2021-2022学年湖北省武汉市东湖高新区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖北省武汉市东湖高新区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列调查方式中，适宜的是(    )

A. 了解一批灯泡的使用寿命，选择全面调查
B. 选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，采用抽样调查
C. 对乘坐某航班的乘客进行安检，采用全面调查
D. 检测某城市的空气质量，选择全面调查

3. 如图，把小河里的水引到田地处，可以过点向河岸作垂线，垂足为点，沿挖引水沟即可，这样做的理由是(    )

A. 两点之间，线段最短
B. 垂线段最短
C. 点到直线的距离
D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直

4. 如图，，且，若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 已知是关于，的方程的一个解，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知，下列变形错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 已知第四象限的点到轴的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需设从甲地到乙地的上坡路程长，平路路程长为，依题意列方程组正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 商店里甲商品每个元，乙商品每个元，丙商品每个元．某顾客计划用元购买这三种商品共个，如果资金全部用完，则有种购买方案．(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. ______．
12. 某样本的样本容量为，样本中最大值是，最小值是取组距为，则该样本可以分为______组．
13. 如图，直线、相交于点，，垂足为，：：，则______．

14. 我国古代算法统宗里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”这首诗的意思是说：“如果一间客房住七个人，那么就剩下七个人安排不下；如果一间客房住九个人，那么就空出一间客房．”根据诗句提供的信息，设客房有间，住房的客人有人，列出关于，的二元一次方程组为______．
15. 已知关于的不等式组，下列四个结论：
    若它的解集是，则；
    当，不等式组有解；
    若它的整数解仅有个，则的取值范围是；
    若它无解，则．
    其中正确的结论是______填写序号．
16. 问题背景：小明学习不等式的有关知识发现，对于任意两个实数和比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则；这个规律，反过来也成立．
    问题解决：已知，，若，且，试比较大小： ______填“”或“”或“”或“”或“”．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 解方程组：．
18. 解不等式组：．
    解：Ⅰ解不等式，得______；
    Ⅱ解不等式，得______；
    Ⅲ将不等式和的解集在数轴上表示出来；
    
    Ⅳ原不等式组的解集为______．
19. 教育部印发义务教育课程方案和课程标准年版，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了若干名学生进行调查，获得他们在寒假做家务劳动的时间单位：，并对数据即时间进行整理、描述．下面给出了部分信息：
    图是做家务劳动时间的频数分布直方图数据分成组：，，，，，图是做家务劳动时间的扇形统计图．
    
    根据以上信息，回答下列问题：
    本次调查的样本容量是______；
    补全图；
    图中，所在的扇形的圆心角的度数是______；
    已知该校共有名学生，估计该校学生假期做家务劳动时间不少于的人数．
20. 如图，，，平分交的延长线于点，
    证明：；
    若，求的度数．

21. 如图是边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用一把无刻度直尺只能两点连线，不能用直尺或三角板上的直角在给定的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
    过点画线段，使且；
    过点画线段的垂线，垂足为；
    三角形的面积为______；
    若，则线段的长度为______．

22. 某公司的号仓库与号仓库共存粮吨，如果从号仓库运出存粮的，从号仓库运出存粮的，号仓库所余粮食就比号仓库所余粮食多吨，从号仓库、号仓库调运存粮到加工厂的运价分别为元吨和元吨．
    求号仓库与号仓库原来各存粮多少吨？
    该公司将两个仓库中原来的存粮共调出吨运往加工厂进行深加工，若号仓库调出的粮食不少于号仓库调出粮食的倍，设从号仓库调出吨粮食到加工厂，求的取值范围；
    在的条件下，若号仓库到加工厂的运价可优惠元吨，号仓库到加工厂的运价不变，当总运费的最小值为元时，请直接写出的值．
23. 已知，点，分别在直线，上，点在直线上方．
    问题探究：如图，，证明：；
    问题拓展：如图，，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点，请写出和之间的数量关系，并证明．
    问题迁移：如图，，直线分别交，于点，，若点在线段上，且，请直接写出，和之间满足的数量关系用含的式子表示．
     

24. 如图，已知点，，，过点作轴的平行线，一动点从点出发，在直线上以个单位长度秒的速度向右运动，与此同时，直线以个单位长度秒的速度竖直向上运动．
    直接写出：运动秒时，点的坐标为______；
    运动秒时，点的坐标为______；用含的式子表示
    若点在第三象限，且，求点的坐标；
    如图，如果将直线沿轴负半轴向下平移个单位长度，恰好经过点，求的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据算术平方根的概念直接求解即可．
本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：了解一批灯泡的使用寿命，适合使用抽样调查，因此选项A不符合题意；
B.选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，适合使用全面调查，因此选项B不符合题意；
C.对乘坐某航班的乘客进行安检，适合使用全面调查，因此选项C符合题意；
D.检测某城市的空气质量，适合使用抽样调查，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据抽样调查与全面调查的意义：抽样调查是根据随机的原则从总体中抽取部分实际数据进行调查，并运用概率估计方法，根据样本数据推算总体相应的数量指标的一种统计分析方法；结合具体的问题情境进行判断即可．
本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义是正确判断的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，把小河里的水引到田地处，则作，垂足为点，沿挖水沟，可知理由是：垂线段最短．
故选：．
根据垂线段最短解答即可．
本题用了知识点是：垂线段最短，读懂题意是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
，，
，
．
故选：．
由题意得，利用平行线的性质可得，再由平角的定义可求的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

5.【答案】 

【解析】解：是关于、的方程的解，
，
．
故选：．
把代入方程，得出一个关于的一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出一个关于的一元一次方程是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，
，故本选项不合题意；
B、，
，故本选项不合题意；
C、，
，故本选项不合题意；
D、，
，故本选项符合题意；
故选：．
利用不等式的基本性质判断即可．
此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：已知第四象限的点到轴的距离为：，
故选：．
根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握点到轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设从甲地到乙地上坡与平路分别为，，
由题意得：，
故选：．
去乙地时的路程和回来时是相同的，不过去时的上坡路和下坡路和回来时恰好相反，平路不变，已知上下坡的速度和平路速度，根据去时和回来时的时间关系，可列出方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
 

9.【答案】 

【解析】解：解不等式得，
解不等式得，
不等式的解都能使不等式成立，
，
，
故选：．
解不等式得，解不等式得，根据题意得到关于的不等式，再解关于的不等式即可得出答案．
本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及不等式的基本性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：设购进甲商品个，乙商品个，则购进丙商品个，
依题意得：，
．
又，，均为自然数，
或，
共有种购买方案．
故选：．
设购进甲商品个，乙商品个，则购进丙商品个，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次一次方程，结合，，均为自然数，即可得出共有种购买方案．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了立方根的概念，解题关键是掌握立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数就是的立方根．注意负数的立方根是负数．因为的立方是，所以的值为．
【解答】
解：．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：最大值与最小值的差为：，
所以该样本分的组数为，
即该样本可以分为组．
故答案为：．
用最大值与最小值的差除以，然后用进一法取整数值得到组数．
本题考查了频数率分布表：频率分布表中组数的确定，关键是求出最大值和最小值的差，然后除以组距，用进一法取整数值就是组数．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
：：，
设，，
则，
解得：，
故，
则．
故答案为：．
直接利用垂直的定义得出，进而利用：：，得出的度数，进而得出答案．
此题主要考查了垂直的定义以及邻补角，正确得出度数是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设客房有间，住房的客人有人，
根据题意得：．
故答案是：．
设客房有间，住房的客人有人．根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，得．
解不等式，得，
所以不等式组的解集为．
它的解集是，
，
解得，故结论正确；
，
，
故不等式组无解，故结论不正确；
它的整数解仅有个，
，
解得．
则的取值范围是，故结论正确；
它无解，
，
解得，故结论正确．
故答案为：．
本题主要首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式组，从而求出的范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
先求出，的取值范围，再根据，即可求解．
本题考查了不等式的性质，整式的加减及实数大小的比较，解题的关键是确定，的取值范围．
 

17.【答案】解：得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为． 

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】     

【解析】解：Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ将不等式和的解集在数轴上表示出来；

Ⅳ原不等式组的解集为．
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：样本容量为，
故答案为：；
的人数为名，
补全图形如下：

所在的扇形的圆心角的度数是，
故答案为：；
估计该校学生假期做家务劳动时间不少于的有名．
由的人数及其所占百分比可得样本容量；
根据各组人数之和等于总人数可得的人数；
用乘以的人数所占比例即可；
用总人数乘以样本中假期做家务劳动时间不少于的人数所占比例．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

20.【答案】证明：，
，
，
，
；
解：，，
，，，
，
平分，
，
． 

【解析】由平行线的性质得，从而得，即可判定；
由平行线的性质可得，，则有，再由角平分线的定义得，再次利用平行线的性质得的度数．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是对平行线的判定与性质的掌握并灵活运用．
 

21.【答案】  

【解析】解：如图，线段即为所求；
如图，线段即为所求；
．
故答案为：．

，
故答案为：．
根据要求画出图形即可；
取格点，连接交于点，线段即为所求；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
利用面积法求解．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：设号仓库原来存粮吨，则号仓库原来存粮吨，
根据题意得：，
解得，
，
答：号仓库原来存粮吨，则号仓库原来存粮吨；
根据题意得：，
解得，
由知号仓库原来存粮吨，
，
，
的取值范围是；
设总运费为元，
根据题意知，
若，则元，与已知总运费的最小值为元不符合，
，
当时，随的增大而增大，
时，取最小值，即，
解得，
当时，随的增大而减小，
时，取最小值，即，
解得不符合题意，舍去，
综上所述，的值为． 

【解析】设号仓库原来存粮吨，则号仓库原来存粮吨，根据号仓库所余粮食就比号仓库所余粮食多吨得：，即可解得号仓库原来存粮吨，则号仓库原来存粮吨；
根据号仓库调出的粮食不少于号仓库调出粮食的倍得，由号仓库原来存粮吨有，可解得的取值范围是；
设总运费为元，，分三种情况：若，则元，与已知总运费的最小值为元不符合，当时，可得，当时，，分别解方程，可得答案．
本题考查一元一次方程及一次函数的应用，解题的关键时读懂题意，列出方程和分类讨论思想的应用．
 

23.【答案】证明：如图，

是的外角，
，
，
，
；
解：如图，

理由如下：，
，，
平分，
，
，
设，
则，，
，
平分，
，
设，
则，，
，
是的外角，
，
，
；
解：如图，

，
，
，
，
，
，和之间满足的数量关系是． 

【解析】根据外角等于不相邻的两个内角的和得出，根据同位角相等，两直线平行判定；
根据平行线的性质得出，，根据角平分线的性质得出，，设，，用和表示出和即可得出二者关系；
利用三角形的内角和定理即可得出，和之间满足的数量关系
本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
 

24.【答案】   

【解析】解：运动秒时，点的坐标为，
即；
运动秒时，点的坐标为，
故答案为：，；
如图，连接，

点，，
，，
，
，
解得：，
，，
点的坐标为；
如图，设直线与轴交于点，

，
，
将直线沿轴负半轴向下平移个单位经过点，
，点，，
将直线沿轴负半轴向下平移个单位长度，恰好经过点时，，
即的值为．
运动秒时，点的坐标为，即，运动秒时，点的坐标为，
连接，由，得，解得，即可得出结论；
由平移的性质和规律即可得出结论．
本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、三角形面积、平移的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握三角形面积公式和平移的性质是解题的关键．