2021-2022学年广东省佛山市南海区、三水区七年级（下）期末数学试卷(含解析 )

2021-2022学年广东省佛山市南海区、三水区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. “智能变色液晶高分子薄膜”是一种新型材料，它的厚度只有米．将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，直线、被直线所截，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 下列事件中，属于必然事件的是(    )

A. 经过路口，恰好遇到红灯 B. 人中至少有人的生日相同
C. 打开电视，正在播放动画片 D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上

5. 若，则的余角的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列长度的三条线段能构成三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

7. 已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围内，其关系如表所示，下列说法错误的是(    )

A. 自变量是传播速度，因变量是温度
B. 温度越高，传播速度越快
C. 当温度为时，声音可以传播
D. 温度每升高，传播速度增加

8. 下面图形中，对称轴最少的是(    )

A. 正方形 B. 长与宽不相等的长方形
C. 等边三角形 D. 圆

9. 如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为，则和的关系是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 挪威数学家阿贝尔年轻时就利用阶梯形发现了一个重要的恒等式阿贝尔公式．如图是一个简单的阶梯形，可用两种方法把图形分割成为三个长方形．利用它们之间的面积关系，可以得到：(    )

A.
B.
C.
D.
 

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 在一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的个小球，其中红球的个数为，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋中，通过大量重复实验发现，摸到红球的频率稳定于附近，那么可以推算出的值大约是______．
12. 如图，点，，，在一条直线上，，，请添加一个条件，使≌，这个添加的条件可以是______只需写一个，不添加辅助线．

13. 小军用元去买单价为元的笔记本，他买完笔记本之后剩余的钱元与买这种笔记本数量本为正整数之间的关系式为______．
14. 如图，用一块边长为的正方形厚纸板做一套七巧板．如图，将这套七巧板拼成一座桥全部用完，这座桥的阴影部分的面积是______．

15. 如图，用大小相同的小正方形拼图，第个图是一个小正方形；第个图由个小正方形拼成；第个图由个小正方形拼成，依此规律，若第个图比第个图多用了个小正方形，则的值是______．

16. 如图，在中，，，将其折叠，使点落在边上的点处，与重合，折痕为，则的度数是______．

17. 如图，是等边三角形，直线于点，点在直线上运动，以为边向右作等边，连接，若，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共62分）

18. 计算：．
19. 如图，在中，，，为边上一点．尺规作图：作，使≌，且，点在外．

20. 有两个盒子，分别装有若干个除颜色外都相同的球，第一个盒子装有个红球和个白球，第二个盒子装有个红球和个白球．分别从这两个盒子中各摸出个球，请你通过计算来判断从哪一个盒子中摸出白球的可能性更大．
21. 先化简，再求值：，其中，．
22. 如图，在中，点、分别在、上，且，．
    求证：．
    若平分，，求的度数．

23. 一辆汽车油箱内有油升，从某地出发，每行驶小时耗油升，若设行驶时间为小时，剩余油量为升，根据以上信息回答下列问题：
    开始时，汽车的油量______升．
    ______小时的时候，汽车加油，加了______升．
    当这辆汽车行驶了小时，剩余油量多少升？

24. 数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图中边长分别为、的正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，由图可得．
    由图可以解释的等式是______．
    用张边长为的正方形纸片，张长为、宽为的长方形纸片，张边长为的正方形纸片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为______．
    用张长为，宽为的长方形纸片按照图方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为、，若的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．
     

25. 如图，在中，，点在线段上运动不与、重合，连接，在右侧，且当点不与点重合时，连接．
    当点是中点时，的度数是______．
    当时，探究与的位置关系，并证明．
    线段、、三者之间在数量上满足怎样的等量关系？请证明．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则，同底数幂乘法法则，积的乘方法则和单项式除以单项式的法则计算即可．
本题综合考查了合并同类项法则，同底数幂乘法法则，积的乘方法则和单项式除以单项式的法则，解题的关键是熟练掌握运算法则并灵活运用．
 

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图：

，，
，
，
．
故选：．
根据两直线平行，同位角相等，即可求得的度数，又由邻补角的定义，即可求得的度数．
此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
 

4.【答案】 

【解析】解：、经过路口，恰好遇到红灯，是随机事件，本选项不符合题意；
B、人中至少有人的生日相同，是必然事件，本选项符合题意；
C、打开电视，正在播放动画片，是随机事件，本选项不符合题意；
D、抛一枚质地均匀的硬币，是随机事件，本选项不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

5.【答案】 

【解析】解：设的余角是，则，
，
．
故选：．
设的余角是，则，再根据求出的度数即可．
本题考查的是余角的定义，即如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，能组成三角形，符合题意；
B、，不能够组成三角形，不符合题意；
C、，不能够组成三角形，不符合题意；
D、，不能够组成三角形，不符合题意．
故选：．
根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
本题考查了三角形的三边的关系，正确理解三边关系定理是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、自变量是温度，因变量是传播速度，故原题说法错误；
B、温度越高，传播速度越快，故原题说法正确；
C、当温度为时，声音可以传播，故原题说法正确；
D、温度每升高，传播速度增加，故原题说法正确；
故选：．
根据所给表格，结合变量和自变量定义可得答案．
此题主要考查了常量与变量，关键是掌握在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
 

8.【答案】 

【解析】解：正方形有四条对称轴，长与宽不相等的长方形由两条对称轴，等边三角形由三条对称轴，圆有无数条对称轴，
所以对称轴最少的是长与宽不相等的长方形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，
在与中，
，
≌，
．
，
．
故选：．
根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图
，
，
故选：．
通过用两种方法把图形分割成为三个长方形．利用它们之间的面积关系，从而列式求解．
本题考查整式的混合运算，准确识图，通过用两种方法把图形分割成为三个长方形．利用它们之间的面积关系列出等式是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：袋中红球的个数为，且大量重复实验发现，摸到红球的频率稳定于附近，
袋中球的总个数的值大约是，
故答案为：．
用红球的个数除以摸到红球的频率稳定值即可得出答案．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：添加的条件是，
理由是：，
，
即，
在和中，
，
≌，
故答案为：答案不唯一．
此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．
 

13.【答案】为正整数 

【解析】解：依题意得，剩余的钱元与买这种笔记本的本数之间的关系为：．
故答案为：为正整数．
由剩余的钱原有的钱用去的钱，可列出函数关系式．
此题主要考查了列函数关系式，关键是明确剩余的钱与用去的钱之间的等量关系．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据七巧板知，阴影部分的面积刚好是大正方形面积的一半，
这座桥的阴影部分的面积是，
故答案为：．
根据七巧板知，阴影部分的面积刚好是大正方形面积的一半，据此计算即可．
本题主要考查七巧板的知识，根据七巧板的知识得出阴影部分的面积刚好是大正方形面积的一半，是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：第个图形中小正方形的个数为：；
第个图形中小正方形的个数为；
第个图形中小正方形的个数为，
，
第个图形中小正方形的个数为：，
第个图比第个图多用了个小正方形，
，
解得：．
故答案为：．
由题意不难得出第个图形中小正方形的个数为：，从而可列出相应的方程求解即可．
本题是主要考查图形的变化规律，解答的关键是得出第个图形中小正方形的个数是．
 

16.【答案】 

【解析】解：中，，，
，
由题意可知≌，
，
由图可知是 的外角，
，
，
．
故答案为：．
中已知两个角的度数，求出的度数，由折叠可知≌，知道的度数，再利用三角形外角与内角关系求出即可．
主要考查三角形内角和、三角形外角与内角的关系，关键要掌握三角形外角等于和它不相邻的两个内角和．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，

和都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
过点作于点，
点在直线上一动点，
点与点重合时，有最小值，
，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
连接，由等边三角形的性质得出，，，证明≌，由全等三角形的性质得出，过点作于点，由直角三角形的性质求出的值，则可得出答案．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段的性质，证明≌是解题的关键．
 

18.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示：即为所求．
 

【解析】在外作，再在上截取，再连接即可求解．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定，等腰直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

20.【答案】解：第一个盒子中共有球，第二个盒子中共有球，摸到每个球的可能性相等，
第一个盒子摸出白球的可能性为．
第二个盒子摸出白球的可能性为．
，
第一个盒子摸出白球的可能性更大． 

【解析】分别求得摸到两种球的概率后通过比较概率即可得到摸到的可能性大．
此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目面积相同，谁包含的情况数目面积多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况面积相当，那么它们的可能性就相等．
 

21.【答案】解：


，
当，时，原式． 

【解析】先利用平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式的法则进行计算，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算，化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
，
，
；
解：，
，
，
，
平分，
，
，
． 

【解析】根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可；
根据平行线的性质得出，求出，根据角平分线的定义求出即可．
本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：开始时，汽车的油量升；
故答案为：．
在小时汽车加油，加了：升，
故答案为：；；
升，
答：这辆汽车行驶小时，剩余油量升．
观察函数图象，即可得出结论；
察函数图象即可得加油时的时间和加油数量；
根据题意列式计算即可解答．
本题考查了函数的图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】   

【解析】解：；
故答案为：；
，
该大正方形的面积为，
该大正方形的边长为；
故答案为：；
设，
，

当时，不变，
即．
应用长方形的面积计算方法列出代数式即可得出答案；
根据正方形的面积计算方法列出代数式进行计算即可得出答案；
设，根据长方形的面积计算方法可得，由，当时，即可得出答案．
本题主要考查了多项式乘法，根据题意列出代数式应用多项式乘法进行求解是解决本题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：，是中点，
，
，
，
故答案为：．
分两种情况：
如图，当在左侧时，
，，
，
，
，
；
如图，当在右侧时，
设与交于点，
，，
，
．
综上所述，当时，或．
分两种情况：
如图，当在左侧时，
过点作，交延长线于点，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，．
，，
，
在和中，
，
≌，
．
，
；
如图，当在右侧时，
过点作，交于点，
同得：≌，≌，
，．
，
；
综上所述，当在左侧时，；当在右侧时，．
由等腰三角形的性质得，即可得出结论；
分两种情况，当在左侧时，由等腰三角形的性质得，再由，得，然后由平行线的判定即可得出结论；
当在右侧时，设与交于点，由三角形内角和定理得，即可得出结论；
当在左侧时，过点作，交延长线于点，证≌，得，再证≌，得，即可得出结论；
当在右侧时，过点作，交于点，同得≌，≌，再由全等三角形的性质得，即可得出结论．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，注意分类讨论．