利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．