2021-2022学年湖北省武汉市东湖高新区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖北省武汉市东湖高新区八年级（下）期末数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列各组数据中，不能构成直角三角形的三边的一组是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4. 某射击队拟选一名队员参加比赛，在五轮预选赛中，甲，乙，丙，丁四名队员射击成绩的平均数和方差如表所示根据表中数据，更从这四名队员中选择一名成绩好又发挥稳定的队员参赛，应该选择(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

5. 已知一次函数，下列结论错误的是(    )

A. 图象经过第一、二、四象限
B. 图象与轴的交点是
C. 图象可以由直线向上平移个单位长度得到
D. 当时，

6. 如图，在中，点是边上的点与，两点不重合，过点作，，分别交，于，两点，下列说法正确的是(    )

A. 若，则四边形是矩形
B. 若垂直平分，则四边形是矩形
C. 若，则四边形是菱形
D. 若平分，则四边形是菱形

7. 平面直角坐标系中，过点的直线经过一、二、三象限，若点，，都在直线上，则下列判断正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在正方形中，为对角线的中点，为边上一点，于点，，，则正方形的边长为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 甲、乙两车沿同一条路从地出发前往地，如图所示，，分别表示甲、乙两车离开地的距离与时间之间的关系．对于以下说法：甲车的平均速度是；乙车比甲车早出发；两车相遇时，甲车出发了；两车相距时，乙车出发或小时．其中正确的结论的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 著名数学家华罗庚说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”请运用这句话提到的思想方法，判断若函数的图象与直线是常数有两个交点，则符合条件的值可能是(    )

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共18分）

11. 化简______；______；______．
12. 冬奥会单板型池比赛中，某单板滑雪动员的成绩单位：分为，，，，，则这组数据的中位数是______．
13. 如图，在中，，，，分别以的三条边、、为直径画半圆，则两个月牙形图案的面积之和阴影部分为______．

14. 如图，延长矩形的边至点，使，若，则______．

15. 已知一次函数的图象为直线，下列结论：直线过定点；若直线上有两点和，且，则；若直线平行于直线，则直线与轴交于点；若，则关于的不等式的解集是其中正确的是______．
16. 如图，在中，，，，是斜边上一点．连接，将沿直线折叠，点落在处，当点在的内部不含边界时，长度的取值范围是______．

三．解答题（本题共8小题，共72分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 已知一次函数，请你解答下列问题：
    为何值时，函数图象不经过第四象限？
    为何值时，函数图象与轴的交点在轴下方？
19. 为落实“双减”政策，加强“五项管理”，某校建立了作业时长调控制度，以及时采取措施调控作业量，保证初中生每天作业时长控制在分钟之内．该校就“每天完成作业时长”的情况随机调查了本校部分初中学生，并根据调查结果制成了如下不完整的统计图，其中分组情况是：组：，组：，组：，组：．
    
    请根据以上信息解答下列问题：
    这次共抽取了______名学生进行调查统计；
    请补全条形统计图；
    扇形统计图中组所在扇形的圆心角的大小是______；
    若该约有名初中学生，请估计每天完成作业时长在分钟之内的初中生人数．
20. 在每个小正方形的边长为的网格中，点，在格点上．请用无刻度的直尺，按下列要求画图．
    
    如图，画出一个以为一边的正方形；
    如图，画出一个以为一边的形不是正方形；
    如图，点，在格点上，与交于点，画出一个以为一边的矩形；
    如图，在上画点，使．
21. 如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点，连接交于点．
    求证：；
    若，，，求的长．

22. 年春，新冠肺炎疫情暴发后，全国人民众志成城抗击疫情某省，两市成为疫情重灾区，抗疫物资一度严重紧缺，对口支援的，市获知，两市分别急需抗疫物资吨和吨的消息后，决定调运物资支援灾区已知市有救灾物资吨，市有救灾物资吨，现将这些抗疫物资全部调往，两市已知从市运往，两市的费用分别为每吨元和元，从市运往往，两市的费用别为每吨元和元，设从市运往市的救灾物资为吨，并绘制出表：

______ ， ______ ， ______ 用含的代数式表示；
设，两市的总运费为元，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
由于途经地区的全力支持，市到市的运输路线得以改善和优化，缩短了运输时间，运费每吨减少元，其余路线运费不变，若，两市的总运费的最小值不小于元，求的取值范围．

23. 问题背景：如图，是正方形的边上的一点，过点作交的延长线于求证：；
    尝试探究：如图，在的条件下，连接、交于，请探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
    拓展应用：如图，在的条件下，和交于点，连接并延长交于点，已知，，直接写出的长______．
     

24. 如图，在平面直角坐标系中，，，，．
    
    求直线的解析式；
    如图，已知为直线：上一点，且，求点的坐标；
    若点为第一象限内一动点，且，求的最小值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，，
，
，，能构成直角三角形的三边，
故A不符合题意；
B、，，
，
，，能构成直角三角形的三边，
故B不符合题意；
C、，，
，
，，不能构成直角三角形的三边，
故C符合题意；
D、，，
，
，，能构成直角三角形的三边，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
丙、丁的成绩更好；
，
甲、丙的成绩更稳定；
丙的成绩好又发挥稳定；
故选：．
由题意知，要选择平均数大且方差小的成绩，比较四名队员的平均数与方差，进而可得答案．
本题考查了方差的定义与意义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，，
图象经过一、二、四象限，故正确，不符合题意；
B、当时，，即图象与轴的交点坐标，故正确，不符合题意；
C、以由直线向上平移个单位长度得到，故正确，不符合题意；
D、由于，所以随着的增大而减小，所以当时，，故D错误，符合题意．
故选：．
根据一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征进行分析解答．
此题主要考查了一次函数的性质，一次函数图象与几何变换，关键是掌握一次函数的性质．
 

6.【答案】 

【解析】

【解答】
解：若，则四边形是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；
若垂直平分，则四边形是菱形，不一定是矩形；选项B错误；
若，则四边形是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；
若平分，则四边形是菱形；正确；
故选：．
【分析】
由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．  

7.【答案】 

【解析】解：设直线的解析式为，
直线经过点，
，
直线经过一、二、三象限，
，，
点在直线上，
，
，
故A、不正确；
在直线上，
，
，
，
，
故C正确；
在直线上，
，
，
，
，
故B不正确；
故选C．
设直线的解析式为，由题意可得，，，再将所给的点坐标代入解析式，即可进行判断．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，交于，则过，作交于，

四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
即正方形的边长是，
故选：．
连接，交于，则过，作交于，求出，，根据正方形的性质得出，根据全等三角形的判定定理得出≌，根据全等三角形的性质得出，，根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理求出即可．，
本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理等知识点，解此题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图象可得，甲车的平均速度是：，故正确；
乙车比甲车早出发，故说法错误；
乙前小时的速度是，
设两车相遇时，甲车出发了小时，则，
解得，故说法正确；
设两车相距时，乙车出发小时，则或，
解得或，故说法正确；
所以正确的结论的个数是个．
故选：．
根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：图象如图所示，

直线，
直线是常数过定点，
若函数的图象与直线是常数有两个交点，则．
故选：．
由可知，图象关于直线对称，画出图象，观察图形即可．
本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数图象与系数的关系，能够准确地画出图象是解决本题的关键，注意数形结合．
 

11.【答案】    

【解析】解：．
．
．
注意符号和二次根式的化简法则．
此题主要考查了二次根式的化简，正确确定二次根式的符号是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：数据按从小到大排列为：，，，，，，
则这组数据的中位数是：．
故答案为：．
直接利用中位数的定义分析得出答案．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
此题主要考查了中位数的定义，正确把握中位数的定义是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，，
由勾股定理得：，
设以，，为直径的半径分别为，，，
，
同理，，
，


，
故答案为：．
首先利用勾股定理求出的长，设以，，为直径的半径分别为，，，由勾股定理得，从而得出两个月牙形图案的面积之和为的面积，进而得出答案．
本题主要考查了勾股定理，半圆面积的计算，利用勾股定理证明两个月牙形图案的面积之和为的面积是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，

四边形是矩形，
，，且，
，
，
，
，
，
，
即．
故答案为：．
连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数．
本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：当时，
，
一次函数的图象过点，
正确．
直线上有两点和，且，
随的增大而减小，
，
，
正确．
直线平行于直线，
，
，
，
当时，，
直线与轴交于，
错误．
不等式，
，
，
，
，
正确．
故答案为：．
利用一次函数的图象和性质依次判断即可．
本题考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，，
，
当点落在上，如图：

由折叠得：
，
，，
∽，
，
，
，
当点落在上，如图：

过点作，垂足为，
，
由折叠得：
，
是等腰直角三角形，
，
，，
∽，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
当点在的内部不含边界时，长度的取值范围是：，
故答案为：．
先在中，利用勾股定理求出的长，然后分别求出点落在上和点落在上，的长，即可解答．
本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，分别求出点落在上和点落在上，的长是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；

，
． 

【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：函数的图象不过第四象限，
，，
．
函数图象与轴的交点在轴下方，
且，
且． 

【解析】若函数的图象不过第四象限，则此函数的的系数，．
函数图象与轴的交点在轴下方，且．
本题考查了一次函数的图象与系数的关系，注重考查学生思维的严谨性，易错题，难度中等．
 

19.【答案】   

【解析】解：名，
故答案为：；
名，
补全频数分布直方图如下：

，
故答案为：；
名，
答：全校名初中学生中，每天完成作业时长在分钟之内的初中生大约有名．
由两个统计图可知，“”的频数是，占调查人数的，根据频率进行计算即可；
求出“”的频数即可补全频数分布直方图；
求出“”所占的百分比，进而进行计算即可；
求出样本中每天完成作业时长在分钟之内的学生所占的百分比，进而估计总体中每天完成作业时长在分钟之内的学生所占的百分比，进而求出相应的人数．
本题考查扇形统计图、条形统计图，掌握频率是正确计算的前提．
 

20.【答案】解：如图，正方形即为所求；
如图，菱形即为所求；
如图，矩形即为所求；
如图，点即为所求．
 

【解析】根据正方形的定义画出图形；
根据菱形的定义画出图形；
取格点，，，，连接，，，交于点，连接，四边形即为所求；
取格点，，连接交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
；
，，
，
，，
∽，
，
设，，
，
，
，
，
，
或舍去，
，
的长为． 

【解析】利用平行四边形的性质可得，，，然后根据角平分线和平行可证是等腰三角形，从而可得，即可解答；
先证明字模型相似三角形∽，然后利用相似三角形的性质可得，从而可设，，最后在中，利用勾股定理列出方程，进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】     

【解析】解：市运往市吨，
市运往市吨，市运往市吨，市运往市吨，
故答案为：，，；
由题意得：
，
，，，，
，
与之间的函数关系式为，自变量的取值范围为；
由题意可得，
，
当时，即，
时，最小，此时，
解得，
当时，即，
时，取得最小值，此时，
解得，
，
不符合题意，
的取值范围是．
根据“从市运往市的救灾物资为吨，，两市分别急需抗疫物资吨和吨，市有救灾物资吨，市有救灾物资吨”即可算出、、；
根据“从市运往，两市的费用分别为每吨元和元，从市运往往，两市的费用别为每吨元和元”即可得与的函数关系式；
根据“市到市运费每吨减少元，其余路线运费不变，若，两市的总运费的最小值不小于元”得到、、之间的关系式，利用一次函数的性质分类讨论即可确定的取值范围．
本题主要考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系列出函数关系式．
 

23.【答案】 

【解析】证明：在正方形中，，，
，
，
，
，
，
≌，
；
，理由如下：
如图，过点作，交的延长线于，

≌，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，，，
≌，
，，
；
连接，

，，
，
，
，
，
，
，，
，，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得，可得结论；
由直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

24.【答案】解：过点作于点，

，
，，，
，
在中，
，
，，
设直线的解析式为：，
把，，代入得：，
解得：，
直线的解析式为：；
设，
作轴交直线于点，

则，
，
，
，
，
或，
即或，
或，
点的坐标为：或；
取，则，为等腰三角形，
为的外心，
，
点在上，
连接交于点，此时最小，
，
，，
，
最小．
 

【解析】先得出的长，再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
设，作轴交直线于点，则，再利用和四边形的面积求解即可；
先得出为的外心，再得出点在上，然后连接交于点，最后利用得出结论．
本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理及三角形的外接圆，正确作出辅助线是解题的关键．